第1章 3 第2课时三角形三边的垂直平分线-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

第2课时 三角形三边的垂直平分线（答案P5) 通基仙 C.三条角平分线的交点处 D.三边上高的交点处 知识点1三角形三条边垂直平分线的性质 知识点3利用线段垂直平分线的性质尺规作图 1.(2024·谓南蒲城期末)如果三角形中两条边5.(2023·青岛市北区一模)如图所示，在△ABC 的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个 内找一点P,使点P到A,B两点的距离相等， 三角形一定是() 并且点P到点C的距离等于线段AC的长. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 2.如图所示，已知直线MN为△ABC的边BC 的垂直平分线，若AB,AC两边的垂直平分线 相交于点O,当顶点A的位置移动时，点O 在() A.直线MN上 通能力 B.直线MN的左侧 6.已知△ABC(AC<BC),用尺规作图的方法在 C.直线MN的右侧 BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合 D.直线MN的左侧或右侧 要求的作图痕迹是() 第2题图 第3题图 3.如图所示，在△ABC中，∠A=70°，点O是 AB,AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数 为() 7.如图所示，D为线段AB与线段BC的垂直平 A.20° B.30° C.25° D.35 分线的交点，连接AC,BD,DC,若∠A=35°， 知识点2三角形三边垂直平分线的应用 ∠ABD=44°，则∠DCA的度数为() 4.北京、石家庄、唐山三地所在的位置如图所示， A.10° B.18 C.15 D.9° 若想建立一个货物中转仓，使其到这三地的距 离相等，则中转仓的位置应选在( 北京 唐山 第7题图 第8题图 石家庄 8.如图所示，在△ABC中，EF垂直平分AB, A.三边垂直平分线的交点处 GH垂直平分AC,设EF与GH相交于点O, B.三边中线的交点处 则OB OC.(填“>”“<”或“=”) 一八件业卡舒数学的 25 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 通素养 3,BC=5,分别以点A,B为圆心，大于号AB 12.阅读理解我们给出如下概念：到三角形的 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P,Q,过 两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准 P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 外心.例：已知PA=PB,则点P为△ABC 的准外心（如图①所示）. (1)如图②所示，CD为等边三角形ABC的 高，准外心P在高CD上，且PD-AB,求 ∠APB的度数， (2)如图③所示，若△ABC为直角三角形， 10.尺规作图：如图所示，已知线段a,b,求作等 ∠C=90°，AB=13,BC=5,准外心P在AC 腰三角形，使腰长为b,底边上的高为a(a< 边上，试探究PA的长。 b).(不写作法，保留作图痕迹) 、a 11.运算能力(2024·咸阳永寿月考)如图所 示，在△ABC中，DE,DF分别为BC,AB边 的垂直平分线，连接AD,CD.若∠B=50°， 求∠ACD的度数. 26 优学案课时通(AAS),∴.AE=CG.设AE=x,则BE=12 ∴·∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC, -BC-AB-6,CF-CG-AE- ∴∠EAN=∠BAC-(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°= 2×108°-180°=36. x,BF=6十x,.12-x=6十x,解得 (3)DE垂直平分AB,∴EA=EB,∴∠B=∠EAB, x=3,∴DE的长为3. 同理∠C=∠CAN, 16.解：在Rt△DAB中，BD= ∴.∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC, √AD+AB=2,又：CD2+BD2=3, '.∠EAN=∠EAB+∠CAN-∠BAC=180°-2∠BAC= BC=3,.CD2+BD2=BC2,.∠CDB=90°，.四边形 180°-2×78°=24°. ABCD的面积=2AD·AB+合CD·DB=号×1X (4)由(2)知，当90°<∠BAC<180时， ∠EAN=2∠BAC-180°=2(180°-∠B-∠C)-180°= 1+2x1x- 1 180°-2（∠B+∠C). 由(3)知，当0°<∠BAC<90°时，∠EAN=180°- 17.解：(1)①证明：在△DEC和△PBC中， CD=PC, 2∠BAC=180°-2(180°-∠B-∠C)=2(∠B+ ∠DCE=∠PCB, ∠C)-180° CE=BC, 第2课时三角形三边的垂直平分线 .△DEC2△PBC(SAS), 1.D2.A3.A4.A ∴∠DEC=∠PBC,∴BP∥DE. 5,解：如图所示，点P即为所求 ②延长AC交ED的延长线于F,如图所示. 6.D7.D8.= :△ABC为等边三角形， .BC=AC,∠ACB=60 10.解：如图所示，△ABC即为所求作的三角形 又'CE=BC,AC=CE, ∴.∠CAE=∠CEA. :∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°， ∴.∠CAE=∠CEA=30 由①可知：BP∥DE, ,BP⊥AC,.DE⊥AC,即∠F=90 又∠ECF=∠ACB=60°， ∴.∠CED=90°-∠ECF=30°， .∠AED=∠CEA+∠CED=30°+30°=60° 1L.解：如图所示，连接DB,:∠ABC=50°， (2)11 ∴∠BAC+∠BCA=180°-50=130. 3线段的垂直平分线 ,DE,DF分别为BC,AB边的垂直平分线， 第1课时线段的垂直平分线 ..DB=DC,DB=DA: 1.C2.C3.194.D .∠DCB=∠DBC,∠DAB=∠DBA,DC=DA, 5.证明：，EH垂直平分BD,∴.BE=DE,BH=DH.又EH= ∴.∠DCB+∠DAB=∠DBC+∠DBA=50°， EH,∴，△BEH≌△DEH(SSS),,.∠BEH=∠DEH ∴∠DAC+∠DCA=130°-50°=80. :∠ACB=9O°，∴.EH∥AC,∴.∠BEH=∠BAC,∠DEH DC=DA. ∠AFE,,∠EAF=∠AFE..EA=EF,.点E在线段AF .∠ACD=∠CAD=40 的垂直平分线上， 6.解：①连接MN; M ②作线段MN的垂直平分线1，交直线 AB于点C,如图所示，C点即为所求. 1 7.75或105°8.A9.C10.C B 11.27 12.解：(1)44 12.解：(1)①若PB■PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC. :CD为等边三角形ABC的高，∴AD=BD,∠PCB=30°， (2)DE垂直平分AB,EA=EB,∠B=∠EAB, ,∠PBD=∠PBC=30 同理∠C=∠CAN, 设PD=x,则PB=2x,由勾股定理，可得BD=5x, `、PD=3P、3 6AB,与已知PD= AD=AE, 之AB矛盾， 在△ADF和△AEF中，(FD=FE, ∴，PB≠PC AF=AF, ②若PA=PC,连接PA,则∠PCA=∠PAC. ,∴.△ADF≌△AEF(SSS). ,CD为等边三角形ABC的高，.AD=BD,∠PCA=30°， ·∠DAF=∠EAF,∴AP平分∠BAC .∠PAD=∠PAC=30°， (2)如图所示，过点P作PG⊥AC于点G. 同里，PD=号DA-AB,与已知PD-之AB矛盾。 AP平分∠BAC,PQ⊥AB, 3 ∴PG=PQ=6. ,PA≠PC SaAc=SaAm+SaAe=号AB·PQ+2AC·PG, ③若PA=PB,由PD=名AB,得PD=BD=AD, ABX6+ X9×6=60.AB=11. 1 ∴.∠BPD=∠APD=45°，故∠APB=90 (2)①若PB=PA,设PA=x, :∠C=90°，AB=13,BC=5,由勾股定理，得AC=12, .CP=12-x. 在R△PBC中，x2=(12-x)2+52, 解得工2甲PA-是 ②若PA=PC,则PA=6. 第2课时三角形三条角平分线的性质 ③若PC=PB,由图知，在Rt△PBC中，不可能存在 1.D2.A3.129°4.A5.A6.D7.B 故PA的长为学我6 8.C9.1810.211.11 4角平分线 12.解：(1)：BD平分∠ABC,∠ABC=40°， 第1课时角平分线 ÷∠DBC=专∠ABC=号×40=20. 1.C2.A3.C4.6 ,CD平分∠ACB,∠ACB=70°， 5.证明：PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°. ∠DCB=7∠ACB=号X70=35 在Rt△PFD和Rt△PGE中，，PF=PG,DF=EG, .∠BDC=180°-20°-35°=125. .Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),PD=PE. :P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB, (2),BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,DE=2, ..DF=DE=2. .OC是∠AOB的平分线 ,BC=9, 6.C7.A8.√29.1509 1 10.解：如图所示，点P即为所求 六Sam=XBCX DF= ×9×2=9. 13.解：1号 e品提 证明：如图①所示，过点B作BE⊥AC于点E, 二品 CD 11.解：(1)证明：如图所示，过点D作 DM⊥EF,垂足为点M. 由三角形面积公式及角平分线的性质知·S一 SAAID AB BC' ED平分∠BEF,DB⊥AB, ..BD=DM. 0能 BD=CD...DC=DM. (3)如图②所示，连接BD,过点C作CH⊥DE于点H,过 :∠ACD=90°， 点A作AG⊥BC于点G, ∴FD平分∠EFC AE-4,AD-2,DE-AE+AD-4+2-6. (2)ED平分∠BEF,.∠DEB=∠DEM. ,△ECD是等边三角形，CH⊥DE, 在△BDE和△MDE中， ∴.CE=DE=6,EH=DH=3, :∠B=∠EMD,∠DEB=∠DEM, ∴.CH=√CE-EH=√6-3=3W3. DE=DE, :AH=DH-AD=3-2=1, .△BDE≌△MDE(AAS), ∴AC=√AH+CH=√1+(33)3=27 ∴.EB=EM,同理CF=MF,.BE十CF=EF=4. 12.解：(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下： ,△ABC和△ECD都是等边三角形， ∠ACB=∠DCE=∠CED=∠CDE=6O°，CD=CE, BC=AB=AC=2√7. 6