8.3 实数及其简单运算&数学活动-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(人教版2024)

8.3 实数及其简单运算 第1课时 实数的概念及其分类(答案P11) #通基础 理数都是无限小数;③带根号的数都是无理 数;④开方开不尽的数的平方根是无理数,其 知识点1无理数的概念 中错误的有( ) 。 A.1个 C.3个 1.(2024·泸州中考)下列各数中,无理数是 B.2个 D.4个 D.7 C.0 B.3.14 通能力 3 >>>>→>>>>>→> 2.(2024·商丘期中)若无理数a满足:一4<a 8.下列判断正确的是( ~_ 一1,请写出两个你熟悉的无理数: A./8是整数,是有理数 知识点2实数的分类 3.实数可以分成( _~ A.正实数和负实数 是分数,是有理数 B.分数和无理数 D.3.1415926是小数,是无理数 C.无限循环小数和无限不循环小数 D.有理数和无理数 3 4.(2024·温州期中)实数庄园将组建三支代表 个1之间2的个数逐次加1)、16。。0.23。 队参加“体育嘉年华”活动,请仔细辨别下列 ) A.2个 B.3个 填在各自所属的代表队里. C.4个 D.5个 整数代表队: ; 10.(2024·襄阳月考)下列说法错误的是 ) 分数代表队: /; . 无理数代表队: A. 知识三3实数与数轴上点的关系 B./-27是有理数 5.(2024·商丘模拟)如图所示,实数/2在数轴上 C./4是有理数 的对应点可能是 点. D.9的平方根是土③ _BC 11. 几何直观如图所示,圆的直径为1个单位长 6.(2024·成阳一模)已知点A,B,C在数轴上的 度,该圆上的点A与数轴上表示一1的点重 位置如图所示,点A表示的数是一2,点B是 合,将圆沿数轴滚动1周,点A到达点B的 位置,则点B表示的数是( AC的中点,线段AB一、3十1,则点C表示的 ) 数是 鹤 A.x-1 对无理数的意义理解不透彻而出错 B.-π-1 C.-十1 7.给出下列说法:①无限小数都是无理数;②无 D.π-1或-π-1 12.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这11个数的平方 15.同学们学过数轴,知道数轴上的点与实数一 根及立方根中. 一对应,在一条不完整的数轴上从左到右有 有理数有 点A,B,C,其中AB-2/2,BC=/2,如图 无理数有 所示. 13.(2024·赣州期中)课堂上,老师让同学们从 (1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数 #7#### 下列数中找一个无理数:一 (2)若原点为0目CO=5/②,写出点A,B,C 22,乙说“一2”, 所对应的数. 0.2π,-/8,其中,甲说“- # 丙说“2n”. (1)甲、乙、丙三个人中,说错的是 (2)请将老师所给的数字按要求填人相应的 区域内. 正实数 负分数 14.(2024·平顶山期末)图①是由10个边长均 为1的小正方形组成的图形,我们沿图的虚 线AB,BC将它剪开后,重新拼成一个大正 方形ABCD. (1)在图①中,拼成的大正方形ABCD的面 积为 ,边AD的长为 知识运用: 16.阅读理解阅读下面的文字,解答问题 (2)现将图①水平放置在如图②所示的数轴 大家知道/2是无理数,而无理数是无限不循 上,使得大正方形的顶点B与数轴上表示一1 环小数,因死/2的小数部分我们不可能全部 的点重合,若以点B为圆心,BC边的长为半 地写出来,但是由于1</22,所以/2的整 径画圆,与数轴交于点E,求点E表示的数. 一。 数部分为1,将/2减去其整数部分1,所得的 差就是其小数部分/2一1,根据以上的内容, 解答下面的问题 (1)/5的整数部分是 ,小数部 ② 分是 (2)1十/②的整数部分是 ,小数部分 是 (3)1十/2十③的整数部分是 ,小数 部分是 ·七年级:下·数学· 第2课时 实数的运算(答案P11) #通基础 9.(2024·长春月考)计算: (1)(-1)-/16+3-π; 短识而1实数的绝对值,相反数、倒数 1.(2024·日照一模)/5的相反数是( ) A./5 B.-5 C.-5 D.5 ) 2.(2024·呼伦贝尔二模)/4的倒数是( (2)-2+-64+(-1)*25 C. B.-4 D.-2 3.(2024·绵阳月考)若x-/②,则x=( ~ A./2 C.士2 B.士/2 D.4 比较带根号的数的大小时,忽略负号而 4.实数a,,c,d在数轴上对应点的位置如图所 出错 示,这四个数中绝对值最小的是 10.比较下列各组数的大小 ) #))-6-14 (1)-8和/-5;(2)21与10 B.b C.c A.a D.d 5.完成下列表格: 实数 2 r 2-1 相反数 绝对值 #通能 知识点2实数的大小比较及运算 11.满足z1一/10 的整数n的值可能 6.(2024·天津三模)比/③大,比/5小的整数 是( - 是( -. A.0 B.1 C.2 C.3 D.3 A.1 B.2 D.4 7.下列算式的计算结果不为0的是( ) 12.若a,b,c分别表示/2的相反数、绝对值、倒 数,则下列结论正确的是( B.-2十-8 ) A.-2十(-2)* A.a>b B.b<c C.-2+(-、/②)* D.(/②)②-2 C.a>c D.6-2c 8.(2024·保定期中)在解答题目“在数轴上标出 13.现规定一种运算;a※b一ab十a-b,其中a,b 一n,,v5,-1,再比较这四个数的大小”时, 为实数,则/16※/-8等于( ) 嘉淇已经标出了一x和/5所对应的点,如图所 A.-6 B.10 C.-2 D.6 示,请你标出其余两个数,并比较这四个数的 14.(2024·昆明期中)若/7的整数部分为a./5 大小. 的小数部分为6,则a十b= 5 15.(2024·北京海淀区期中)已知|x十3y 十 十27-0,则y:十的值为 16.(1)用“”或“<”填空: 根据上面的例题解答下列各题: #;#。# (1)比较一56和-6、/5的大小 (2)比较/7-1与/5-3的大小 ③1.441.44;④0.5 0.5. (2)请将(1)中的4个不等式分成两类,并说 明每类不等式的特征. 17.运算能力化简: (1)1-②+②-③+③-2l 通素养 19.(2024·抚州期中)根据下表回答下列问题; 17 17.1 17.2 17.3 17.4 {“ 289 292.41 295.84 299.20 (2)- -8+125+(-2)* 302.76 17.5 17.6 17.7 17.8 1 17.9 2 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 (1)295.84的算术平方根是 ,316.84 的平方根是 . (2)/29241- .③.1329- 18. 一题多解讲解完本节,王老师在小结时总结 (3)若/325的整数部分为n,求/3m-5- 了这样一句话:“对于任意两个整数a,b,如果 (m-16)的值. a,那么>、/,”然后讲了下面的一个例 4X3-/12. /200<2/3. 一 七年级:下册·数学 数学活动(答案P11) 三活动1估算A0纸的长与宽 三活动2口算求立方根 1.复印纸型号A3和A4之间存在这样一种关 4.(2024·南宁期末)跟华罗庚学猜数 系:将一张A3纸沿着较长边的垂直平分线对 据说,我国著名数学家华罗庚在一次出国 折后,就能得到两张A4纸,且每一张A4纸都 访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志 与原来的A3纸相似,则A3纸的长与宽之比 上有一道智力题:一个数是59319,希望求它 是( ) 的立方根.华罗庚脱口而出:39.邻座的乘客十 B./2:1 A.2:1 分惊奇,忙问计算的奥妙 C.③:1 D.3:1 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出 来的吗?请按照下面的问题试一试; 2.如果将一张长方形的A4纸沿长边对折,得到 两张全等的长方形纸片,恰好与原长方形相 ①.1000=10.1000000-100,又·1000 似,那么A4纸的长与宽的比为 59319-1000000. 3.小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊 .10 /59319<100..,能确定59319的立方 值“2”.定义:如图①所示,点C把线段AB分 根是个两位数 ②59319的个位数是9,又·9-729,..能确 定59319的立方根的个位数是9. 的“白银分割点”,如图②所示,长方形ABCD ③如果划去59319后面的三位319得到数 中AB BC -/2,那么长方形ABCD叫作“白银长 59.而/2759 64,则3 59 4,可得 30 /59319<40,由此能确定59319的立方 方形”,如图③所示,长方形ABCD是白银长 根的十位上是3,因此59319的立方根是39. 方形,AD>AB,将长方形沿着EF对折,试说 (1)现在换一个数46656,按这种方法求立方 明长方形ABFE是“白银长方形”. 根,请完成下列填空; #-### ①它的立方根是 位数; ②它的立方根的个位数字是 ③46656的立方根是 (2)求195112的立方根.(过程可按题目中的 步骤写)4.解：/1-36与/2a+I互为相反数， ∴.1-3b+2a+1=0, 实数 2 √2-1 .-3b+2a=-2, 相反数 二花 2 1-区 ,.-3b+2a+6=-2+6=4, ∴.-3b+2a+6的平方根为士√4=士2. 绝对值 2 2-1 5.D6.9.827.B8.-29.-110.293.8 6.B7.B 11.解：：正数a的两个平方根分别是2x+1和x一4， 8.解：<√5<9， .2x十1+x-4=0, 2<5<3, 解得x=1. 结合一4<-<-3W5=3,可知，一1在数轴上所对应的 .2x+1=3,x-4=-3,.a=9. 点如图所示： :3/1+25与/一36互为相反数， ∴.1+2b+1-36=0, 5 解得b=2. -T 05 当a=9,b=2时， 由一π，√，W5,一1所对应的点在数轴上的位置可知：一π< 3a-b=3×9-2=27-2=25, -1<5< 则3a一b的平方根为±√25=士5. 9.解：(1)(-1)3-√16+|3-π 12.解：(1)如：8+/一8=2+(-2)=0，则(8)+（一8）2= =-1一4+r-3 8+(一8)=0，即8和一8互为相反数， =π-8. ∴“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相 (2)-2+-64+(-1)20 反数”的结论成立 =-8-4-1 (2)7-y和/2y-5互为相反数， =-13. ∴./7-y+/2y-5=0, 10.解：(1)：-8==8，-8<-5，∴-8<-5， ∴(/7-y)'+(/2y-5)3=0, ÷-8<-5. 7-y+2y-5=0,y=-2. (2):2</27,./2T<3. ,0的平方根是它本身，x一3的平方根是它本身， x-3=0,x=3, 又：√/10>√9，即10>3，./2I<√10. x+y=3+(-2)=1, 11.D12.D13.B14.√515.-24 x十y的立方根是1. 16.解：(1)①<②>③<④> 8.3实数及其简单运算 (2)①③是一类，被开方数都大于1，开方的结果小于被开 第1课时实数的概念及其分类 方数： ②④是一类，被开方数都小于1，开方的结果大于被开方数 1.D2.-2,-x3.D 17.解：(1)11-21+12-√31+l3-2到 4.解：整数代表队：{0，一8}： 1 =2-1+3-2+2-5 分数代表队：7,0.505}： =1. 无理数代表队：{√13，π}. (2)原式=-(-2)+5+2 ■2+5+2 5.B6.237.B8.A9.D10.A11.D =9. 12.有理数0,1,4,9的平方根与0,1,8的立方根 2,3,5,6,7,8,10的平方根与2,3,4,5,6,7,9,10的立方根 18.解：(1)(-5V6)*=150,(-65)2=180,150<180, 13.(1)甲 .-56>-6√5 (2) 1 22 -z2x-9 (2)(7-1)2=8-27,(W5-5)2=8-2√15， 8-2W7>8-2√/15，√7-1>5-5. 14.解：(1)10√/10 19.解：(1)17.2士17.8 (2),BC=AD=√10， (2)1711.77 ∴.以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E, (3),182=324325, 点E表示的数为-1+√/10或-1-√10. ..18</325<19, 15.解：(1)若以B为原点，则点A所对应的数为一2√2，点C所 .m=18, 对应的数为√2， ∴.√3m-5-(m-16) (2)若原点0在点C的右边，且C0=52, =√3×18-5-(18-16) 则点C所对应的数为-5V2,点B所对应的数为-6，√2，点A =√/49-2 =7-8 所对应的数为一82： =-1. 若原点O在点C的左边，且C0=5v2, 数学活动 则点C所对应的数为5√2，点B所对应的数为4√E,点A 1.B 所对应的数为2瓦， 2.V巨：1解析：如图所示，设原来长方形的长为x,宽为y, 16.(1)2√5-2(2)2√2-1(3)4√2+√3-3 第2课时实数的运算 则对新后的长方形的长为y,宽为豆 1.C2.C3.B4.B :得到的两个长方形都和原长方形相似， 11 xy-y营，解得x1y=1 ∴a-5=0,b2-16=0,解得a=5,b=士4. (2)当a=5,b=4时，a+b-1=5+4-1=8,,8=2: 当a=5,b=-4时，a+b-1=5-4-1=0,.6=0. 故a+b-1的立方根是0或2. 【变式训练2】解：√49=7， :a,b互为相反数，a十b=0. ,c,d互为倒数，.cd=1. 3解：长方形ABCD是白银长方形，∴】 =E, :x的绝对值为√49，∴x=士7. ∴BC=√2AB. 当x=7时，原式=(0+1)×7+0-ī=7-1=6： 将长方形沿着EF对折， 当x=-7时，原式=(0+1)×(-7)+√0-折=-7-1 BF=FC-专8C-号AB, -8, ∴所求代数式的值为6或一8. 【通模拟】 16 2AB 1D2.B3.B4.<5. 6.35.137.1 ∴长方形ABFE是“白银长方形” 8解：-1P-号 4.解：(1)①两②6③36 49 7 (2)①，3/1000=10,3/1000000=100， x-1=±√ =士5' 又1000<195112<1000000， 7 ,.能确定195112的立方根是个两位数， x1=6 +1x=-5+1, ②195112的个位数是2，又8'=512， 12. 2 .能确定195112的立方根的个位上是8. 小x=5=-方 ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 125<195<216, （2(x-2)3=64 1 ∴能确定195112的立方根的十位上是5. 31 故195112的立方根是58. 六x-2=√644' 本章综合提升 【本章知识归纳】 x=+2=是 9 1.(1)平方士√a(2)开平方(3)相反数0没有2.正 9 数a03.立方a4.开立方5.(1)正数负数0 1 (2)=6.不循环7.(1)有理数(2)正负8.一一对应 9.解：(1)原式=-1+3+2×2=3， 9.(1)-a(2)本身相反数010.(1)法则(2)有限 (2)原式=5-(-2)+1一(5-√5)=3+√5. 【思想方法归纳】 10.解：(1)：√225<√249<√256， 【例1】解：，A,B两点表示的数分别为1，W2, .15<√249<16， ∴.C点所表示的数是x=1-(反-1)=2-√2， 根据绝对值的意义进行化简： ∴.√249的整数部分是15. (2)示意图如图所示. 原式=[2-2√21+3(2-√2) :面积为249的正方形的边 =22-2+6-3√2 长是√249， =4-2. 且15<√/249<16， 【变式调练1】解：(1)：一个数m的两个平方根分别为a和a ∴设√249=15十x,其中0< 210, 15 225 x<1. .a+a-2/10=0, 根据示意图，可得图中正方形 解得a=10, 的面积SE方彩=152十2× m=a=10. 15·x十x2, 15x (2):点A表示的数是10，点M表示的数是10，点B表 又：SE方m=249, 示的数是b,点B在点A的左侧， .152+2×15·x+x2=249, .AB=/10-b,AM=10-10 当x2<1时，可忽略x2,得30x十225≈249，得到x0.8,即 .BA=2AM, /249%15.8. ∴√/10-b=2(10-√10)， 【通中考】 解得b=3√10-20， 11.C12.A13.14.B15.C16.2或3 b-310+28 17.2解析：1a-1+(b一3)2=0， 1a-1≥0，(b-3)≥0， =3√10-20-3√/10+28 .a-1=0,b-3=0, =8. .a=1,b=3, .b-310十28的立方根是2. √a+b=√1+3=2. 【例2】解：(1){a-5|+√/63-16=0， 18.解：原式=3+2十（一2）=3十2-2=3. 12