第1章 1 第1课时三角形全等和等腰三角形的性质-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

第一章三角形的证明 大单元建构 牡质定理 性质定弹 判定定典 全等角形 判定理 直角角形 勾股定理及其逆理 性质定理 特殊线 等腰二角形 特味线 判定定焊 性质定理 性质定理 等腰三形 三角形的证明口 角平分线判定定理 等边三角形 判定定理 特殊线 线段的垂直平分线 性质定理 尺规作图 已知直线的垂线 判定定弹 线段的乘白平分线 角的平分线 特殊线 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 结合线段垂直平分线，角平分线等概念抽象出定义的概念：结合有关数学结论抽象出命题的概念， 抽象能力 认识命题的结构及分类，进一步认识互逆命题，互逆定理等概念 借助等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质求线段的长 运算能力 和角的大小 经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，进一步体会证明的必要性.会证明有关的真命题： 会证明三角形全等：会证明等腰三角形的性质定理与判定定理，能运用它们进行有关的证明：借助 推理能力 三角形的内角和定理证明直角三角形的性质定理和判定定理，能利用它们进行有关的证明：利用 等腰三角形的性质和判定定理，线段垂直平分线的性质和判定定理，角平分线的性质和判定定理， 直角三角形全等的判定定理进行有关的证明，培养独立思考的能力 通过画图（包括作辅助线）或分析图形探索和形成解决问题的思路，借助图形进行逻辑推理，培养 几何直观 用规范的数学语言进行表达的习惯和能力 应用意识 在探索和证明的活动中培养发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力 一八年领下的+数学的 1 1等腰三角形 第1课时 三角形全等和等腰三角形的性质（答案P1) 通基佣 5.如果等腰三角形的一个外角为80°，那么它的 底角为 知识1全等三角形的判定和性质 6.新情境“三等分角”大约是 1.(2024·鹰潭月湖区期末)如图所示，点E,C, 在公元前五世纪由古希腊 F,B在一条直线上，AB∥ED,∠A=∠D,添 人提出来的，借助如图所示 加下列条件不能判定△ABC≌△DEF 的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等 的是() 分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒 A.AC∥DF B.AB=DE 在O点相连并可绕点O转动，C点固定， C.EC=BF D.AC=DF OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若 ∠BDE=75°，则∠DCE的度数是 7.(2024·长沙中考)如图所示，点C在线段AD 上，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. 第1题图 第2题图 (1)求证：△ABC≌△ADE (2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数. 2.几何直观◆如图所示，在△ABC中，∠ACB 90°，点D是边AB的中点，过点D作DMI BC于点M,延长DM至点E,且AC=EM= 2DM,连接AE交BC于点N,若AC=5, AB=13,则AE的长为 划识2等腰三角形的性质定理一等边对 等角 3.(2024·兰州中考)如图所示，在△ABC中， AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则 ∠ADB=() A.100°B.115° C.130° D.145 知识点3等腰三角形性质定理的推论一 三线合一 8.如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC 的中点，则下列结论不一定正确的是() 第3题图 第4题图 A.∠BAD=∠CAD 4.如图所示，直线m∥n,点B在直线m上，点C B.AD⊥BC 在直线n上，AB=BC,∠A=15°，∠1=30°，则 C.∠B=∠C ∠2的度数是()》 D.∠BAC=∠B A.125 B.120° C.115° D.110 优学泰说时道 9.新情境吁眙都梁阁设计理念先进，建筑造型 13.如图所示，小明用一副三角板拼成一幅“帆船 美观，鲜明地秉承了明清南派建筑风格.自下 图”，∠E=45°，∠B=30°，AC∥EF,CA= 而上108级台阶，与杨大山108米海拔相呼 CF,连接AF,则∠BAF的度数是() 应，楼高46.9米，寓意事事如意、六六大顺、长 A.127.5 B.135 长久久.如图所示，“都梁阁”的顶端可看作等 C.120° D.105 腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一 14.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC 点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平 于点D,BE⊥AC于点E,则以下两个角的关 分线的是( 系不成立的是( A.∠1=∠2 B.∠3=∠2 C.∠4=∠5 D.∠4=∠C A.∠ADB=∠ADCB.BD=CD C.BC=2AD D.S△AD=S△AD 10.(2024·成都武侯区期中)如图所示，在 △ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC 于点D,若点P在边AC上移动，则BP的最 第14题图 第15题图 小值是 15.推理能力净如图所示，在△ABC中，过点C作 CD⊥AB于点D,且BD=CD,过点B作 BM⊥AC于点M,连接MD,过点D作 DN⊥MD,交BM于点N,CD与BM交于 易烟利用等腰三角形的性质求角度时漏解 点E.以下结论中，错误的是() A.∠ABM=∠ACD 11.若等腰三角形的一个角为40°，则该等腰三角 形的顶角为() B.BN=CE A.40 B.70°C.100° D.40°或100 C.∠AMD=45 D.AD-DE 通能力9299990999999 16.如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB, 12.如图所示，△ABC是等腰三角形，AC=BC, AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,则图 将一个含30°的直角三角板如图放置，若 中全等三角形有 对 AC∥DE,则∠ABD=() A.40°B.30 C.25°D.15 第16题图 第17题图 17.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC 于点D,E为AD上一点，AE=BE, 第12题图 第13题图 ∠BAC=70°，则∠DBE的度数为 一八年领下甜+数学 18.阅读理解，定义：等腰三角形的顶角与一个底 通素养> 角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征 值”，记作k,若在等腰三角形ABC中，∠A= 21.探究拓展◆在△ABC中，AB=AC. 40°，则它的特征值k= 19.(2024·苏州工业园区期末)如图所示，在 △ADE和△ABC中，∠E=∠C,DE=BC, C B D EA=CA,过A作AF⊥DE,垂足为F,DE ② 交CB的延长线于点G,连接AG.四边形 (1)如图①所示，若∠BAD=30°，AD是BC上 DGBA的面积为12，AF=4,则FG的 的高，AD=AE,则∠EDC= 长是 (2)如图②所示，若∠BAD=40°，AD是BC上 的高，AD=AE,则∠EDC (3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与 ∠EDC之间有什么关系？请给予证明 (4)如图③所示，如果AD不是BC边上的 高，但AD=AE,是否仍有上述关系？请说 20.(2024·河源连平期末)如图所示，在△ABC 明理由. 中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在 AB上，BE=BD,∠BAC=80 (1)求∠BDE的度数 (2)求∠ADE的度数. 4》 优学泰说时温优针学案 参考答案 L课时通] 人年级·下曲·数学·S 第一章三角形的证明 AB=CB, 1等腰三角形 在△ABE和△CBD中，： ∠ABE=∠CBD, BE=BD, 第1课时三角形全等和等腰三角形的性质 .△ABE≌△CBD(SAS). 1.A2.234 .AE=CD. 3.B4.B5.40°6.50 9.D10.D11.C12.12013.20 7.解：(1)证明：在△ABC和△ADE中， 14.1115.2016.5 BC=DE, 17.解：：在等边三角形ABC中，AD⊥BC, ∠B=∠D, ·∠CAD=∠BAD AB-AD. ∠BAC=60°，∠CAD=30 .△ABC2△ADE(SAS). AD=AC,∴.∠ACD=∠ADC. (2)由(1)得△ABC2△ADE, :在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=6O°，∠AEC=∠ACE. ∠ACD=75. :∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°， :在△ACE中，∠EAC+∠ACE十∠E=180°，∴∠E=45 ∴∠ACE=60°，∴∠ACE的度数是60 18.解：(1)∠BDP=∠EPC.理由如下： s.D 9.C 10. △ABC为等边三角形，∴∠B=60 11.D12.D13.A14.C ∠DPE=60°，∴∠DPE=∠B. 17.2018号或号19.3 :∠DPC是△BDP的外角， 15.B16.3 ∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP, 20.解：(1)AB=AC,∠BAC=80°， .∠EPC=∠BDP ∠B=∠C=180-∠BAC)=50. (2),△PDE为等边三角形，PD=PE 在△BDP和△CPE中， .BD=BE, ∠B=∠C, 六∠BDE=∠BED=z180°-∠B)=65. ∠BDP=∠CPE, PD=EP, (2)点D是BC的中点，∴.AD⊥BC,∴∠ADB=90°， ∴.△BDP≌△CPE(AAS),∴.BD=CP,BP=CE, .∠ADE=∠ADB-∠BDE=25. ∴.BD+CE=CP+BP=BC=8. 21.解：(1)15°(2)20 19.解：(1)PE十PF十PM=BG,证明如下： (3)∠BAD=2∠EDC(或∠EDC=∠BAD): 如图①所示，连接PA,PB,PC, 则S△ABn+S△rP+S△ACr=S△ABc 证明：：∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD, :△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC. AD=AE,∠AED=∠ADE. PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC AB=AC,∠B=∠C,.∠B+∠BAD=∠EDC+ ∠C+∠EDC,即∠BAD=2∠EDC ∴号AB·PE+7AC·PF+号BC·PM=AC·BG, (4)仍有上述关系.理由： '∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC, 2AB·PE+2AB·PF+ZAB,PM-合AB,BG, ∴.∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC. ∴.PE+PF+PM=BG ,AB=AC,AD=AE,∠B=∠C,∠ADE=∠AED. ∴.∠B+∠BAD=∠AED+∠EDC 又：∠AED=∠C+∠EDC,.∠B+∠BAD=∠C+ ∠EDC+∠EDC=∠C+2∠EDC. ∴∠BAD=2∠EDC. 第2课时等边三角形的性质 1.D2.D3.B4.C5.D6.157.240 2 8.证明：：△ABC与△BDE都是等边三角形， (2)PE+PF一PM=BG,理由如下： ∠ABC=∠EBD=60°，AB=BC,EB=BD 如图②所示，连接PA,PB,PC, .∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD, 则S△ABn+S△A-S△P=S△Ac, 即∠ABE=∠CBD. ,△ABC是等边三角形，AB=AC=BC.