8.1 平方根-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(人教版2024)

第八章实数 大单元建构 开平方 平方根 乘 互逆 方 方 开立方 立方根 运算顺序 有理数 实数 无理数 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 价值 能从生活情境，数学情境中抽象概括出平方根、立方根的 有关概念，会用符号表示它们：通过探究，从特殊到一般 感悟数学抽象对于数学产生与发展的 地给出了有理数可化为有限小数或无限循环小数的结 作用，感悟用数学的眼光观察现实世 抽象能力 论，对比有理数给出了无理数的概念，将数的范围从有理 界的意义，形成数学想象力，提高学习 数扩充到实数；类比有理数的运算，探究得出实数的运算 数学的兴趣 法则，体验在数的扩充中体现出来的一致性 知道实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示 实数，能借助数轴比较实数的大小：能借用数轴理解相反 几何直观有助于把握问题的本质，明 几何直观 数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值：通过运 晰思维的路径 用实数进行图形的面积或体积运算，进一步体会数形结 合思想的运用 推理能力有助于逐步养成重论据、合 能够运用实数的有关性质及运算进行简单的说理，进 推理能力 乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的 步体会每步运算要遵循有关算理 科学态度与理性精神 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整 运算能力有助于形成规范化思考问题 数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整 运算能力 的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科 数)的立方根：会用计算器求平方根和立方根，能用有理 学态度 数估计一个无理数的大致范围 能根据图形的面积、体积等公式列出实数算式，解决有关 应用意识有助于用学过的知识和方法 应用意识 的实际问题；初步认识近似数，在解决实际问题中，会按 解决简单的实际问题，养成理论联系 问题的要求进行简单的近似计算 实际的习惯，发展实践能力 一七详级，下形数学厅 39 8.1平方根 第1课时 平方根（答案P9) 通基础>2 8.(2024·德阳月考)求下列式子中x的值， (1)x2=49: 知识点1平方根的定义及计算 (2)4(x-1)2=169. 1.(2024·内江中考)16的平方根是() A.2 B.-4 C.4 D.±4 25 2的平方根的数学表达式是( ) 25 25 5 B.121 错国对平方根的定义理解不透导致错误 9.下列说法正确的是() 255 25 D.士121 5 C.121-11 4 的平方根 3.(一4)2的平方根是 4.教材P40例1变式◆求下列各数的平方根： B.- 是号的平方根 (1)4: (225 49 (3)0.01. C元的平方根是-号 D5的平方根是± 通能力 10.(2024·德州月考)若2x-2与3.x-8是同一 个数的两个不相等的平方根，则这个数是 () 知识点2平方根的性质 A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.下列各数没有平方根的是( ) 11.若一个数的平方根等于它本身，则这个数 A.-3 B.0 C.2 D.5 是() 6.下列说法正确的是() A.0 B.1 A.任何非负数都有两个平方根 C.0或1 D.0或土1 B.一个正数的平方根仍然是正数 12.若(a2+b2-1)2=16,则a2+b2的值 C.只有正数才有平方根 为() D.负数没有平方根 A.5 B.-3 知识3利用平方根的性质解方程 C.-3或5 D.-7或9 7.(2024·保定期中)若2(x一1)2=18，则x等 13.(2024·珠海期末)已知8.622=74.3044，若 于() x2=0.743044,则x的值为() A.4 B.-2 A.86.2 B.0.862 C.±3 D.-2或4 C.±0.862 D.±86.2 40 优学案课时通 14.若8x"y与6x3y"的和是单项式，则(m十n)3 20.(2024·邢台期中)已知正实数x的平方根为 的平方根为() a和a十b. A.4 B.8 (1)当b=6时，x的值为 C.±4 D.土8 (2)若a2x十(a十b)2x=8,求x的值. 15.设a是9的平方根，b=(5)2,则a与b的关 系是() A.a=±b B.a=b C.a=-b D.以上结论都不对 16.如果自然数a的平方根是士m,那么a十1的 平方根用m表示为() 21.一个正数b的两个平方根分别是a一2与 A.±(m+1) 1-2a. B.m2+1 (1)求ab的值， C.土√m+1 (2)求关于x的方程2ax2十5=-3的解. D.士√m+1 17.(2024·肇庆期中)根据下面表格中的数据求 得2.3104的平方根是 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01231.04234.09 通素养 18.若x2=4,y2=9,则x十y|= 19.已知a一1和5一2a都是非负数m的平方根， 22.创新意识小明是一位善于思考、勇于创新的 求m的值 同学.在学习了有关平方根的知识后，小明知 佳佳的解题过程如下： 道负数没有平方根.比如：因为没有一个数的 解：：a一1和5一2a都是非负数m的平方 平方等于一1，所以一1没有平方根.有一天， 根，.a-1+5-2a=0, 小明想：如果存在一个数i,使2=一1，那么 解得a=4, (一)2=一1，因此一1就有两个平方根了.进 ∴.a-1=3, 一步，小明想：因为（士2）2=一4，所以一4的 m的值为9. 平方根就是士2i;因为（士3i)2=一9，所以一9 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确， 的平方根就是士3i.请你根据上面的信息解答 请说明理由. 下列问题： (1)求-16，-25的平方根， (2)求，i,泸，i,,,…的值，你发现了什么 规律？将你发现的规律用式子表示出来。 一七详级卡研数学厅 41 第2课时 算术平方根（答案P10) 通基础 通能力 知识点1算术平方根的定义及性质 8.(2024·菏泽二模)√16的算术平方根是() 1.“9的算术平方根”这句话用数学符号表示 A.4 B.2 为() C.土4 D.±2 A./9 B.士F 9.(2024·沧州期末)若一个数的算术平方根等 C.5 D.±3 于它本身，则这个数是() A.1或-1 B.0或1 2.若x-8十√y-2=0,则x+y= C.0或-1 D.0或1或-1 知识点2求算术平方根 10.下列各式正确的是( 3.(2024·东营一模)16的算术平方根是( A.16=±4 A.士4 B.土2 C.4 D.-4 4.(2024·江门期中)已知一个正方形的面积是 。1 1 B.16g=43 6,那么它的边长是( ) C.√-9=-3 A.36 B.24 C.6 D.3 D.16=4 5.算术平方根是√5的数是 6.求下列各数的算术平方根： 11.若(2+)2=64，则x+2的值为( (1)0.16: ② A.4 B.2 C.-2 D.士2 12.(2024·孝感期中)一个自然数的算术平方根 是n,则下一个自然数的算术平方根是( A√m2+1 B.√m+1 C.n+1 D.√m+1 13.当算式一3一√a十b取最大值时，a,b的关系 7 (3)2 (4)(-9)2. 是( A.a和b相等 B.a和b互为相反数 C.a和b同号 D.不存在 14.如图所示，每个小正方形的边长为1，把阴影 部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正 方形，那么新正方形的边长是 帽三忽视负数没有算术平方根而造成判断 失误 7.下列各式中正确的是() A.√-5)7=-5 B.√（-5)2=5 C./-25=-5 D.-25=5 42 优学案课时通一 15.将长和宽分别为2和1的长方形按如图所示 通素养> 剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形， 则该正方形的边长为 18.运算能力阅读下列解题过程： -=店== 16.已知一个等腰直角三角形的直角边长为2，则 -后-③- 和它面积相等的正方形的边长是多少？ -晨-- 9 64 (2)利用这一规律计算： -1-81-61-20. 17.跨学科·物理◆(2024·太原月考)已知刹车距 离的计算公式v=16,√df,其中v表示车速 (单位：km/h),d表示刹车距离（单位：m),f 表示摩擦系数.在一次交通事故中，测得d= 16m,f=2.25,而发生交通事故的路段限速 为100km/h,通过计算说明肇事汽车是否违 规行驶。 一七详级伊数学 43 第3课时用计算器求一个正有理数的算术平方根（答案P10) 通基础 通能力 知识点1用计算器求一个正数的算术平方根 7.(2024·殊海一模)如图所示，用边长为3的两 1.利用计算器依次按健如下：ON/C□厄 个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的 边长最接近的整数是( 曰，则计算器显示的结果与下列各数中最接 近的一个是() A.2.5B.2.6 C.2.8 D.2.9 2.利用计算器求31的算术平方根是 A.3 B.4 C.5 D.6 (精确到0.01). 8.抽象能力小丽想用一块面积为324cm2的正 3.用计算器求下列各数的值（精确到0.01）： 方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为234cm (1)√127： (2)/0.635; 的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知 能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁， 一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小 的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这 块纸片裁出符合要求的纸片吗？ (3)179 (4) 知识点2估算 通素养 4.(2024·深圳期末)大、中、小三 个正方形摆放如图所示，若大 9.抽象能力(2024·合肥月考)(1)填表. 正方形的面积为5，小正方形 0.0004 0.04 4 400 的面积为1，则正方形ABCD a 的边长可能是() (2)根据上表，你发现了什么规律，试简要 A.1 B.3 C.5 D.3 说明 5.教材P46练习T2变式)下列各式估值正确的 (3)根据你发现的规律填空： 是() ①已知7.2≈2.683，则720≈ A.10</167<11 B.11</167<12 ②已知√0.0038≈0.06164，√x≈61.64，则 C.12</167<13 D.13</167<14 T- 6.教材P46习题&15变式)比较大小，5-1 2 2（用“>”“<”或“=”填空) 优学案课时通一:95<110..此情况不存在 ∴∠M=∠1.∠N=∠NFE,∠1=∠2. 综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行. :∠2+∠NFG+∠NFE=180°..2∠B+∠C=180°， ,∠ABC+∠ACB=130°，.∠B=50.∠C=80°. ,∴.∠NFE=∠C=80°. 8.解：(1)证明：DE∥FC,.∠1=∠BCF. 又∠1=∠2，.∠2=∠BCF..FG∥BC (2).在△AFG中，∠A=60°，∠AGF=70°， ,∴.∠AFG=180°-∠A-∠AGF=50 又由(1)知，FG∥BC, 【变式训练3】解：根恨据题意，1秒后，PM转过(31)，QN转过 ∴.∠B=∠AFG=50°. (2)°. CF⊥AB,DE∥FC,.ED⊥AB. 如图①所示，当PA∥QB时， ∠1=90°-∠B=40°..∠2=40 【通中考】 9.C10.B11.C12.C13.B 14.A解析：过，点E作EH∥AB,如图所示. ,AB∥FG,.AB∥EH∥FG, .∠BEH=a=15°，∠FEH+ ∠APM=∠BQM=180°-∠NQB,即31=180-21 ∠EFG=180°， 解得1=36： B=45. 如图②所示，当PC∥QD时 .∠FEH=180°-45°-15°=120°， D ·∠EFG=180°-∠FEH=180° 120°=60°， Q ∴.EF与FG所成锐角的度数为60° 15.30 第八章实数 则∠CPQ=∠PQD=180°-∠NQD,即3L-180=180-2. 8.1平方根 解得1=72： 如图③所示，当PE∥QF时， 第1课时平方根 L.D2.D3.±4 M布 4解：0的平方根为士名、(2爱的平方根为士号 ⑧ (3)0.01的平方根为士0.1. 则∠MPE=∠MQF=(21)°-180°.即360-31=2：-180， 5.A6.D7.D 解得1=108.故1的值为36或72或108. 8.解：(1)x=49,x=士√49，.x1=7,x2=-7 【通模拟】 1.B2.A3.A (2)4r-D2=169,(x-1D=169. 4 4.C解析：A.∠G=∠MPN=∠MPG=90°， /169 /169 ..GE//MP. 故不符合题意： 13,215 B.∠EFG=30. 2“ .∠EFN■180°-30°=150°. 9.B10.C11.A12.A13.C14.D15.A16.D 故不符合题意： 17.士1.5218.1或5 C.过点F作FH∥AB,如图 19.解：佳佳的解题过程不正确.理由： 所示， 'a一1和5一2a都是非负数m的平方根， 'AB∥CD, ∴分情况讨论如下： ∴，FHCD C M 当a一1+5-2a=0时，解得a=4,.a-1=3, .∠HFN=∠MNP=45°， .m的值为9： ,.∠EFN=150°-45=105 当a-1=5-2a时.解得a=2,.a-1=1. FH∥AB, m的值为1.综上所述，m的值为1或9. .∠BEF=180°-105'=75°， 20.解：(1)9 故材合题意： (2),正实数x的平方根是a和a+b, D.,∠GEF=60°，∠BEF=75°， .(a+b)2=r,a2-x. .∠AEG=180°-60°-75°=45 a'r+(a+b)r=8. ,.∠AEG=∠PMN=45”,故不符合题意. x2+x2=8 5.B6.880 ∴.x2=4,x>0,x=2 7.80解析：如图所示。 21.解：(1)，一个正数b的两个平方根分别是4一2与1一2a, 按图进行翻折， .a-2+1-2a=0, .∠M=∠B,∠N=∠C, 解得a=一1， ∠2=∠NFG. 当a=一1时，4一2=一3， .'MD∥NG∥BC,ME∥FG. .b=9. .ab=-9, .ab的值为一9. 故不同意小明的说法，这块纸片裁不出符合要求的纸片， (2)当a=一1时，原方程可变为一2x2十5=一3， 9.解：(1)0.020.2220 即x2=4, (2)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或 ∴.x=士4=士2， 右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动 ∴.关于x的方程2ar2+5=-3的解为x=士2. 1位. 22.解：(1)（土4i)=-16, (3)①26.83②3800 .士√一16=±4i, 8.2立方根 :(士5i)2=-25, 第1课时立方根 “.士√-25=士5i. 7 1.B2.B3B4.1)-8(2)7 3 (2)P=2·i=-i.=()2=(-1)*=1,i=·i=i,i i·i==-1,i=·i=-i,=·i=1, 5,解：(1) 规律是：i*=1,i+=i,i+:=一1，i+3=-i(n≥0，n是 品的立方银是一-行(2)-，08的立方根是-0,2 整数) (3爱的立方根是受 第2课时算术平方根 1.A2.103.C4.C5.5 6.解：(1)中，一1<0，故-√一1无意义：(2)中.3>0.故-3有 6.解：(1)因为0.4=0.16，所以0.16的算术平方根是0.4，即 意义(3)(5)中，由于任意数都有立方根，故一4，派都有意 0.16=0.4. 义：(4)中.（一2）2=4>0，故√/（一2）有意义.故(2)(3)(4) (2因为（倍）-需，所以莞的算术平方根是，即 (5)都有意义. 7.(1)正确(2)错误(3)错误(4)正确 25-5 8.C9.A10.C11.B12.D13.A14.4215.-5 √36=6 16.-117.4ctm 调为2号-（停）》-所以2号的第术平方根是 18.解：：x一2的平方根是它本身，4-6的立方根是一2， ∴.x-2=0,4y-6=-8, 即写= 75 1 解得x=2,y=一2· (4)因为（一9）2=81,9=81，所以（一9）2的算术平方根是9， 则xy2 即√(-9)7=9. =2×(←)m 7.B8.B9.B10.D11.B12.A13.B14.615.2 16解：设正方形的边长为a.由题意，得a-号×2X2 -(x2)x(） a=2,∴a-2(取正)，正方形的边长为2. =-1x() 17.解：由题可得d=16m,f=2.25, 代人v=16/df, 得=16×16X2.25=16×√/36=16×6=96(km/h). 19.解：(1)5>8=2， 又知96km/h<100kmh, 而2>5，故>3. 故肇事汽车不存在违规行驶。 (2)|-21≈3.476，-3.41=3.4.而3.476>3.4. 18解：号 、2 ∴1-421>-3.4.∴-42<-3.4. (2)原式=√ 1 。4 9 2401 2 X…X 25002 … 20.解：由题意得仁一2y一3=0， 4 12xr-3y-5=0, 491 5050 解方程组，得仁L, y=一1， 第3课时。用计算器求一个正 .x-8y=1-8×(-1)=9, 有理数的算术平方根 ∴.r-8y的平方根为士√一8y=士=士3， 1.B2.5.57 x一8y的立方根为x一8y=. 3.解：(1)/127≈11.27.(2)0.6350.80 21.解：：A=a+3而是a+3b的算术平方根，B= “/1-a是1一a2的立方根， (3)√179*0.07.④)-√3 -0.58. .d-1=2.2a-b-1=3,解得a=3.b=2. 4.B5.C6.>7.B .A=√a+3h=V3+3×2=3. 8.解：，正方形的面积为324cm, B=1-a=/1-3=-2, ,.正方形的边长为√/324=18(cm) A+B=3+(一2)=1..A+B的平方根是士1. 又：长方形的面积为234cm,长与宽的比为3：2， 35 35 .设长为3rcm,宽为2xcm, 22.解：√52=5√12 .6x2=234,.x=√39， .长方形的长为3√/39cm,宽为2√39cm. 2)归纳总结得，√"一=·√n一 6<√/39<7,18<3√39<21. 第2课时互为相反数的两个数的立方根的关系 ,不能裁出来. 1.D2.83.5 10