第1章 1 第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

第4课时 等边三角形的判定与含30{}角的直角三角形(答案P2 通基础 5.(2024·惠州惠阳区一模)如图所示,已知D 为BC的中点,DE IAB,DF AC,E,F为垂 知 1等边三角形的判定 足,且BE=CF, BDE=30{*,求证:△ABC是 1.(2024·周口淮阳区月考)在△ABC中,AB 等边三角形. AC,添加下列一个条件后不能判定入ABC是 等边三角形的是( ) A. A-60* B.AC-BC C. B的补角等于C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线 2.若一个三角形的最小内角为60{,则下列判断 中正确的有( ) (1)这个三角形是锐角三角形;(2)这个三角形 是等边三角形;(3)形状不能确定;(4)不存在 这样的三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图所示,在△ABC中,AB=BC,C=60*} AD是BC上的高,DE/AC,图中与BD(BD 知三2含30*角的直角三角形的性质 除外)相等的线段共有( ) 6. 模型观念如图所示是某商场一楼与二楼之间 的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一 楼、二楼地面的水平线, ABC三150*,BC的 长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高 度h是( ) A.1条 B.2条 A.3m B.4m C.4.5m D.5m C.3条 D.4条 4.(2023·河泽曹县二模)将含30{}角的直角三角 板和直尺按如图所示的方式放置,已知之。 1500 60{.,点B,C表示的刻度分别为1cm,3cm,则 第6题图 第7题图 线段AC的长为 cm. 7. 如图所示,在Rt△ABC中,BAC=90*; C=30*,BC=6,点D为BC的中点,AE1 BC于点E,则DE的长是( ) A.1 C.3 D.6 8. 教材P12随堂练习变式如图所示,在△ABC 通能力 中,AC1BC, B=30{*$CD1AB,垂足为D. 若AD一1,则AC的长为 12.下列三角形;①有两个角等于60{}的三角形; ②有一个角等于60{}的等腰三角形;③三个外 角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角 形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等 第8题图 第9题图 腰三角形,其中是等边三角形的有 ) 9.如图所示,在△ABC中,C=90{,B=15*, A.①②③④ B.①②④ AB的垂直平分线DE交BC于D,E为垂足, C.①③ D.②③④ 若 BD=10 cm,则△ADC 的周长为 13.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC cm. 6,底角为30{},动点P从点B向点C运动,当 10.(2024·济南历城区期末)如图所示,在 △PAB是直角三角形时,BP的长为( ) △ABC中, ACB=90$, A=30{*,AB的$$ A.4 B.2或3 垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.若 C.3或4 D.3 CE一3,则线段AE的长度等于 14.如图所示, AOB=120{,OP平分 AOB 且OP-2.若点M,N分别在OA,OB上,且 入PMN为等边三角形,则满足上述条件的 11.应用意识如图所示,一条船上午8时从海岛 △PMN有( ) A出发,以每小时15海里的速度向正北方向 航行,上午10时到达海岛B处,分别从A,B 处望灯塔C,测得 NAC=30*, NBC= 60{*°.若这条船到达海岛B处后,继续向正北 A.2个 B.3个 方向航行,还要经过多长时间,船与灯塔C之 C.4个 D.无数个 间的距离最短? 15. 新情境;如图所示是某种落地灯的简易示意 2 图,已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC 60 的长度相等,点E在DC的延长线上, 且 BCE=2BCD,若CD的长度为30cm 30 则此时B,D两点之间的距离为 cm. 16.如图所示,在Rt△ABC中,CM平分ACB 通素养 交AB于点M,过点M作MN/BC交AC于 19. 探究拓展》已知,在等边三角形ABC中,点 点N,且MN平分 AMC,若AN=1,则 BC的长为 E在AB上,点D在CB的延长线上,且 ED-EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图①所示,当点E为AB的中点时,确定线 段AE与DB的大小关系,请你直接写出结 17.如图所示,等边三角形ABC的边长为8,D,E 论:AE DB.(填“”“<”或“一”) 分别是BC,AC边的中点,过点D作DFI (2)【特例启发,解答题目】 AB于点F,连接EF,则EF的长为 如图②所示,当点E为AB边上任意一点时, 确定线段AE与DB的大小关系,请你直接 写出结论,AE DB(填“”“<”或 “-”).理由如下:过点E作EF/BC,交AC 于点F,(请你完成以下解答过程) 18. 一题多解如图所示,在△ABC中,ACB (3)【拓展结论,设计新题】 90{*. A=30{*,DE垂真平分线段AC,垂足 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上, 为D,交AB于点E.求证:△BCE是等边三 点D在线段CB的延长线上,且ED一EC, 角形,(请用两种方法解答) 若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长. (请你画出相应图形,并直接写出结果 ②PE⊥AB.PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC. '∠BAE=∠BAD+∠DAE=90. ∴zAB·PE+号AC·PF-7BC·PM=2AC·BG ∠CAD=∠DAE+∠CAE=90, .∠BAD=∠CAE,.∠B=∠C, AB,PE+号AB·PF-号AB·PM=号AB:BG 1 .△ABC是等腰三角形. PE+PF-PM=BG. 第4课时等边三角形的判定 第3课时等腰三角形的判定与反证法 与含30°角的直角三角形 1.B2.B3.D4.405.①③ 6.证明：：DG∥AC, 1.C2.B3.D4.2 ∴∠GDF=∠CEF(两直线平行，内错角相等)， 5.证明：，D是BC的中点，，BD=CD. 在△GDF和△CEF中， :DE⊥AB,DF⊥AC, I∠GDF=∠CEF, ∴.△BED和△CFD都是直角三角形. DF=EF. 由勾股定理，得 ∠DFG=∠EFC, DE=BD-BE,DF=√CD-CFT .△GDF≌△CEF(ASA),·DG=CE. 又BD=CD,BE=CF,∴DE=DF, 又：BD=CE,∴DG=BD,∴∠DBG=∠DGB. BD=CD. ,DG∥AC,.∠DGB=∠ACB,.∠ABC=∠ACB, 在△BED和△CFD中，(DE=DF. ,△ABC是等腰三角形， BE=CF. 7.D8.两直线平行，同位角不相等9.140或80°或20 .△BED≌△CFD(SSS),.∠B=∠C, 10.A11.C12.B13.B14.C15.C ,.AB=AC(等角对等边)， 16.217.8-3318.若a>b>0,a°≤b :∠BDE=30,DE⊥AB,∴∠B=60°， 19.720.9或10 ∴，△ABC是等边三角形， 21.证明：①假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角，则∠B十 6.B7.B8.29.(15+53)10.6 ∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°，这与三 11.解：根据题意，得AB=15×(10一8)=30（海里）. 角形内角和等于180°矛盾： ∠VBC=60°.∠NAC=30°. ②假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角.则∠B十 ∴.∠ACB=∠NBC-∠VAC=60°-30°-30. ∠C>180°，而∠A十∠B+∠C>180,这与三角形内角和等 .∠ACB=∠NAC.∴.BC=AB=30海里. 于180°矛后. 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 综上所述，假设①，②错误，所以∠B,∠C只能为锐角， 故等腰三角形的底角必为锐角， 22.解：(1)∠B=∠ADB, 60 ..AB-AD. ,DE垂直平分AC, ..AD=DC...AB=AD=DC. 又AB=10,.CD=10. (2)证明：：AD平分∠BAC. ∴.∠BAC=2∠CAD. 根据垂线段最短，线段CD的长为船与灯塔C之间的最短 ,'AD=CD,.∠CAD=∠ACD 距离，∠BDC=90 :∠ADB=∠ACD+∠CAD=2∠CAD, 又，∠NBC=60, .∠ADB=∠BAC. ,∠DCB=180°-∠BDC-∠CBD=30 ∠B=∠ADB,∠B=∠BAC, 在R1△BCD中，∠BCD=30°， AC=BC,∴，△ABC为等腰三角形 23.证明：(1)，DE是AB的垂直平分线， DB=号BC=号×30=15（海里）. ..AD-BD. .15÷15=1(小时 .△ABD是等腰三角形. 答：还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短」 又：∠C=90.∴.△ACD是直角三角形， ∴.AD是△ABC的一条等直分割线段. 12.A13.C14.D15.3016.617.27 (2)如图所示，AD,AE是△ABC的两条等直分割线段， 18.证明：方法1： :DE垂直平分线段AC, .CE=AE,∴.∠ACE=∠A=30°， ∴.∠BEC=∠A+∠ACE=60. B D :∠ACB=90°，∠B=90°-30°=60°， ∴.AD=BD,∠CAD=90°，AE=CE,∠BAE=90°， ,△BCE是等边三角形. ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE, 方法2： 2 .∠BCA=90°，.BC⊥AC. ∴.∠ABK+∠K=90°.∠ACD+∠K=90° ED⊥AC.∴.DE∥BC .∠ABK=∠ACD. CD=AD. 在△BAK和△CAD中，，∠BAK=∠CAD,AB=AC, ∠ABK=∠ACD,,△BAK≌△CAD(ASA), BE-AE,CE-2AB.CE-BE. .CD=BK..CD=2BE.DF=2BE. :∠ACB=90°，∠A=30°， 专题二分类讨论在等腰 .∠B=90°-30°=60°， .△BCE是等边三角形. 三角形中的应用 19.解：(1) 1.D2.8或婴 3.C4.D5.72°或45 (2)= 6.解：①设等腰三角形ABC的顶角是30°，BD⊥AC于点D, 理由如下： 如图①所示.在R1△ABD中，：∠A=30°，AB=AC=4, 过点E作EFBC,交AC于点F,,△AC为等边三角形， .BD=2. :∠AEF=∠ABC=60.∠AFE=∠ACB=60, △AEF为等边三角形，AE=EF=AF,.BE=CF. ,ED=EC,.∠D=∠ECD, '∠DEB=60°-∠D.∠ECF=60°-∠ECD. .∠DEB=∠ECF DE-EC. 在△DBE和△EFC中，（∠DEB=∠ECF, D ② BE-FC. ②设等腰三角形ABC的底角是30°，BD⊥AC交CA的延长 ∴.△DBE≌△EFC(SAS),∴.DB=EF..AE=DB. 线于点D,如图②所示.在Rt△ABD中，：AB=AC=4, (3)当点E在AB的延长线上时，作EF∥AC,如图所示，则 ∠C=∠ABC=30,.∠BAD=60°，.∠ABD=30°，.AD= △EFB为等边三角形.司理可得△DBE2△CFE 2.由勾股定理，得BD=√AB一AD=23.综上所述，这 个等腰三角形腰上的高是2或2√3. 7.解：(1)设点M,N运动x秒后，M,N两点重合， D 则r×1十12=2.x,解得x=12. 故点M,N运动12秒后，M,N两点重合. (2)设点M,N运动1秒后，可得到等边三角形AMN,如图① 所示，AM=1×1=t(cm),AN=AB一BN=(12-2:)cm. △AMN是等边三角形，.1=12-24，解得1=4，∴点 AB=1,AE=2,∴.BE=1. M,N运动4秒后，可得到等边三角形AMN, DB=FC=FB+BC=2,则CD=BC十DB=3. 专题一“三线合一”的灵活运用 1.c2.A3c4号51n6 6.解：作图：①画射线AE,在射线AE上截 取AB=a: ②作AB的垂直平分线，垂足为O,截 ②2 取CO=h: 连接AC,CB,△ABC即为所求，如 (3)当点M,N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的 图所示 等腰三角形，由(1)知12秒时M,N两点重合，恰好在点C 7.解：(1)证明：：AD⊥BC,∴∠ADB= 处，则12秒后，点N在点M下方，如图②所示，假设△AMN ∠ADC=90°. 是等腰三角形，∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AC= :DA平分∠BAC,.∠DAB=∠DAC ∠ANB.”AB=BC=AC,,△ACB是等边三角形， 在△ADB和△ADC中，，∠ADB=∠ADC,AD=AD ∴∠C=∠B.在△ACM和△ABN中，AC=AB,∠C= ∠DAB=∠DAC,.△ADB≌△ADC(ASA). ∠B,∠AMC=∠ANB,∴.△ACM2△ABN(AAS),.CM ∴AB=AC.BD=DC,即D为BC的中点. BN.设当点M,N在BC边上运动，M,N运动的时间为y秒 (2)结论：DF=2BE. 时.△AMN是等腰三角形.∴CM=(y一12)cm.NB=(36 2y)cm,由CM=NB,得y一12=36一2y,解得y=16.故假 证明：如图所示，延长BE交CA的延长 E 设成立..当点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底 线于点K 边的等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为16秒， CE平分∠BCK,CE⊥BK, .由(1)中结论可知CB=CK 2直角三角形 BE-KE. 第1课时直角三角形的性质与判定 :∠BAK=∠CAD=∠CEK=90. 1.A2.A3.D4.50°5.C6.D7.24 3