第1章 2 第2课时直角三角形全等的判定(HL)-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

8.解：验证：：52+122=169,132=169.5+12=13， 第2课时直角三角形全等的判定(HL) ,.以12,13和5为边长的三角形是直角三角形. 1.D2.AB■AC 探究： 3.证明：∠A=∠B=90°， 由“发现”得：m十m十1=n2,,.n2■2m+1, ∴△ADE和△BEC均为直角三角形. .n2十m2=m2十2m十1=(m+1)2, ,∠1=∠2， .以n,m,m十1为边长的三角形是直角三角形， ..DE=EC. .“发现”中的结论正确. 在R△ADE和R△BEC中， 应用：40+41=92，∴.92+402=1681.412=1681，.92+ DE=EC. 402=41,,以9,40,41为边长的三角形是直角三角形 AE=BC. 9.C ∴.Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 10.解：(1》如果a,b都是无理数，那么b也是无理数的逆命题 4.A5.36.D7.C8.B9.710.①② 是：如果ab是无理数，那么a,b都是无理数.此命题是假 11.证明：，∠BAD=∠BCD=90°， 命题 在R1△ABD和Rt△CBD中， (2)三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是：如果两个 BD=BD. 三角形全等，那么它们的对应边分别相等，此命题是真 AB=BC. 命题 .Rt△ABD≌Rt△CBD(HL). 11.60或9012.C13.C14.A15.A ∴AD=CD 16.5217.30cm18.1.519.10 ,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F, 20.解：(1)∠EDC和∠GFC的数量关系是： .∠E=∠F=90°. ∠EDC+∠GFC=180,理由如下： 在Rt△ADE和R1△CDF中， :AC⊥BC,DE⊥AC,.DE∥BC, AD-CD. .∠EDC=∠DCF. AE=CF. CD⊥AB,FG⊥AB,∴.CDGF, ∴，RI△ADE≌Rt△CDF(HL). .∠DCF+∠GFC=180°. 12.解：(1)证明：①BD⊥DE,CE⊥DE, .∠EDC+∠GFC=180. .∠ADB=∠AEC=90. (2).FGLAB,∠B=55°， .∠BFG=90°-∠B=35 在R△ABD和R△CAE中，AD=CE, (AB=CA. :CDGF..∠DCF=∠BFG=35. .Rt△ABD2Rt△CAE(HI,), AC⊥BC.∴∠ACD=90°-∠DCF=55. ∴.∠DBA=∠EAC,AE=BD 2L.解：设机器人H1跑步x米与乐乐相遇，则AB=x米， ,∠BAD+∠DBA=90°，.∠BAD+∠CAE=90, BC■(9-x)米， .∠BAC=180-(∠BAD+∠CAE)=90°，，.AB⊥AC :机器人H,的跑步速度与乐乐的下滑速度相同， ②，AD=CE,AE=BD,∴.DE=AD+AE=CE+BD .DB=AB=x米. (2)结论：AB⊥AC 在R1△BCD中，∠C=90°， 证明：，BD⊥DE,CE⊥DE,.∠ADB=∠AEC=90 ∴.BD2=BC8+CD. (AB=CA: x=(9-)2+32. 在Rt△ABD和Rt△CAE中. AD-CE. 解得x=5, .R△ABD≌Rt△CAE(HL),.∠DAB=∠ECA. .机器人H,跑步5米与乐乐相遇 :∠CAE+∠ECA=90°，∴.∠CAE+∠BAD=90°， 22.解：(1)是.理由： 即∠BAC=90°，.AB⊥AC. .AM+BN8=2+(23)2=16,MN2=42=16. 阶段检测一(1~2) AM+NB:=MN. 1.D2.D3.C4.B5.B6.A7.C8.B9.D ,以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形. 10.同旁内角互补，两直线平行11.AB=DC(答案不唯一) 故点M,N是线段AB的勾股分割点. 12.613.67.5或22.514.2s或6s (2)设BN=x,则MN=12-AM-BV=7-x. 15.解：(1)证明：，∠A=30°，∠ACB=90°， ①当MN为最长的线段时，依题意，得MN=AM+NB. ∠B=60.AE=DE.∴∠A=∠ADE=30°，∴.∠BEF= 12 即(7-x)产=x2+25.解得x=7 ∠A+∠ADE=60,∴.∠B=∠BEF=60°，∴.△BEF是等 ②当BN为最长的线段时，依题意，得BN=AM+MN. 边三角形. 即产=25+(7-户，解得1-积 (2)如图所示，在EF上截取FG=CF,连接CG.,'∠F=60°， .△CFG为等边三角形，，.∠FC=∠F=∠BEF=60, 综上所述，BN份长为号夜号 ∴∠AED=∠CGD.在△ADE和△CDG中，∠ADE ∠CDG·∠AED=∠CGD,AD=CID.'.△ADE≌△CDG第2课时直角三角形全等的判定(HL)(答案P4) 通基础999999999999997” A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④ 知识点1用HL判定两直角三角形全等 5,如图所示，AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC 1.如图所示，CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点 于点E,BE与CD相交于点O,图中有 F,CD=EF,要根据HL证明Rt△ACD≌Rt 对全等的直角三角形. △BEF,则还需要添加的条件是( A.∠A=∠B B.∠C=∠E C.AD=BF D.AC=BE 通能力 2.在△ABC中，AD⊥BC于点D,要用“HL”证 6.(2024·西安期末)如图所示，在Rt△ABC和 明Rt△ADB≌Rt△ADC,则需添加的条 件是 Rt△DEF中，点B,D,C,E在同一条直线上， 3.(2024·河源紫金期末)如图所示，∠A=∠B 点C和点E重合，∠B=∠DEF=90°，AB= 90°，E是AB上的一点，且AE=BC,∠1= DE,若添加一个条件后可用“HL”定理证明 ∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC Rt△ABC≌Rt△DEF,添加的条件是() A.BC=EF B.∠BCA=∠F C.BA∥EE D.AC=DF 7.如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 50°，D,F分别是BC,AC上的点，DE⊥AB, 垂足为E,CF=BE,DF=DB,则∠ADE的 度数为( 知识点2直角三角形全等的综合判定 4.两个直角三角形中： ①一锐角和斜边对应相等： ②斜边和一直角边对应相等： ③有两条边相等； ④两个锐角对应相等. A.40 B.50 能使这两个直角三角形全等的是( C.70 D.71° 一八年级下0数学6 19 8.如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿对角 通素养 线BD折叠，BC交AD于点O.给出下列结 论：①BC平分∠ABD:②△ABO≌△CDO: 12.推理能力如图所示，在△ABC中，AB ③∠AOC=120°：④△BOD是等腰三角形.其 AC,DE是过点A的直线，BD⊥DE于点 中正确的结论有( D,CE⊥DE于点E A.①③B.②④ C.①② D.③④ MA D ② P B (1)若B,C在直线DE的同侧（如图①所 第8题图 第9题图 示)，且AD=CE,求证： 9.如图所示，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C ①AB⊥AC 分别在直线MN与PQ上，点E在AB上， ②DE=BD+CE. AD+BC=7.AD=EB.DE=EC.AB= (2)若B,C在直线DE的两侧（如图②所 示)，且AD=CE,其他条件不变，AB与AC 10.如图所示，在△ABC中，P,Q 垂直吗？若垂直，请给出证明：若不垂直，请 分别是BC,AC上的点，作 说明理由」 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分 别是R,S,PR=PS,AQ= PQ,则下面三个结论：①AS=AR:②PQ∥ AR:③△BRP≌△CSP.其中正确的 是 ·(填序号) 11.(2024·烟台莱阳期末)如图所示，AB=BC, ∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点， AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE= CF,连接BD,求证：Rt△ADE≌Rt△CDF. 20 优学泰说时温