第8章 6 三角形内角和定理-【优+学案】2024-2025学年七年级下册数学课时通(鲁教版 五四制)

6三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理（答案P11) 通基础》 知识点2直角三角形的性质 7.(2024·淄博临淄区期末)具备下列条件的 知识点1，三角形的内角和定理 △ABC中，不是直角三角形的是() 1.(2024·烟台招远期末)已知在△ABC中， A.∠A+∠B=∠C ∠A-∠B=30°，且∠C=4∠B,则△ABC B.∠A+∠B=90 为( C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 A.锐角三角形 B.直角三角形 D.∠A=∠B=3∠C C.钝角三角形 D.等腰三角形 8.几何直观如图所示，某同学在课桌上随意将一 2.(2024·济南莱芜区期中)如图所示，在△ABC 块三角板叠放在直尺上，则∠1十∠2等于() 中，∠BAC=50°，∠ABC和∠ACB的平分线 A.60 B.75 C.90 D.105 交于点P,则∠BPC的度数是( 第8题图 第9题图 9.跨学科·物理物理实验中，小明研究一个小 A.115° B.100° C.105 D.125 木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图所示， 3.在△ABC中，已知∠A=80°，∠B=50°，则 斜坡为Rt△ABC,∠C=90°，∠B=13°，小木 ∠C的补角是( ) 块△DEF在斜坡AB上，且DE∥BC,EF∥ A.130 B.50 C.40 D.20 AC,则∠DFE的度数为() 4.如图所示，在△ABC中，∠A的度数是 A.13° B.77° C.87° D.639 Ax 10.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的 4倍，那么这个直角三角形中较小锐角的度数 13 2x8 D 第4题图 是 第5题图 11.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，点D在 5.教材P53例1变式》如图所示，在△ABC中， AC边上，DE∥BC,∠1=153°，求∠B的 CD是∠ACB的平分线，若∠A=50°，∠B=60°， 度数 则∠ACD的度数是 6.如图所示，在△ABC中，点D,E分别在边 AC,AB上，且DE∥BC,∠ADE=80°，∠B 35°，求∠A的度数 46 优学嫌说的温 易错固考虑不全漏解 (1)求∠CAE的度数. 12.直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度 (2)求∠ADF的度数. 数是() A.45° B.135 C.45或135 D.以上都不对 通能力> 13.(2024·烟台菜州期末)《周礼考工记》中记载 有“…半矩谓之宣(xuan),一宣有半谓之橘 通素养99992999999>9 (zhú)…”意思是“…直角的一半的角叫做宣， 17.推理能力D已知：△ABC中，AD⊥BC,AE 一宜半的角叫做揭….即：1宜=2矩1褐= 平分∠BAC,请根据题中所给的条件，解答下 列问题： 12宜（其中，1矩=90）.问题：图①为中国古 代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组 件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1橱，则∠C 的度数为( (1)如图①所示，若∠BAD=60°，∠EAD= 15°，求∠ACB的度数， (2)通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB ∠B之间有什么关系？ (3)在图②的△ABC中，∠ACB>90°，那么 A.15°B.22.5°C.30 D.45 (2)中的结论仍然成立吗？为什么？ 14.已知△ABC的三个内角互不相等，如果∠A 为最小的内角，那么下列四个度数中，∠A最 大可取() A.20°B.58 C.60° D.89 15.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平 分∠ABC,CD∥AB交BD于点D,已知 ∠D=29°，则∠ACB的度数为 16.运算能力如图所示，△ABC中，∠C=40°， ∠B=70°，AE平分∠CAB,AD⊥BC于点 D,DF⊥AE于点F. 一七年级下的+数学也我派 47 第2课时 三角形外角和定理（答案P12) 通基础> 7.(2024·东营垦利区期末)已知：如图所示，在 △ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上 翅识点1三角形外角的定义 一点，延长BC到D,连接DE.求证：∠1>∠2. 1.几何直观，下列各图∠1是△ABC的外角的 是( 2.关于三角形的外角，下列说法错误的是( A.一个三角形只有三个外角 B.三角形的每个顶点处都有两个外角 8.数材P57习题8.8T2变式》如图所示，△ABC C.三角形的每个外角都是它相邻内角的补角 的外角平分线AE与BC的延长线交于点E, D.一个三角形共有六个外角 ∠E=20°，∠ACB=75°，求∠B的度数. 知识点2三角形的外角（和）定理 3.如图所示，已知∠ACD=60°，∠B=20°，那么∠A 的度数是( A.40 B.60° C.80° D.120 140 第3题图 第4题图 4.如图所示，∠1的度数为( A.100° B.110 C.120° D.130 5.将一副三角板按如图所示的摆放方式叠放在 稀凹不能灵活运用三角形的内角和与外角 一起，则∠AEC= 和性质 9.如图所示，CE是△ADC的边AD上的高.若 45B ∠BAD=40°，∠ECD=25°，则∠B的度数 E 为( 309 F30 D 第5题图 第6题图 6.如图所示是由一副三角板拼凑得到的，图中的 ∠ABC的度数为 A.20 B.25 C.30° D.35 48 优种学秦说的道一 通能分》339292339 通素养299223292 10.如图所示，AB∥DE,∠ABC=80°，∠CDE= 14.探究拓展》(2024·东营利津期末)已知点A 140°，则∠BCD的度数为() 在射线CE上，∠BDA=∠C. (1)如图①所示，若AC∥BD,求证：AD∥BC. (2)如图②所示，若BD⊥BC,请证明∠DAE+ 2∠C=90. A.30° B.40°C.60°D.80 (3)如图③所示，在(2)的条件下，∠BAC= 11.如图所示，∠1=∠2=65°，∠3=35°，则下列 ∠BAD,过点D作DF∥BC交射线CE于点 结论错误的是() F,当∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度 数.（直接写出结果） 2 -D A.AB//CD B.∠B=30° C.∠C+∠2=∠EFCD.CG>FG 12.如图所示，∠A=70°，∠B=26°，∠C=20°，则 ∠BDC= 13.如图所示，AB∥CD,∠CDE=122°，GF交 ∠DEB的平分线EF于点F,∠AGF=150°， 求∠F的度数. 一七年级下的+数学也我版 49,射线ME,NF分别平分∠BMP和∠CNP, :∠ABC=45 ∴∠PME=∠PMB,∠CNF=∠PNF. ∴.∠3=∠ABC-∠4=45°-25=20. ..∠2=∠3=20° 如题图④， 6.解：如图所示，过点E作EF∥AB 由探究一的结论得：∠P=∠AMF+∠PMF+ ABCD,.ABCD∥EF. ∠CNF+∠PNF,∠F=∠AMF+∠CNF, ∴.∠AEF=∠A=30°， ,∠P=2∠F, ∠DEF=∠D=45. ,∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF= '.∠AED=∠AEF+∠DEF 2∠AMF+2∠CNF. 30°+45°=75. '∠CNF=∠PNF, ∴.∠1=∠AED=75 ∴.∠AMF+∠PMF=2∠AMF, 7.解：如图所示，过点B作 ∴∠PMF=∠AMF=S∠AMP, BD∥AM. 直尺的对边平行，即 AM∥CN, ∴.∠PMF+∠PME=2∠AMP+∠PMB), ∴.AM∥CNBD ∴∠FNME=2∠AMB=号X180=90. .∠MAB+∠ABD=180°， ∠BCN+∠DBC=180°. 专题三平行线中辅助线的作法 :∠MAB=120°，.∠ABD=60 ∠ABC=90°，∴.∠DBC=30°. 1.解：如图所示，过点C作CF∥AE ∴.∠BCV=180°-∠DBC=150° AE∥BD,∴.CF∥AEBD 8.解：①：∠EFG=30°，.∠EFN=180°-30° 又：∠2=32°，∠1=120°， 150°，故①正确. ∴.∠ECF=∠2=32，∠ACF= ②：∠G=∠MPN=∠MPG=90°，.GE∥MP,故 180°-∠1=180°-120°=60°. ②正确. ∴.∠ACE=∠ACF-∠ECF= ④如图所示，过点F作FH∥ B 60°-32°=28. AB,'.'AB//CD, 2.解：如图所示， ∴.FH∥ABCD. 过点D作DGa. .∠HFN=∠MNP=45°， ,DG∥a, .∠EFH=150°-45°= ∴.∠CDG=∠1=30 105°.FH∥AB. 又ab,∴.DGb. ∴.∠BEF=180°-105°=75，故④错误. .∠GDE+∠DEA=180. ③，∠GEF=60°，∠BEF=75, .DE⊥b,∴∠GDE=∠DEA=90°. .∠AEG=180°-60°-75°=45°， ∴.∠CDE=∠CDG+∠GDE=30°+90°=120° ∴.∠AEG=∠PMN=45°，故③正确， 3.解：如图所示，过点D作DE∥a. 四边形ABCD是长方形， 6三角形内角和定理 ∴.∠BAD=∠ADC=90°. 第1课时三角形内角和定理 .∠3=90°-∠1=90° 1.C2.A3.A4.60°5.35 66°=24°. 6.解：：DE∥BC,∠B=35°，∴.∠AED=∠B=35 ah,∴.DEab. ∠ADE=80°， .∠4=∠3=24°.∠2=∠5. ∴.∠A=180°-∠ADE-∠AED=65. ∴.∠2=∠5=90°-∠4=90°-24°=66 7.D8.C9.B10.18 4.解：∠E=∠F,理由如下： 11.解：：∠1+∠EDC=180°，∠1=153°， 如图所示，过点E作EM∥AB,过A ∴.∠EDC=27. 点F作FN∥AB. DE∥BC,.∠EDC=∠C=27° E ,AB∥CD, ∠A=90°..∠B=90°-∠C=63. ∴.AB∥EM∥FNCD. 12.C13.B14.B .∠1=∠3，∠2=∠6，∠4=∠5. 15.32°解析：CD∥AB,∠D=29°，∴.∠ABD= ∠1=∠2，∴.∠3=∠6. ∠D=29°.又BD平分∠ABC,∴.∠ABC= ∠BEF=∠3+∠4， 2∠ABD=58°.∠BAC=90°，.∠ACB=90°- ∠CFE=∠5+∠6， ∠ABC=90°-58°=32， ∴.∠BEF=∠CFE 16.解：(1)：∠C=40°，∠B=70°.∠BAC=180°- 5.解：如图所示，过点B作 ∠B-∠C=180°-70°-40°=70. AE平分∠CAB, BD∥L. :直线lm,∴.BDLm ∠CAE=∠BAC=号X70=35 ∴∠4=∠1=25°，∠2=∠3. (2),AD⊥BC,∠ADC=90°， 11 ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-40°=50° .a=18°， .∠CAE=35, ∴.∠C=180°-8a=36°=∠ADB. ∴.∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-35°=15 又：∠BAC=∠BAD DF⊥AE,.∠AFD=90°， ∴.∠ADF=90°-∠DAE=90°-15°=75°. ∴.∠ABC=∠ABD= 2∠CBD=45°， 17.解：(1).∠BAD=60°，∠EAD=15°， .∠BAD=180°-45°-36°=99 .∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°. 本章综合提升 ,AE平分∠BAC,,'.∠BAC=2∠BAE=90°. 【本章知识归纳】 AD⊥BC,∠BAD=60°，∴∠B=30°， 名词术语判断一件事情已知的事项 ∴.∠ACB=90°-30°=60°. 已知事项推断出的事项正确的命题不正确的命题 (2)由(1)中，∠EAD=15°，∠ACB-∠B=60° 推理被人们公认的真命题证明同位角内错角 30°=30°，发现∠ACB-∠B=2∠EAD. ∴.推测∠ACB一∠B=2∠EAD. 同旁内角同位角内错角同旁内角180°互余 不相邻大于 (3)(2)中的结论仍然成立.理由如下： 【思想方法归纳】 在△ABC中，.AD⊥BC,AE平分∠BAC, 【例1】解：如图所示.：l1∥l2,la∥14，.∠1=∠3， .'.∠ADC=∠ADB=90°，∠BAE=∠CAE, ∠2+∠3=180°， .∠ACB-∠B=180°-(180°-90°-∠CAD)- ∴.∠1+∠2=180° (180°-90°-∠BAD)=∠BAD+∠CAD. 又：∠BAD=∠BAE+∠EAD,∠CAD= ,∠1比∠2的3倍少20°， .设∠2=x, ∠EAD-∠CAE, 则∠1=3.x-20°， ∴.∠ACB-∠B=2∠EAD+∠BAE-∠CAE= ∴.x十3.x-20°=180°，解得 2∠EAD. x=50°，.∠2=50°. 第2课时三角形外角和定理 【变式训练1】D 1.D2.A3.A4.C5.75°6.75 【例2】证明：.直线a∥h,∴.∠NAC=∠ACD. 7.证明：，∠1是△ABC的一个外角，∠1>∠3. ,DEAC于点E,,.∠DEC=90°， ,∠3是△DEC的一个外角，∴.∠3>∠2， ∴.∠1+∠ACD=90. ∴.∠1>∠2. AB平分∠MAD,AC平分∠NAD 8.解：∠E=20°，∠ACB=75°， ,∴.∠2=∠BAD,∠DAC=∠NAC. ∠CAE=75°-20°=55°. :∠MAD+∠NAD=180°，∴.∠2+∠NAC= AE平分∠CAD,∴∠EAD=55 ..∠B=∠EAD-∠E=55°-20°=35 2∠MAD+∠NAD)=90,∴∠1=∠2. 9.B10.B11.C12.116 【变式训练2】 13.解：AB∥CD,∠CDE=122°，.∠BED= C解析：.将△ABC纸片沿DE折叠，.∠ADE ∠CDE=122,∴.∠GED=58°， ∠EDA',∠AED=∠DEA',.∠1+∠2=180° :EF平分∠BED,.∠DEF=∠BED=6I 2∠ADE+180°-2∠AED=180°-（∠ADE+ ∠AED)+180°-（∠ADE+∠AED)=2∠A.:BA ∴.∠GEF=∠GED+∠DEF=58°+61°=119 平分∠ABC,CA'平分∠ACB,∠BA'C=122°， ,∠AGF=150°， ∴.∠F=∠AGF-∠GEF=31 ÷∠ABC=)∠ABC.∠ACB=号∠ACB. 14.解：(1)证明：，ACBD, ∴.∠A'BC+∠A'CB=180°-122°=58°，.∠ABC+ ∴.∠DAE=∠BDA. ∠ACB=2(∠A'BC+∠A'CB)=2×58°=116°， ∠BDA=∠C, ∴.∠A=180°-116°=64°，.∠1+∠2=2∠A=2× .∠DAE=∠C, 64°=128°. .AD∥BC. 【例3】解：如图①所示，当点C在AD,BE之间时， (2)证明：如图所示，设CE与BD相交于点G, 过C作CH∥AD,则AD//CH//BE, ∠BGA=∠BDA+DAE, ,∠DAC=22°，.∠ACH=22. BD⊥BC, 又：∠ACB=45°，.∠BCH=23°， .∠BGA+∠C=90°， ∴.∠EBC=23. .∠BDA+∠DAE+ 如图②所示，当点C在AD,BE外部时， C=90°. 过C作CH∥AD,则ADCH∥BE. .∠BDA=∠C, ,∠DAC=22°，.∠ACH=22 ∴.∠DAE+2∠C=90° 又：∠ACB=45°，.∠BCH=67°， (3)∠BAD=99°解析：如题 ∴.∠EBC=67° 图③所示，设∠DAE=a,则∠DFE=8a, 综上所述，∠EBC的度数是23°或67° :∠DFE+∠AFD=180°， ,'.∠AFD=180°-8a. ,DF∥BC, ∴.∠C=∠AFD=180°-8a. 又，2∠C士∠DAE=90°， ∴.2(180°-8a)+a=90°， 12