6.2 平行四边形的判定-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（青岛版）

证明：：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC, ∴.∠DEF=90°， BD交于点O,∴.OA=(OC,OB=OD. .EF=√DF-DE=V6-4=25. AE=CF,..OA-AE=OC-CF,..OE=OF. ,EG⊥DF, [OB=OD. 在△BOE和△DOF中，∠BOE=∠DOF, ∴.S△r= 2DF·BG=DE·ER. OE=OF. ∴△BOE≌△DOF(SAS),∴.BE=DF. .EG= 0EF-4X25=45,即G的长 DF 6 或③② 证明：，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC, BD交于点O,OB=OD 12.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， BE∥DF,∴.∠OBE=∠ODF .DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°， ∠BOE=∠DOF, ∴.∠ADE=∠CBF=6O°.AE=AD,CF=CB, 在△BOE和△DOF中，OB=OD, ∴.△AED,△CFB都是等边三角形.，在口ABCD ∠OBE=∠ODF, 中，AD=BC,DC=AB,.ED=AD=BC=BF, ∴.△BOE≌△DOF(ASA),∴.BE=DF. ∴.ED+DC=BF+AB,即EC=AF.又，DC∥ (答案不唯一) AB,即EC∥AF,∴.四边形AFCE是平行四边形. 6.2平行四边形的判定 (2)上述结论还成立.证明：，四边形ABCD是平 第1课时平行四边形的判定定理1,2 行四边形，.DC∥AB,∠DCB=∠DAB,AD 1.A2.A BC,DC=AB,∴.∠ADE=∠CBF.,AE=AD, 3.证明：在△ABE与△CDF中， CF=CB,.∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF, (AB=CD, ∴.∠AED=∠CFB.又AD=BC,.△ADE≌ AE=CF, ACBF(AAS),.'.ED=FB..DC=AB...ED+ BE=DF. DC=FB+AB,即EC=FA.又：DC∥AB,即 ∴.△ABE≌△CDF(SSS), EC∥AF,∴.四边形AFCE是平行四边形. ∴∠ABE=∠CDF., 第2课时平行四边形的判定定理3 ..AB//CD. 1.A2.B3.A4.C5.A6.C7.C .四边形ABCD是平行四边形. 8.C9.D10.①② 4.C5.B6.D7.C8.D 11.解：(1)证明：，CE∥AB, 9.①②③ ,∠FAD=∠FCE,∠ADF=∠CEF 10.证明：在△ABD和△CDB中， F是AC的中点，∴.AF=CF. ∠A=∠C, (∠FAD=∠FCE, ∠ADB=∠CBD, 在△AFD和△CFE中，{∠ADF=∠CEF, DB=BD. AF=CF. ∴.△ABD≌△CDB(AAS) '.△AFD≌△CFE(AAS),,.DF=EF, ..AB=CD.AD=BC. .四边形ADCE是平行四边形 .四边形ABCD是平行四边形. (2)四边形ADCE是平行四边形， 11.解：(1)证明：：EF∥AD,.∠FEC=∠ADC. ∴.CE∥AD,CE=AD,∴.CE∥BD. 又：'CE=CD,∠FCE=∠ACD, D是AB的中点，.AD=BD, ∴.△FCE≌△ACD(ASA),.EF=AD, .CE=BD,.四边形BCED是平行四边形， ∴.四边形ADFE是平行四边形 .DE=BC. (2)由(1)可知，四边形ADFE是平行四边形， 12.解：(1)①证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.DF=AE=6. ..OA=OC.OB=OD ,AB=AC,AD⊥BC, ..CD=BD=2,..CE=CD=2, DE=- OD.BF-OB..DE-BF. ∴.DE=2CD=4, ..OE-OF. ,EF∥AD,AD⊥BC,.EF⊥BC, ,四边形AFCE为平行四边形. ②在☐ABCD中，AD∥BC, ∴.△OBE≌△ODF(AAS). ∴.∠DAC=∠BCA. ∴.B0=DO. ,CA平分∠BCD,.∠BCA=∠DCA, (2)EF⊥AB,AB∥DC, .∠DCA=∠DAC,∴.AD=CD. .∠GEA=∠GFD=90°. ,OA=OC,.OE⊥AC, :∠A=45°， .OE是AC的垂直平分线，.AE=CE. ∴.∠G=∠A=45. :∠AEC=60°，∴.△ACE是等边三角形，∴AE ..AE=GE. AC=20A=10 cm. BD⊥AD (2)若DE=号OD,BF=号OB,四边形AFCE是 ∴.∠ADB=∠GDO=90 平行四边形.理由如下： ∴.∠G0D=∠G=45. DE-OD.BF-OB.OD-OB. :.DG=DO. ,EF⊥AB, ..DE=BF, .EF⊥CD, ..OB+BF=OD+DE.OF=OE .OF=FG=1. ,OA=OC,.四边形AFCE为平行四边形. 由(1)可知，OE=OF=1, (3)若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE为 ∴.GE=OE+OF+FG=3, .AE=3. 平行四边形.证明： 12.解：(1)证明：，DH垂直平分AB交AC于点E, DE-OD.BF-OB.OD-OB. .AE=BE,∠AHE=∠BHE=90°， ∴DE=BF, .∠A=∠ABE,∠A+∠AEH=∠ABE+ ∴.OB+BF=OD+DE,即OF=OE. ∠BEH=90°. :OA=OC,∴.四边形AFCE为平行四边形. ∠ABC=90°，∴.∠A+∠ACB=90°， 阶段检测一(6.1~6.2) ∴.∠AEH=∠ACB=∠BEH, 1.C2.B3.C4.C ,CE=CD,.∠D=∠CED. 5.115°6.145°7.1或4 ∠AEH=∠CED,∴∠D=∠BEH, 8.(2,5)或(-6，-1)或(8，-3) ∠CED=∠ACB, 9.4.8s或8s或9.6s ∴.BE∥CD,BC∥ED,∴.四边形BCDE是平行四 10.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,AB=CD, (2)DF⊥AC. BC=AD.,△BCE和△CDF都是等边三角形， 证明：由(1)得四边形BCDE是平行四边形， ∴.BE=BC,DF=CD,∠EBC=∠CDF=60°， ∴.DE=BC. ∴.∠ABE=∠FDA,AB=DF,BE=AD ,BC=BF,∴.BF=DE ∴.△ABE≌△FDA(SAS),∴.AE=AF. ,BD平分∠ABC,∠ABC=90°， (2),△ABE≌△FDA,∴.∠AEB=∠FAD. ∴.∠HBD=45. :ABCD,∴∠ABC=∠DCF=60°， :∠BHD=90°.∴∠HBD=∠HDB=45, .∠ABE=60°+60°=120°，∠BAD=120°， .∠AEB+∠BAE=60°， ∴.DH=BH=AH,∴.DH-DE=BH-BF, ∴∠FAD+∠BAE=60°. ∴.HE=HF ∴.∠EAF=120°-60°-60. DH=AH. 11.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 在△DHF和△AHE中，∠DHF=∠AHE, .DC∥AB, HF=HE. ∴.∠OBE=∠ODF .△DHF≌△AHE(SAS),∴∠A=∠FDH 在△OBE与△ODF中， :∠A+∠AEH=90°，∠DEC=∠AEH, I∠OBE=∠ODF, ∴.∠FDH+∠DEC=90°，∴.∠EGD=180°- ∠BOE=∠DOF, 90°=90°， BE=DF, ,DF⊥AC. 36.2平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定定理1,2（答案P2) 通基础 5.如图所示，点A是直线（外一点，在！上取两 点B,C,分别以A,C为圆心，BC,AB长为半 知识点1用定义判定平行四边形 径画弧，两弧交于点D,分别连接AB,AD, 1.在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的 CD,则四边形ABCD一定是平行四边形.其 是() A.两组对边分别平行 依据是( B.一组对边平行且另一组对边相等 A.一组对边平行且相等的四边形是平行四 C.两组邻边相等 边形 D.对角线互相垂直 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 知识点2平行四边形的判定定理1 C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.如图所示，给出了四边形ABCD的部分数据， D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是 若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要 平行四边形 添加的条件可以是( A.BC=3 B.CD=2 C.BD=5 259 D.BD=3 第5题图 第6题图 3.(2024·北京昌平区开学)如图所示，在四边形 通能力 ABCD中，AB=CD,E,F是BD上的两点且 BE=DF,AE=CF.求证：四边形ABCD是平 6.如图所示，能判定四边形ABCD为平行四边 行四边形 形的条件是( A.AB=AD,CB=CD B.AB=CD,AD∥BC 知识点3平行四边形的判定定理2 C.AB∥CD,∠B+∠C=180 4.(2024·承德平泉期未)依据所标数据，下列图 D.AB=CD.AD=BC 形中一定为平行四边形的是( 7.如图所示，E,F分别是□ABCD的边AB,CD 100 的中点，则图中平行四边形共有( 人80 110 670 110 0 5.5 110° 670 A.2个 B.3个 D C.4个 D.5个 优学嫌说的温 8.推理能力已知一个四边形的四边长顺次为 a,b,c,d,且满足a2+b2+e2+d=2ac+ 2bd,则此四边形是() 12.如图所示，在□ABCD中，∠DAB=60°，点 A.长方形 B.梯形 E,F分别在CD,AB的延长线上，且AE C.正方形 D.平行四边形 AD,CF=CB. 9.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D为BC (1)求证：四边形AFCE是平行四边形 的中点，DE⊥BC,交AB于点O,BE∥AD,连 (2)若去掉已知条件中的“∠DAB=60”,上 接AE.以下结论：①四边形ACDE是平行四 述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过 边形：②OE=OD;③S四边形AME=3S△ACn.其 程；若不成立，请说明理由. 中正确的结论是 ,(填序号) 10.(2024·北京顺义区期末)如图所示，在四边 形ABCD中，∠A=∠C,∠ADB=∠CBD. 求证：四边形ABCD是平行四边形， 11.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC 于点D,延长DC到点E,使CE=CD.过点 E作EF∥AD交AC的延长线于点F,连接 AE,DF. (1)求证：四边形ADFE是平行四边形 (2)过点E作EG⊥DF于点G,若BD=2, AE=6,求EG的长 一年级下能数学00 7》 第2课时 平行四边形的判定定理3（答案P2) 通惠础99299099997399397n 是平行四边形的是( A.1:2:3:4 B.2:2:3:3 知识点1平行四边形的判定定理3 C.2:3:2:3 D.2:3:3:2 1.(2024·大连中山区期末)下列条件中，能判定 5.(2024·石家庄新华区期末)如图所示，在四边 四边形是平行四边形的是( 形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示 A.对角线互相平分 角相等)，下列判断正确的是( B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 2.(2024·济宁微山期末)四边形ABCD的对角 A.只有图①中的四边形一定是平行四边形 线AC,BD相交于点O,OB=OD.添加下列条 B.只有图②中的四边形一定是平行四边形 件，能判定四边形ABCD是平行四边形的 C.图①、图②中的四边形都一定是平行四边形 是() D.图①、图②中的四边形都一定不是平行四 A.AD=BC 边形 B.AO=CO C.AB=CD 知识点3平行四边形判定方法的归纳总结 D.∠ABC=∠ADC 6.几何直观，如图所示，四边形中分别标注了部 3.新情境》小玲的爸爸在钉制平行四边形框架 分数据，根据所标数据，不能判断该四边形是 时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条 平行四边形的是( AC,BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形 ABCD就是平行四边形，这种方法的依据 是( 35 A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形 稀对平行四边形的判定方法掌握不牢致错 C,两组对边分别相等的四边形是平行四边形 7.在□ABCD中，将下列条件中的任意两个进行 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 组合，可以判定它是平行四边形的有( 知识点2两组对角分别相等的四边形是平行 ①AB∥CD:②AD∥BC:③AB=CD: 四边形 ④AD=BC:⑤∠A=∠C:⑥∠B=∠D. 4.下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C, A.7组 B.8组 ∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD C.9组 D.10组 优学嫌说的温 通能分 (2)若D是AB的中点，试说明：DE=BC 8.如图①所示，在□ABCD中，AD>AB,∠ABC 为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边 形AVCM为平行四边形，现有如图②所示的 甲，乙两种方案，则正确的方案是( 取BD的中点().作作 :作A⊥BD于点火， BN=NO.OMEMD CM⊥于点M 1 A.甲 B.乙 通素第9999999999999099 C.甲、乙 D.甲、乙都不是 9.如图所示，在□ABCD中，E,F是对角线AC 12.推理能力》如图所示，在☐ABCD中，对角线 上的两点且AE=CF,给出下列结论：①BE= AC,BD相交于点O,OA=5cm,E,F为直 DF:②BE∥DF;③AB=DE:④四边形 线BD上的两个动点（点E,F始终在 EBFD为平行四边形：⑤AF=CE.其中正确 □ABCD的外面)，连接AE,CE,CF,AF 的结论是( 若DE=20D,BF=OB. ①求证：四边形AFCE为平行四边形 ②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°，求AE 的长 A.①⑤ B.①②④ (2)若DE= C.①②③④ D.①②④⑤ OD,BF=号OB,四边形 3 10.如图所示，☐ABCD的对角线交于点O,点 AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说 M,N,P,Q分别是□ABCD四条边上不重 明理由 合的点.下列条件能判定四边形MNPQ是平 (3)若DE-OD,BF=OB,四边形AFCE 行四边形的有 ,(填序号) ①AQ=CN,AM=CP:②MP,NQ均经过 还是平行四边形吗？请写出结论并证明 点O:③VQ经过点O,AQ=CN. 11.如图所示，在△ABC中，D是AB边上任意 一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB交 DF的延长线于点E,连接AE,CD. (1)求证：四边形ADCE是平行四边形 一八年级下能数学如 9