第1章 2 第1课时直角三角形的性质与判定-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

“.BCA-90..'.BC 1AC ' ABK+ $K=90*.ACD+ K-90.$$ :FDIAC...DE/BC. '.ABK- ACD. .CD-AD. 在△BAK和△CAD中.'BAK= CAD,AB=AC .BE-AEF,CF-AB.CE=BE. 乙ABK-ACD.△BAK△CAD(ASA). $CD-BK..'$CD-2BE,即DF=2BE. “·乙ACB-90*乙A-30{。 专题二 分类讨论在等腰 . B-90-30-60 。 三角形中的应用 *.△BCE是等边三角形 19.解:(1)一 3.C 4.D 5.72或45* (2)- 理由如下: 6.解:①设等腰三角形ABC的顶角是30{},BD1AC于点D. 如图①所示.在Rt△ABD中,'乙A-30*,AB-AC-4. 过点E作EF/BC,交AC于点F,.△ABC为等边三角形; .BD-2. ' AFF ABC-60*.AFE ACB-60.$ '.△AFF 为等边三角形..'AE=EF-AF.'BE-CF .ED=EC...D-FCD. " DEB=60- D.ECF-60*- ECD. . DEB-ECF. DE-EC. 在△DBE和△EFC中,DEB=ECF, ① BE-FC. ②设等腰三角形ABC的底角是30{,BD1AC交CA的延长 '△DBE△EFC(SAS)...DB-EF...AE-DB. 线于点D,如图②所示.在Rt△ABD中,.AB=AC-4. (3)当点E在AB的延长线上时,作EF/AC,如图所示,则 C= ABC-30..' BAD=60..' ABD=30..'$AD AEFB为等边三角形,同理可得△DBEACFE 2.由勾股定理,得BD-AB一AD一23.综上所述,这 个等腰三角形腰上的高是2或23. 7.解:(1)设点M.N运动-秒后,M.N两点重合. 则x×1+12-2r,解得x-12. 故点M,N运动12秒后.M.N两点重合. (2)设点M,N运动1秒后,可得到等边三角形AMN,如图① 所示,AM-1X1-1(cm),AN-AB-BN-(12-2t)cm. ·△AMN是等边三角形,*.1-12-2,解得(=4..点 “AB-1.AF-2.'.BE-1. M.N运动4秒后,可得到等边三角形AMN. ·DB-FC-FB+BC-2.则CD=BC+DB-3 专题一 “三线合一”的灵活运用 1.C 2.A 3.C 4. 5.115 6.解:作图:①画射线AE,在射线AE上截 取AB-a; ②作AB的垂直平分线,垂足为O,截 1 取CO-h: ② ③连接AC,CB,△ABC即为所求,如 (3)当点M.N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的 图所示. 等腰三角形:由(1)知12秒时M,N两点重合,恰好在点( - 7.解:(1)证明:.'AD1BC...ADB 处,则12秒后,点N在点M下方,如图②所示,假设△AMN 乙ADC-90 是等腰三角形.AN-AM.乙AMN-ANM..乙AMC :DA平分BAC...DAB-DAC. ANB..AB=BC=AC..△ACB是等边三角形, 在△ADB和△ADC中,:乙ADB=乙ADC,AD=AD '.C=B.在△ACM和△ABN中..AC=AB,C 乙DAB=DAC..△ADB△ADC(ASA). B.乙AMC=ANB...△ACM△ABN(AAS)...CM ..AB-AC,BD=DC,即D为BC的中点 BN.设当点M.N在BC边上运动.M.N运动的时间为y秒 (2)结论:DF-2BE 时,△AMN是等腰三角形...CM-(y-12)cm.NB-(36- 证明:如图所示,延长BE交CA的延长 $y)cm,由CM-NB,得y-12-36-2y,解得y-16.故假 线于点K. 设成立..'.当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底 .CE平分BCK.CE1BK. 边的等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为16秒 C 2 直角三角形 .由(1)中结论可知CB-CK. BE-KE. 第1课时 直角三角形的性质与判定 . BAK= CAD= CEK-90*. 1.A 2.A 3.D 4.50* 5.C 6.D 7.24 3 8.解:验证:·'5^+12-169,13-169. '$5+12-13. 第2课时 直角三角形全等的判定(HL) '.以12、13和5为边长的三角形是直角三角形 1.D 2.AB-AC 探究: 3.证明:: A- B-90*。 由“发现”得;m+n+1-n.,n-2m+1. '.△ADE和△BFC均为直角三角形 'n+n-m+2m+1-(n+1} .1-乙2. &.以n.n,m十1为边长的三角形是直角三角形, ..DE-EC. '“发现”中的结论正确 在Rt△ADE和Rt△BEC中. 应用:40+41-9..9+40-1681,41-1681..,9+ lDE-EC. 40-41...以9,40,41为边长的三角形是直角三角形. AE-BC. 9.C ·R△ADFR△BFC(HL). 10.解:(1)如果a,b都是无理数,那么ab也是无理数的逆命题 4.A 5.3 6.D 7.C 8.B 9.7 10.①② 是:如果ab是无理数,那么a,b都是无理数,此命题是假 11.证明:.BAD- BCD-90*。 命题. 在Rt△ABD和Rt△CBD中. (2)三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是:如果两个 (BD-BD, 三角形全等,那么它们的对应边分别相等,此命题是真 AB-BC. 命题. .Rt△ABDRt△CBD(HL). 11.60{或90 12.C 13.C 14.A 15.A .AD-CD. 16.52 17.30 cm 18.1.5 19.10 .'AF EF 干点E,CF FF 干点F 20.解:(1)EDC和/GFC的数量关系是。 .乙E-乙F-90。 乙EDC+乙GFC-180{.理由如下: 在Rt△ADE和Rt△CDF中. .ACI BC.DEAC...DE/BC. [AD-CD. .EDC- DCF. AE-CF. .CD AB.FG1AB...CD/GF :Rt△ADERt△CDF(HL). . DCF+GFC-180*. 12.解:(1)证明:①:BDDE,CE1DE. . EDC+GFC-180 ' ADB-AFC-90”. (2).FG1AB, B-55* [AB-CA. . BFG-90*- B-35{ 在Rt△ABD和Rt△CAE中. AD-CE. :CD/GF... DCF- BFG-35$ .Rt△ABDRt△CAE(HL) "'AC 1BC..乙ACD-90*- DCF-55*. *. DBA= EAC.AE-BD 21.解:设机器人H:跑步x米与乐乐相遇,则AB一工米, . BAD+ DBA-90.$BAD+ CAE-90{. BC-(9一r)米. ' BAC=180*-(BAD+ CAE)-90.'.AB1AC .机器人H,的跑步速度与乐乐的下滑速度相同. ②:AD=CE,AE-BD...DE-AD+AE-CE+BD. '.DB-AB-:来. (2)结论:ABIAC. 在Rt△BCD中.C-90*. 证明:.BD DE,CE DE... ADB= AFC=90 .BD-BC+CD. [AB-CA. .-(9-)+3 在Rt△ABD和Rt△CAE中. AD-CE. 解得:一5. ..Rt△ABDRt△CAE(HL)... DAB=ECA .机器人H.跑步5米与乐乐相遇 .' CAE+FCA=90..CAE+ BAD=90. 22.解:(1)是.理由: 即 BAC-90...AB1AC. “AM+BN*-2+(23)-16,MN:-4-16 阶段检测一。 (1~2) '.AM+NB-MN. 1.D 2. D 3.C 4. B 5. B 6.A 7.C 8. B 9. D '以AM.MN.NB为边的三角形是一个直角三角形 10.同旁内角互补,两直线平行 11.AB一DC(答案不唯一) 故点M,N是线段AB的勾股分割点. 12.6 13.67.5或22.5* 14.23s或6s (2)设BN-x,则MN-12-AM-BN-7-x. ①当MN为最长的线段时,依题意,得MN{-AM{}+NB. 15.解:(1)证明:.A-30*.ACB-90. ' B-60:AE-DE.. A- ADE-30.BEF 即(7-r)-十25,解得-= 12 A+ ADE-60”。B- BEF-60”△BEF是等 ②当BN为最长的线段时,依题意,得BN一AM^{*}+MN{ 边三角形. 37 (2)如图所示,在EF上截取FG一CF,连接CG..'F-60* 即r-25十(7--):,解得-- $.△CFG为等边三角形...乙FGC- F- BEF-60{。 .乙AED=CGD.在△ADE和△CDG中,:乙ADE CDG. AED= CGD.AD=CD...△ADE△CDG2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定（答案3》 通基础 6.(2024·武汉期中)如图所示，在△ABC中， AB=AC=10,BC=16,点D为BC的中点， 知识点1直角三角形的内角性质和判定 DE⊥AB于点E,则DE的长为() 1.(2024·潍坊期末)若直角三角形的一个锐角 等于40°，则它的另一个锐角等于( A.50° B.60°C.70° D.1409 2.如图所示，在△ABC中，CD,BE分别是AB, D AC边上的高，并且CD,BE交于点P,若 A.1.2 B.1.6 C.2.4 D.4.8 ∠A=50°，则∠BPC等于() 7.三角形三边长为6,8,10，则这个三角形的面 积是 8.探究拓展◆发现：如果两个连续的正整数的和 可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三 个正整数为边长的三角形是直角三角形. 验证：如12+13=25=5，请判断以12、13和 A.130°B.120°C.110° D.100 5为边长的三角形是直角三角形。 3.(2024·滨州惠民期未)具备下列条件的 探究：设两个连续的正整数m和m十1的和可 △ABC中，不是直角三角形的是() 以表示成正整数n2,请论证“发现”中的结论 A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C 正确. C.∠A：∠B:∠C=1:2:3 应用：寻找一组含正整数9，且满足“发现”中 D.∠A=∠B=3∠C 的结论的数字 4.(2023·徐州睢宁期中)在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A-∠B=10°，则 ∠A= 知识点2直角三角形的边的性质和判定 5.数学文化》勾股定理是中国几何的根源，中 华数学的精髓，诸如开方术，方程术、天元术等 技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理 有着密切关系.如图所示，在△ABC中， ∠ABC=90°，若AB=2,BC=3,则正方形 ACDE的面积为( A.4 B./13 C.13 D.16 16 优学条课的温 知识点3互逆命题和互逆定理 A.b2-c2=a8 9.下列说法错误的是( ) B.a:b:c=5:12:13 A.任何命题都有逆命题 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.真命题的逆命题不一定是正确的 D.∠C=∠A-∠B C.任何定理都有逆定理 14.(2024·菏泽鄄城期末)如图所示，小明在计 D.一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一 算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC, 定是正确的 ∠C=90°，并画出了两锐角的平分线AD, 10.抽象能力写出下列各命题的逆命题，并判 BE及其交点F,小明发现，无论怎样变动 断逆命题的真假. Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是 (1)如果a,b都是无理数，那么ab也是无 定值，则这个定值为() 理数 A.135°B.150 C.120 D.110 (2)三边分别相等的两个三角形全等. 第14题图 第15题图 15.数材P17习题1.5T5变式，如图所示是放在地 面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm, 错直角三角形中的直角不确定导致漏解 BC=6cm,BF=5cm,点M在棱AB上，且 11.如图所示，已知∠AOD=30°，点C是射线 AM=3cm,V是FG的中点，一只蚂蚁要沿 OD上的一个动点.在点C的运动过程中， 着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它 △AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有 需要爬行的最短路程为( 可能的度数为 A.10 cm B./106cm C.(6+√/34)cm D.9 cm 16.将一副三角板如图所示叠放在一起，如果 通能力 AB=10cm,那么AF= cm. 12.(2024·永州祁阳期末)在Rt△ABC中， ∠A:∠B=1:2,则两个锐角的度 30 数为( 45>p A.45和45 第16题图 第17题图 B.30°和60° 17.应用意识如图所示，一个圆柱形水杯深20cm, C.45°和45°或30°和60 杯口周长为36cm,在杯子外侧底面A点处 D.以上说法都不对 有一只蚂蚁，它想吃到杯子相对的内壁上点 13.已知a,b,c是△ABC的三条边，满足下列条 B处的蜂蜜，已知点B距离杯子口4cm,不 件仍不能判断△ABC是直角三角形的 考虑杯子的厚度，则蚂蚁爬行的最短距离 是() 为 一八年级下领+数学：的 18.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， H,的出发点之间的距离AC=9米.请问，机 CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于 器人H,跑步多少米与乐乐相遇？ 点E,若AC=2,AE=1,则BC= 第18题图 第19题图 19.如图所示，在长方形ABCD中，AB=8,BC=4, 将长方形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重 叠部分△AFC的面积为 20.(2024·湖州长兴期末)如图所示，在△ABC 中，AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D, 通素养 DE⊥AC于点E,F为线段BC上一点， 22.阅读理解◆定义：如图所示，点M,V把线段 FG⊥AB于点G. AB分割成AM,MN,NB,若以AM, (1)试探索∠EDC和∠GFC的数量关系，并 MN,NB为边的三角形是一个直角三角形， 说明理由， 则称点M,N是线段AB的勾股分割点。 (2)若∠B=55°，求∠ACD的度数. (1)已知M,N把线段AB分割成AM, MN,NB,若AM=2,MN=4,BN=2/3,则 点M,N是线段AB的勾股分割点吗？请说 明理由。 (2)已知点M,V是线段AB的勾股分割点， 且AM为直角边，若AB=12,AM=5,求 BN的长 21.(2024·安康期末)2023年8月16日，WRC 世界机器人大会在北京亦庄开幕.某科技公 司展示了首款人形通用机器人H.乐乐爸爸 是机器人研发工程师，其中一次机器人H 的跑步测试方案如下：如图所示，在滑梯上的 乐乐从滑梯顶端D处沿着DB方向滑下，同 时机器人H1从乐乐对面的A处向B处跑 去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人 H,的跑步速度与乐乐的下滑速度相同.已知 滑梯的高度CD=3米，滑梯底部与机器人 18 优计学擦说的盖一