第1章 1 第2课时等边三角形的性质-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

优★学案 参考答案 I课通] 八年级·下·数学·BS 第一章 三角形的证明 AB-CB, 在△ABE和△CBD中..: 乙ABE= CBD, 1 等腰三角形 BE-BD, 第1课时 三角形全等和等腰三角形的性质 ..△ABE△CBD(SAS). 1.A 2.234 '.AE-CD. 3.B 4. B 5.40* 6.50 9.D 10.D 11.C 12.120 13.20° 7.解:(1)证明:在△ABC和△ADE中, 14.11 15.20 16.③ BC-DE, 17.解:.在等边三角形ABC中,AD BC. B-/D. .. /CAD=/BAD AB-AD. 'BAC-60*..CAD-30。 ..△ABC△ADE(SAS). 'AD-AC.'ACD=ADC. (2)由(D)得△ABCAADE. .在△ACD中.ACD+ADC+CAD=180 '$AC-AE. BAC= DAE=60*' AEC- ACE “.乙ACD-75. 'AFC+ ACE-2 ACE-180*- DAE=12 0* ·在△ACE中.EAC十ACE十E-180”.E-45。 '. ACE-60..'ACE的度数是60. 18.解:(1)乙BDP一乙EPC.理由如下: “.△ABC为等边三角形,..乙B-60{。 8.D 9.C 10. 11.D 12.D 13.A 14.C . DPE-60”. DPE- B. .DPC是△BDP的外角, 19.3 . DPE+ EPC=乙B十 BDP. 20.解:(1).AB=AC.BAC=80*. .EPC-BDP. (2)'APDE为等边三角形...PD一PE 在△BDP和△CPE中. .BD-BE, B-乙C. 1(180*-乙B)-65°.。 . BDE- BED- 乙BDP- CPE. PD-EP. (2)点D是BC的中点..'AD1BC..ADB=90* *.△BDP△CPE(AAS)...BD-CP,BP=CE . ADE- ADB- BDE-25* ·BD+CE-CP+BP-BC-8. 21.解:(1)15(2)20” 19.解:(1)PE+PF+PM-BG,证明如下: (3) BAD-2/EDC(或 EDC-BAD). 如图①所示,连接PA,PB,PC. 则SAa.+Sar+SAcr-SAac. 证明: AED- EDC+C. ADC-B+BAD .△ABC是等边三角形,*'AB-AC-BC. AD=AE.:./AFD- ADE . PE1AB.PF AC.PMI BC.BG I AC. .AB=AC. B= C, B+ BAD= EDC+$$$ .AB·PE+ -BC·PM- C+EDC,即 BAD-2EDC. AC·BG. (4)仍有上述关系,理由: .AB·PE+AB·PF+AB·PM-AB·BG :ADC-B+ BAD. ADC= ADE+ EDC .B十BAD- ADE+EDC. .PE+PF+PM-BG. 'AB=AC.AD=AE.. B= C. ADE= AFD ' B+ BAD= AED+ EDC. 又: AED=C+ EDC.B+ BAD-C+ EDC+EDC-C+2EDC. .BAD-2EDC. 第2课时 等边三角形的性质 1. D 2. D 3. B 4.C 5. D 6.15 7.240 ② 8.证明:.△ABC与△BDE都是等边三角形, (2)PE+PF一PM-BG,理由如下: ' ABC- EBD-60{,AB-BC,EB-BD 如图②所示,连接PA.PB.PC. . ABC十 CBE=CBE十 EBD. 则SAa.+SMcr-S.n?-SAnc. 即ABE-CBD .△ABC是等边三角形...AB=AC-BC. .'PE I AB.PF I AC.PM I BC.BG I AC. . BAE= BAD+ DAE-90$. .AB·PE+AC·PF- CAD- DAE+ CAF=90{. '.BAD=/CAE. B=/C. .AB·PE+AB·PF- AB·PM- -AB·BG. '.△ABC是等腰三角形. '.PE+PF-PM-BG. 第4课时 等边三角形的判定 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 与含30{}角的直角三角形 1.B 2.B 3.D 4.40 5.①③ 6.证明:'DG/AC. 1.C 2.B 3.D 4.2 $. GDF一乙CEF(两直线平行,内错角相等) 5.证明:D是BC的中点。..BD一CD 在△GDF和△CEF中. · DEAB,DF1AC. 乙GDF-CEF. .△BED和△CFD都是直角三角形 DF-EF: 由勾股定理,得 DFG- EFC. DE=BD -BE,DF= CD-CF '.△GDFS△CEF(ASA)...DG-CE 文:BD=CD.BE=CF...DE-DF. 又.BD-$CE..$DG=BD..$ DBG= DGB.$$$$ BD-CD. ·DG//AC.. DGB= ACB..乙ABC=ACB. 在△BED和△CFD中,: DE-DF. .△ABC是等腰三角形 BE-CF. 7.D 8.两直线平行,同位角不相等 9140或80或20 ..△BED△CFD(SSS)...B=C. 10.A 11.C 12. B 13. B 14.C 15.C .AB一AC(等角对等边). 16.2 17.8-3v3 18.若>b0,<b$$ .' BDE-30$$DE1AB..' B-60$$ '△ABC是等边三角形. 6.B 7.B 8.2 9.(15+53) 10.6 21.证明:①假设等腰三角形的底角 B,C都是直角,则 B+ C-180”,而乙A+B+C-180”+A>180”,这与三 11.解:根据题意,得AB-15X(10一8)-30(海里). 角形内角和等于180{矛盾; “ NBC-60”.NAC-30*. ②假设等腰三角形的底角乙B,乙C都是钝角,则乙B十 *. ACB- NBC-NAC-60*-30*-30*。 C>180*,而乙A十B十C>180*,这与三角形内角和等 *乙ACB- NAC...BC-AB-30海里. 于180矛盾. 如图所示,过点C作CDAB于点D. 综上所述,假设①,②错误,所以之B,C只能为锐角 1 故等腰三角形的底角必为锐角 22.解:(1).:B= ADB. 60 .AB-AD. d .DE垂直平分AC. .AD-DC...AB-AD-DC. 30 又.AB-10...CD-10. (2)证明:AD平分BAC: & 'BAC-2/CAD. .AD=CD.:./CAD-/ACD 根据垂线段最短,线段CD的长为船与灯塔C之间的最知 :ADB- ACD+CAD=2CAD 距离,乙BDC-90{。 又.乙NBC-60*. .ADB- BAC. . DCB-=180*- BDC- CBD-30{ “B= ADB.. B= BAC. '.AC-BC...△ABC为等腰三角形. 在Rt△BCD中.BCD-30*. 23.证明:(1)·DE是AB的垂直平分线 .DB- ..AD=BD. ..15-15-1(小时). .△ABD是等腰三角形。 答:还要经过1小时,船与灯塔C之间的距离最短. 又.C-90...△ACD是直角三角形 12.A 13.C 14. D 15.30 16.6 17.27 'AD是△ABC的一条等直分割线段 (2)如图所示:AD,AE是八ABC的两条等直分割线段. 18.证明:方法1: .·DE垂直平分线段AC. '.CE-AE..ACE- A-30*. '.BEC- A+乙ACE-60 “ ACB-90*.. B-90*-30*-60 '$AD=BD.$CAD=90*.AF-CF.$BAF-90*.$$ .△BCE是等边三角形. '. B- BAD.C- CAE. 方法2: 。第2课时 等边三角形的性质(答案P1) 通基础 个六边形的周长为 ) A. 30 cm B.40cm 知识点1等腰三角形中的相等线段 C.50cm D. 60 cm 1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,下列条件 6.(2024·枣庄期末)如图所示,△ABC是等边三 不能使BD一CE的是( ) 角形,点D是BC边的中点,点E在AC边上; A.BD,CE分别为AC,AB上的高 且 AE=AD,连接DE,则 CDE B.BD,CE分别为/ABC.ACB的平分线 ABC,ACE- 。 ACB D. ABD= BCE 第6题图 第7题图 7.在“玩转数学”活动中,小林剪掉等边三角形纸 片的一角,如图所示,发现得到的 1与之2的 第1题图 第2题图 和总是一个定值,则 1十2= 度。 2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AE是 8.已知:如图所示,△ABC与△BDE都是等边 BAC的平分线,D是AE上的一点,则下列 三角形.求证:AE一CD 结论不一定正确的是( ) A.AE BC B. BE-CE C.BD-CD D. ABD= DBE 知识2等边三角形的性质 3.边长为4的等边三角形,它的高是 △ A.43 C.2/2 B.2/③ D.2 4.(2024·成都成华区模拟)如图所示,直线m/ n.△ABC是等边三角形,顶点B在直线 上,直线交AB于点E,交AC于点F,若 1-140*,则2的度数是( ) A.110* B.105* C.100* D.95* 通能力 9.在等腰三角形ABC中(非等边三角形),AB AC,那么下列说法不正确的是 ) A.BC边上的高和中线互相重合 第4题图 第5题图 B. AB和AC边上的中线相等 5.如图所示是由九个等边三角形组成的一个六 C.三角形中B和 C的平分线相等 边形,当最小的等边三角形边长为2cm时,这 D.AB,BC边上的高相等 10.如图所示,在等边三角形ABC中,在射线BA 则△ABC的面积是 上有一点D,连接CD,以CD为边向上作等边 ACDE,连接BE和AE,关干结论:① BAE 120{*}②当D在线段AB或BA延长线上时, 1 总有之BED-乙AED- BDC 第14题图 第15题图 下列说法正确的是( ~ 15.如图所示,△ABC为等边三角形,BD是角 平分线,点F在线段BD上移动,直线CF与 AB交于点E,连接AF,当AE三AF时, BCE一 度。 16. 运算能力;两个大小不同的等边三角形三角 A.①②都对 B.①②都错 板按如图①所示摆放,将两个三角板抽象成 C.①错,②对 D.①对,②错 如图②所示的△ABC和△ADE,点B,C,D 11. 推理能力如图所示,已知; MON一30{*},点 依次在同一条直线上,连接CE,若CD=1 A.A,A.....在射线ON上,点B,B。 B,..,在射线OM上,△A.BA。. CE=3,则点A 到直线 BC 的距 离为 △A。B。A,△ABA....,均为等边三角 形,若OA;=1,则△A。BA;的边长 为( ) BM ① ② 17.如图所示,已知△ABC是等边三角形,ADl BC.AD一AC,连接CD并延长,交AB的延 A.6③ B.12/③ C.32 D.64/③ 长线于点E,求E的度数. 12.如图所示,等边三角形ABC的两条中线 BD,CE交于点O,则BOC三 第12题图 第13题图 13. 几何直观 已知直线//,将等边三角形 ABC按如图所示方式放置,若 。三40{*,则 。 14.如图所示,在Rt△ABC中,ACB-90{*},分 别以直角三角形的三条边为边,在直线AB同 侧作等边三角形,已知S.-8,S,-6.S.=3, 18.如图所示,在等边三角形ABC中,BC一8,过 (1)深入探究 BC边上一点P,作 DPE=60{*},分别与边 如图②所示,将“在△ABC中,AB三AC,P AB,AC相交于点D,E. 为底边BC上任意一点”改成“P为等边三角 (1)在图中找出与 EPC始终相等的角,并 形ABC内一点”,作PE AB,PF AC, 说明理由: PM BC,BG AC,垂足分别为E,F,M. (2)若△PDE为等边三角形,求BD+CE G,有类似结论吗?请写出结论并证明 的值. (2)理解与应用 如图③所示,当点P在△ABC外,(1)中结论 是否成立?若成立,请予以证明;若不成立, PE,PF,PM和BG之间又有怎样的关系? 并说明理由. 通素养 19. 探究拓展阅读材料:如图①所示,在△ABC 中,AB一AC,P为底边BC上任意一点,点 P到两腰的距离分别为,r。,腰上的高为 h,连接AP,则SAe+SAce-SAc,即 r.一h(定值),即PE十PF为定值 ① ②