第1章 1 第3课时等腰三角形的判定与反证法-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC, :∠BAE=∠BAD+∠DAE=9O°， ∴EAB PE+2AC·PF-ZBC·PM=2AC·BG, ∠CAD=∠DAE+∠CAE=90°， .∠BAD=∠CAE,∠B=∠C, 2AB.PE+-ZAB:PF-号AB·PM=号AB,BG, 1 ,.△ABC是等腰三角形. ..PE+PF-PM=BG. 第4课时等边三角形的判定 第3课时等腰三角形的判定与反证法 与含30°角的直角三角形 1.B2.B3.D4.405.①③ 6.证明：：DG∥AC, 1.C2.B3.D4.2 ·∠GDF=∠CEF(两直线平行，内错角相等). 5.证明：D是BC的中点，BD=CD. 在△GDF和△CEF中， DE⊥AB,DF⊥AC I∠GDF=∠CEF, ∴△BED和△CFD都是直角三角形. DF=EF, 由勾股定理，得 ∠DFG=∠EFC, DE=VBD-BE.DF=CD-CF ∴，△GDF≌△CEF(ASA),DG=CE. XBD-CD.BE-CF...DE-DF. 又'BD=CE,∴.DG=BD,.∠DBG=∠DGB. (BD=CD, :DG∥AC,∴.∠DGB=∠ACB,.∠ABC=∠ACB, 在△BED和△CFD中，DE=DF, ,△ABC是等腰三角形. BE=CF, 7.D8.两直线平行，同位角不相等9.140°或80°或20° .△BED≌△CFD(SSS),'.∠B=∠C, 10.A11.C12.B13.B14.C15.C .AB=AC(等角对等边). 16.217.8-3318.若a>b>0,a≤b ∠BDE=30,DE⊥AB,∠B=60°， 10 19.720.3或10 .△ABC是等边三角形. 21.证明：①假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角，则∠B+ 6.B7.B8.29.(15+55)10.6 ∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°，这与三 11.解：根据题意，得AB=15×(10-8)=30(海里). 角形内角和等于180°矛盾： ,"∠NBC=60°，∠NAC=30°， ②假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是饨角，则∠B十 .∠ACB=∠NBC-∠NAC=60°-30°=30°， ∠C>180°，而∠A+∠B+∠C>180”,这与三角形内角和等 ,∠ACB=∠NAC,∴.BC=AB=30海里. 于180°矛盾. 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 综上所述，假设①，②错误，所以∠B,∠C只能为锐角 故等腰三角形的底角必为锐角。 22.解：(1)∠B=∠ADB, D ..AB-AD. 60 ,DE垂直平分AC, .AD=DC...AB=AD=DC. 又AB=10,∴CD=10. (2)证明：：AD平分∠BAC, .∠BAC=2∠CAD 根据垂线段最短，线段CD的长为船与灯塔C之间的最短 AD=CD,.∠CAD=∠ACD, 距离，∠BDC=90. ∠ADB=∠ACD+∠CAD=2∠CAD, 又∠NBC=60°， ∴∠ADB=∠BAC. .∠DCB=180°-∠BDC-∠CBD=30 ∠B=∠ADB,∠B=∠BAC, 在Rt△BCD中，∠BCD=30°， ,AC=BC,.△ABC为等腰三角形 23.证明：(1)DE是AB的垂直平分线， :DB=号BC=名×30=15（海里D, ..AD=BD, ∴.15÷15=1（小时）. ∴，△ABD是等腰三角形 答：还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短. 又，∠C=90°，.△ACD是直角三角形， AD是△ABC的一条等直分削线段. 12.A13.C14.D15.3016.617.2/7 (2)如图所示，AD,AE是△ABC的两条等直分制线段， 18.证明：方法1： ,DE垂直平分线段AC, .CE=AE,∠ACE=∠A=30°， ∴.∠BEC=∠A十∠ACE=60°， B ,∠ACB=90°，∴.∠B=90°-30°=60， .AD=BD,∠CAD=90°，AE=CE,∠BAE=90, ∴△BCE是等边三角形. ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE. 方法2：第3课时 等腰三角形的判定与反证法（答案P2) 通基础 5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D.下 列条件：①BD=CD,②∠B=∠DAC, 知识点1等腰三角形的判定 ③∠B=∠C.其中能使△ABC是等腰三角形 1.(2023·河北一模)如图所示所标数据，下面说 的是 .(填序号) 法正确的是( 6.如图所示，点E在△ABC的AC边的延长线上， A.①是等腰三角形 点D在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF, B.②是等腰三角形 BD-CE,过点D作DG∥AC交BC于点G. C.①和②均是等腰 求证：△ABC是等腰三角形. 三角形 5080 D.①和②都不是等 腰三角形 2.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，EF∥AD,交AB于点F,交CA的延长线 于点G,下列说法正确的是( A.△ABD是等腰三角形 B.△AGF是等腰三角形 C.△BEF是等腰三角形 D.△ADC是等腰三角形 B 3.△ABC的三边分别是a,b,c,下列条件不能判 定△ABC是等腰三角形的是( 知识点2反证法 A.∠A:∠B：∠C=2:2:3 B.aib:c=2:2:3 7.(2024·宁波镇海区期末)用反证法证明“已知 C.∠B=50°，∠C=80 在△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°.”时， D.2∠A=∠B+∠C 第一步应假设( 4.(2024·南宁兴宁区模拟)如图所示，上午8时， A.∠B≠90 B.AB≠AC 一条船从海岛A出发，以20 n mile/h的速度 C.∠B>90° D.∠B≥90° 向正北航行，10时到达海岛B处.从海岛A,B 8.用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时， 望灯塔C,测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从 可假设 海岛B到灯塔C的距离为 n mile. 精国因不明确等腰三角形腰长和底边长而 漏解 划塔 9.如图所示，∠AOB=40°， 岛B OC平分∠AOB,如果射 42 线OA上的点E满足 品A △OCE是等腰三角形， 第4题图 第5题图 ∠OEC的度数为 优学嫌说的温 通能分 14.如图所示，∠1=∠2，∠C=∠D,AC与BD 相交于点E,下列结论中不一定正确的 10.如图所示，已知O是△ABC中∠ABC, 是( ∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于 A.∠DAE=∠CBE 点D,OE∥AC交BC于点E,若BC= B.△DEA≌△CEB 10cm,则△ODE的周长为() C.CE=DA A.10 cm B.8 cm D.△EAB是等腰三角形 C.12 cm D.20 cm 第14题图 第15题图 第10题图 第11题图 15.习题课上，张老师和同学们一起探究一个问 11.(2024·菏泽牡丹区期末)如图所示，在正方 形网格内，A,B两点都在小方格的顶点上， 题：“如图所示，在△ABC中，D,E分别是 如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC AC,AB上的点，BD与CE相交于点O,给出 是等腰三角形，那么点C的个数为( 四个条件：①OB=OC,②∠EBO=∠DCO, A.1 B.2 ③∠BEO=∠CDO,④BE=CD.若在上述 C.3 D.4 四个条件中，选择两个作为已知条件，哪种组 12.如图所示，在△ABC中，AB=3,AC=5, 合能判定△ABC是等腰三角形？”你认为正 BC=7,在△ABC所在平面内画一条直线， 确的组合方法有( ) 将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个 A.2种 B.3种 边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多 C.4种 D.6种 可画( 16.(2024·重庆中考)如图所示，在△ABC中， A.5条 B.4条 AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC C.3条 D.2条 于点D.若BC=2,则AD的长度为 第12题图 第13题图 第16题图 第17题图 13.如图所示，在△ABC中，AB=6,AC=4, ∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点 17.如图所示，在△ABC中，M,N分别为BC, E作MN∥BC分别交AB,AC于点M,N, AB上的点，将△BMN沿MN翻折，得到 则△AMN的周长为() △BMN,连接B'B,AB'.已知∠AB'B A.12 B.10 90°，若B'M∥AC,B'M=8,AC=33,则 C.8 D.不能确定 CM的长为 一八年级下做数学$ 18.用反证法证明“若a>b>0,则a2>b2”,应 通素养 假设 19.教材P9习题1.3第2题变式◆如图所示，在 23.阅读理解》定义：一个三角形，若过一个顶点 △ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线 的线段将这个三角形分为两个三角形，其中 上，EP⊥BC于点P,交AB于点F,若 一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则 AF=2,BF=3,则CE的长度为 称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做 这个三角形的等直分割线段. 例如： 如图①所示，在△ABC中， 人60m 若AD⊥BC于点D,且BD=AD, B P B 第19题图 第20题图 则△ACD是直角三角形， 20.如图所示，∠BOC=60°，A是BO延长线上 △ABD是等腰三角形， 的一点，OA=10cm,动点P从点A出发沿 所以△ABC是等直三角形， AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出 AD是△ABC的一条等直分割线段 发沿OC以1cm's的速度移动，如果点P,Q (1)如图②所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， 同时出发，用t(s)表示移动的时间，当1= DE是AB的垂直平分线，请证明AD是 s时，△POQ是等腰三角形. △ABC的一条等直分割线段， 21.应用意识◆用反证法证明等腰三角形的底角 (2)若△ABC是一个等直三角形，恰好有两 必为锐角。 条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证： △ABC是等腰三角形 22.推理能力如图所示，在△ABC中，AC的垂 直平分线交BC于点D,交AC于点E, ∠B=∠ADB. (1)若AB=10,求CD的长. (2)若AD平分∠BAC,求证：△ABC为等腰 三角形 10 优学嫌说的温