第1章 4 第2课时三角形三条角平分线的性质-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

PD-停DB-AB,与已知PD-专AB矛用， AD=AE. 在△ADF和△AEF中，(FD=FE, ∴.PB≠PC AF-AF. ②若PA=PC,连接PA,则∠PCA=∠PAC .△ADF2△AEF(SSS). ,CD为等边三角形ABC的高，.AD■BD,∠PCA=30°， .∠DAF=∠EAF,.AP平分∠BAC .∠PAD=∠PAC=30°， (2)如图所示，过点P作PG⊥AC于点G, 同理，D-停D1-停B,与E复PD-号B不6。 AP平分∠BAC,PQ⊥AB, .PG=PQ=6. .PA≠PC :Sa=5am+Sam-号ABPQ+2AC·PG ③若PA=PB,由PD=2AB,得PD=BD=AD. ∴.∠BPD=∠APD=45°，故∠APB=90 ABX6+号X9X6-60AB= (2)①若PB=PA,设PA=x, ,∠C=90°，AB=13,BC=5,由勾股定理，得AC=12, .CP=12-x. 在R△PBC中，x°=(12-x)+5, 部得-婴即PA一提 ②若PA=PC,则PA=6. 第2课时三角形三条角平分线的性质 ③若PC=PB,由图知，在Rt△PBC中，不可能存在， 1.D2.A3.129°+.A5.A6.D7.B 故PA的长为婴支6 8.C9.1810.211.11 4角平分线 12.解：(1)BD平分∠ABC,∠ABC=40, 第1课时角平分线 ∠DBC=2∠ABC=2X40=20. 1.C2.A3.C4.6 ,CD平分∠ACB,∠ACB=70°， 5.证明：PD⊥OA,PE⊥OB,∴.∠PDF=∠PEG=90°， “∠DCB=∠ACB=2×70=35 在Rt△PFD和R△PGE中.PF=PG,DF=EG, ∴.∠BDC=180°-20°-35°=125. ,Rt△PFD≌Rt△PGE(HI),.PD=PE. P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB, (2)BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,DE=2, .DF=DE=2. ,.OC是∠AOB的平分线： BC=9, 6.C7.A8.29.150 10.解：如图所示，点P即为所求」 六Sam=7×BCX DF=号×9X2=9. 13.解：0号 e品提 证明：如图①所示，过点B作BE⊥AC于点E, 二品 CD 1山，解：(1)证明：如图所示，过点D作 DM⊥EF,垂足为点M 由三角形面积公式及角平分线的性质知、二船 BC ED平分∠BEF,DB⊥AB, .BD=DM. 0说 .BD=CD.'.DC=DM. (3)如图②所示，连接BD,过点C作CH⊥DE于点H,过 ∠ACD=90, 点A作AG⊥BC于点G, FD平分∠EFC AE=4.AD=2...DE=AE+AD=4+2=6. (2)ED平分∠BEF,∴∠DEB=∠DEM. :△ECD是等边三角形，CH⊥DE, 在△BDE和△MDE中， .CE=DE=6.EH=DH=3. .∠B=∠EMD,∠DEB=∠DEM. ∴CH=√CE-EH=√6-3=33. DE=DE. :'AH=DH-AD=3-2=1, ..△BDE≌△MDE(AAS), .EB=EM,同理CF=MF.∴.BE+CF=EF=4. ∴.AC=√AH+CH=√/1+(33)F=2√7 12.解：(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下： :△ABC和△ECD都是等边三角形， .∠ACB=∠DCE=∠CED=∠CDE=60,CD=CE, BC=AB=AC=27. 6 '∠BCD+∠ACD=60°，∠ACE+∠ACD=6O'. BE=AE=4. ∴.∠BCD=∠ACE..△CAE≌△CBD(SAS), .BD=AE=4,∠CDB=∠CEA=60', “△ABE的面积为2BE·AC=2×4×2尽=45. .∠CDE=∠CDB,∴.DC平分∠ADB. ∴△ABE的面积为43 SAADE AFAD21 由2)知部一册了2 专题三角平分线中三种常用 2 作辅助线的方法 1.证明：(1)，AB∥CD,.∠BAD十∠AIC=180,,AM平分 AG1CcG-号c-, ∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°， ∴∠MAD+∠ADM=90°，.∠AMD=90°，即AM⊥DM. ∴AG=√AC-CG=√(2V7)-(7)2=√2I, (2)如图所示，作MN⊥AD交AD于 ∴5ar=2B0…AG=号×2万XVI=7, 点N.:∠B=90°，AB∥CD,.BM AB,CM⊥CD.,AM平分∠BAD, DM平分∠ADC, :.Sancr=3 ×7g=143 3 .BM=MN,MN=CM,∴.BM= CM,即M为BC的中点. 2.证明：方法1：如图①所示，作CF⊥AN于点F, :AC平分∠MAN.∠3=∠4. ,'CE⊥AM,∴.CF=CE,∠CFA=∠CEA=90, .△ACF≌△ACE(AAS),.AF=AE 2AE-AD+AB.AE-(AD+AB)-(AF-DF+ 阶段检测二(3~4) 1.C2.B3.A4.D5.B6.C7.D8.19.72 AE+EB)-AE+(BE-DF).BE-DF-0. 10.45 ,.BE=DF,.△DFC≌△BEC(SAS),.∠5=∠2 1L.解：(1)证明：：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB, :∠1+∠5-180°.∴∠1+∠2=180°. ED⊥OA, 方法2：如图②所示，在AM上截取AG=AD,连接CG, ∴.DE=CE.,OE=OE,.Rt△(ODE≌Rt△OCE(HL), ,∠3=∠4.AC为公共边，∴.△ADC≌△AGC(SAS), .OD=OC,∴.△DC是等腰三角形. ∴∠1=∠5. ,OE是∠AOB的平分线，.OE是CD的垂直平分线. 2AE-AD+AB.AE-(AD+AB)(AG+AE+ (2)OE=4EF.证明：：OE是∠AOB的平分线，∠AOB= 60,.∠AOE=∠B0E=30°， EB)-(AE-EG+AE+EB)-AE+(EB-EG). ,EC LOB,ED⊥OA,.OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°， .EB-EG=0,.EG=EB.又，CE⊥AB,∴.BC=GC, ∴∠EDF=30,.DE=2EF,.OE=4EF .∠2=∠6.，∠5+∠6■180°，，∴.∠1+∠2=180 12.解：(I):AD⊥BC,BD=DE,∴AD垂直平分BE.又：EF 垂直平分AC,∴AB=AE=EC,∴∠C=∠CAE. N :∠BAE-40.∠AED-70,∴∠C-号∠AED=35 (2):△ABC的周长为13cm,AC=6cm, DA D ∴.AB+BE+EC=7cm.即2DE+2EC=7cm, .DE+EC=DC=3.5 cm. 13.解：(1)证明：AE平分∠CAB.∴∠CAE=∠BAE. :∠ACB=90°，.∠CAE+∠CEA=90. ① CDLAB,∴∠ADC=90°，∴∠BAE+∠AFD=90°， 3.解：如图所示，延长AE交CB .∠AFD=∠AEC, 的延长线于点F,作DG⊥AC ∠AFD=∠CFE,∴.∠AEC=∠CFE,∴CE=CF, 于点G. ,△CEF是等腰三角形. ,AE⊥CD,.∠AED=90° (2)AB=2AC,理由：，∠ACB=90°， ,∠ABC=90°，∠ADE= .∠CAE+∠EAB+∠B=90°. ∠CDB,∴.∠EAD=∠DCB. :点E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB, 在△ABF和△CBD中， ∴，∠EAB=∠B. I∠FAB=∠DCB, :∠CAE=∠BAE.·∠CAE=∠EAB=∠B=30°， AB-CB, ..AB=2AC. ∠ABF=∠CBD, (3)∠ACE=90°，∠CAE=30,CF=CE=2, .△ABF≌△CBD(ASA),∴.AF=CD ∴.AE=2CE=4,由勾股定理，得AC=23, 1第2课时三角形三条角平分线的性质（答案P6) 通基础》999993999 通能力 知识点三角形三条角平分线的性质 5.如图所示，△ABC的三边AC,BC,AB的长分 1.(2023·秦皇岛青龙二模)△ABC是一个任意 别是8,12,16，点O是△ABC三条角平分线 三角形，用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分 的交点，则S△aAB:S△OBc：S△oc的值 线，如果两条角平分线交于点O,那么下列选 为() 项不正确的是() A.4:3:2 B.1:2:3 A.点O一定在△ABC的内部 C.2:3:4 D.3:4:5 B.∠C的平分线一定经过点O C.点O到△ABC三边的距离一定相等 D.点O到△ABC三顶点的距离一定相等 2.(2024·张家界慈利期末)如图所示，点P是 第5题图 第6题图 △ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC 6.数材P32习题1.10T4变式)如图所示，a,b,c 的周长为18cm,面积为27cm”,则点P到边 三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条 BC的距离是( 公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的 A.3 cm B.4 cm 距离相等，则超市应建在() C.6 cm D.8 cm A.三角形两边高线的交点处 B.三角形两边中线的交点处 C.∠a的平分线上 D.∠a和∠B的平分线的交点处 第2题图 第3题图 7.如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，角平分 3.如图所示，O是△ABC内的一点，且点O到三 线BE,CD相交于点P,若AP=4,AC=6,则 边AB,BC,CA的距离相等，连接OB,OC,若 S△APe=( ∠A=78°，则∠BOC的度数为 A.4 B.6 C.12 D.24 播题忽视三角形的外角平分线与内角平分 线有相同的性质 D 4.(2024·梅州五华期末)如图所示，△ABC的 外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P 到AC的距离为4，则点P到AB的距 第7题图 第8题图 离为() 8.如图所示，点O是△ABC中∠BCA,∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周 长是8，则点O到边BC的距离是( A.4 B.3 C.2 D.1 A.1 B.2 C.3 D.4 一八年组下街数学明 29 9.如图所示，△ABC的周长是12，OB,OC分别 通素养 平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且 OD=3,则△ABC的面积是 13.探究拓展》角平分线性质定理描述了角平分 线上的点到两边距离的关系，小明发现将角 平分线放在三角形中，还可以得出一些线段 比例的关系 请完成下列探究过程： 第9题图 第10题图 【研究情景】 如图①所示，在△ABC中，∠ABC的平分线 10.如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°. 交AC于点D. ∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,OE⊥ 【初步思考】 AC于点E,则OBOE= 11.如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB 1)若AB=4,BC=7,则SAm S△ABD 的外角平分线BP,CP交于点P,PE⊥AC 【深人探究】 于点E,若S△BPe=3,PE=2,S△A=5,则 AB △ABC的周长是 (2)请判断 BC 和AD CD 之间的数值关系，并 证明， 【应用迁移】 (3)如图②所示，△ABC和△ECD都是等边 12.(2024·西安新城区月考)如图所示，在 三角形，△ABC的顶点A在△ECD的边ED △ABC中，BD平分∠ABC,CD平分 上，CD交AB于点F,若AE=4,AD=2,求 ∠ACB,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F. △CFB的面积. (1)若∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠BDC 的度数. (2)若DE=2,BC=9,求△BCD的面积. 30 优十学潘课阴造一