第8章 5 平行线的性质定理&专题3平行线中辅助线的作法-【优+学案】2024-2025学年七年级下册数学课时通(鲁教版 五四制)

平行线的性质定理(答案P10) 通基础 求证:EFO十 COF=180*。 # 知识点1两直线平行,同位角相等 1. 数材P51习题8.6T2变式 已知;如图所示, DE//BC,BE平分 ABC,求证: 1=3 通能力D 5.(2024·烟台龙口期末)如图所示是路政工程 车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平 行,若 1=30*,2=50{},则 3的度数 为( ) A.130。 B.140{ 如而2两直线平行,内错角相等 C.150{ D.160。 II作 2.已知:如图所示,AB和CD相交于点O,AC/ BD. A= /AOC.求证 B= /BOD$ 第5题图 第6题图 6.(2024·烟台栖霞期末)五线谱是一种记谱法 通过五根等距离的平行线上标以不同的音符 构成旋律,如图所示,AB和CD是五线谱上的 两条线段,点E在AB,CD之间的一条平行线 短识3两直线平行,同旁内角互补 上,若 1-120*,2-30{*,则 BEC的度数 3.如图所示,已知AB//ED,求证:B十 /BCD+ 是 D-360*.。 7.(2024·东营垦利区期末)为方便市民绿色出 行,我市推出了共享单车服务、图①是某品牌 共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示 意图,其中AB,CD都与地面1平行, BCD 6 0*, BAC=50*,当 MAC= ;时, AM/CE. 不能灵活运用平行线的性质与判定 4.如图所示,AB/CD,AC和BD相交于点O,E ① 是CD上一点,F是OD上一点,且1=A ② 8.一题多变》已知:如图所示,直线AB,CD被 通素养 MN所截,AB//CD,EF平分 CEG,GH平 分 BGE.求证:EF/GH. 10.(2024·青岛城阳区期末)【发现问题】 如图①所示,小明同学在做光的折射实验时 发现:平行于主光轴MN的光线AB和CD 经过凹透镜的折射后,折射光线BE,DF的 反向延长线交于主光轴MN上一点P 。 变式题:已知:如图所示,直线AB,CD被MN所 截,AB//CD,EF平分 CEG,GH平分 乙AGM求证:EF//GH ② ③ ④ 【提出问题】 小明提出;BPD,ABP和 CDP三个角 之间存在着怎样的数量关系? 【分析问题】 已知平行,可以利用平行线的性质,把BPD 分成两部分进行研究 【解决问题】 9.(2024·烟台蓬莱区期末)如图所示,已知 1- 探究一:请你帮小明解决这个问题,并说明 理由。 BDC,2+/3=180* 探究二:如图②所示,P,AMP,CNP (1)求证:AD/CE; 的数量关系为 ;如图③所 (2)若DA平分 BDC,CE1AE于点E, 1-64{*},试求 FAB的度数 示,已知 ABC-25^{*, C=60*},AE/CD,则 _BAE-__”.(不需要写解答过程) 利用探究一得到的结论解决下列问题: 如图④所示,射线ME,NF分别平分 BMF 和CNP,ME交直线CD于点E,NF与 之AMP内部的一条射线MF交于点F,若 P=2F,求FME的度数 专题三 平行线中辅助线的作法(答案P11) 类型1几何图形中平行线辅助线的作法 类型2作图工具中平行线辅助线的作法 1.如图所示,已知AE/BD,1=120{*,2- 5.如图所示,直线1/n,将含有45*角的三角板 32*,求ACE的度数. ABC的直角顶点C放在直线n上,若 1= 25^{*,则2的度数是多少? 6.已知一副三角板按如图所示的方式摆放,其中 2.如图所示,直线a/,射线DF与直线。相交 两条斜边互相平行,求1的度数 于点C,过点D作DE |于点E,已知 1 30{,求CDE的度数 7.将一个直角三角板按如图所示的位置摆放在 直尺上,并使 MAB-120*, ABC=90*,试$ 求 BCN的度数 3.如图所示,长方形ABCD的顶点A,C分别在 直线a,b上,且直线a/b, 1=66^{*},则 2的$ 度数是多少? 8.将一副直角三角板按如图所示的方式摆放,已 知AB/CD, $GEF=6 0*, MNP=45$$$$$ 给出下列四个结论; ① EFN=150*;②GE/MP;③ AEG= PMN;④ BEF-70*. 4.如图所示,AB//CD,1三2,那么E和 请你说明哪些是正确的? F相等吗?为什么? ## 。#3.B 2.证明：：AC∥BD(已知)， 4.证明：，DE平分∠ADC,CE平分∠BCD(已知)， ∴.∠A=∠B(两直线平行，内错角相等). .∠ADC=2∠1，∠BCD=2∠2（角平分线的定 :∠A=∠AOC(已知). 义). ∴.∠B=∠AOC(等量代换). ,∠1+∠2=90（已知）， ∴.∠ADC+∠BCD=2(∠1+∠2)=180°（等式的 :∠AOC=∠BOD(对顶角相等)， .∠B=∠BOD(等量代换). 性质)，∴.AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行). 3.证明：过点C作CF∥AB,如图所示， 5.D6.D7.(2)(4)(5) 8.解：CM与DN平行.理由如下： :AB∥ED,∴.ABCF∥ED,A ,∠1=70°，.∠BCF=180°-70°=110°. .B+∠BCF=180°， f------------0 .CM平分∠DCF,.∠DCM=55°. ∠DCF+∠D=180°. :∠CDN=125, ∴.∠B+∠BCF+∠DCF+E ∴.∠DCM+∠CDN=180. ∠D=180°+180°=360°，即∠B+∠BCD+ ∴.CM∥DN. ∠D=360°. 9.解：方法一：，MN⊥AB,EF⊥AB, 4.证明：：AB/CD,∠A=∠C .∠MNB=∠EFB=90°，.MN∥EF. ∠1=∠A,∴∠1=∠C,EF∥AC,.∠EFO+ .沿MN,EF锯开就截出了一块有一组对边平行 ∠COF=180°. 的木料 方法二：，MN⊥AB,EF⊥AB, 5.D6.90°7.70 ∴.∠MNB=∠EFN=90°，∴.∠MNB+∠EFN= 8.证明：：ABCD,∠CEG=∠BGE 180°，∴.MN∥EF. EF平分∠CEG,GH平分∠BGE, '.沿MV,EF锯开就截出了一块有一组对边平行 的木料. ∠FEG=∠CBG,∠HGE=号∠BGE. 10.解：OA∥BC,OB∥AC.理由如下： ∴.∠FEG=∠HGE,.EFGH. ,∠1=50°，∠2=50°，.∠1=∠2，.0B∥AC. 变式题：证明：，ABCD,∴.∠CEG=∠AGM. :∠2=50°，∠3=130°， :EF平分∠CEG,GH平分∠AGM, .∠2+∠3=180°，.OA∥BC Ⅱ.解：1)∠2：∠3=2：5，∠2-2∠D0E, ÷∠FBG=∠CBG∠HGM-3∠AGM. ∴.∠FEG=∠HGM,.EF∥GH. ∴.∠D0E：∠3=4：5. 9.解：(1)证明：，∠1=∠BDC, :∠DOE+∠3=180°， ∴.ABCD(同位角相等，两直线平行)， ÷∠D0E=180×号-80 ∴.∠2=∠ADC(两直线平行，内错角相等). -=100. ·∠3=180°×5 :∠2+∠3=180°， ∴.∠ADC+∠3=180°（等量代换）， ∴.∠COE=∠3=100. ∴ADCE(同旁内角互补，两直线平行). ,OA平分∠COE, (2)∠1=∠BDC.∠1=64°， ∠A0C-∠A0E-2∠COE-50. .∠BDC=64°. ,DA平分∠BDC, ∴.∠AOF=180°-∠AOE=130°， ∴.∠AOF的度数为130° ∠ADC=号∠BDC=32(角平分线定义， (2)平行. .∠2=∠ADC=32(已证). 理由：由(1)可知∠A(OC=∠A(OE=50°. 又CE⊥AE, ,∠1=50°. ∴.∠AOC=∠1， ,∠AEC=90°（垂直定义）. ..AB//CD. ADCE(已证)， 12.解：AB∥MN.理由如下： ∴.∠FAD=∠AEC=90°（两直线平行，同位角相 ,EF⊥AC,DB⊥AC,∴.DB∥EF, 等)， ∴.∠2=∠MDC. ∴.∠FAB=∠FAD-∠2=90°-32°=58. ,∠1=∠2，∴.∠1=∠MDC,∴.MN∥CD I0,解：探究一：∠BPD=∠ABP+∠CDP,理由 :∠3=∠C,.ABCD,∴.AB∥MN. 如下： 5平行线的性质定理 如题图①， 1.证明：，BE平分∠ABC(已知)， .ABMN∥CD. ∴.∠1=∠2（角平分线的定义）. ∴.∠BPN=∠ABP,∠DPN=∠CDP, 又.DEBC(已知)， .∠BPN+∠DPN=∠ABP+∠CDP, ∴.∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）， .∠BPD=∠ABP+∠CDP .∠1=∠3（等量代换）. 探究二：∠AMP=∠P+∠CNP145 10 ,射线ME,NF分别平分∠BMP和∠CNP, :∠ABC=45 ∠PME-i∠PMB,∠CNF=∠PNF. .∠3=∠ABC-∠4=45°-25=20°. ..∠2=∠3=20° 如题图④， 6.解：如图所示，过点E作EF∥AB 由探究一的结论得：∠P=∠AMF+∠PMF+ ABCD,.ABCD∥EF. ∠CNF+∠PNF,∠F=∠AMF+∠CNF, ∴.∠AEF=∠A=30°， ,∠P=2∠F, ∠DEF=∠D=45° ,∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF= .∠AED=∠AEF+∠DEF 2∠AMF+2∠CNF. 30°+45°=75. '∠CNF=∠PNF, ∴.∠1=∠AED=75 ∴.∠AMF+∠PMF=2∠AMF, 7.解：如图所示，过点B作 ∴∠PMF=∠AMF=S∠AMP, BD∥AM. 直尺的对边平行，即 AM∥CN, ·∠PMF+∠PME=2(∠AMP+∠PMB), ∴.AM//CN //BD ∴∠FNME=2∠AMB=号X180=90 ∴.∠MAB+∠ABD=180°， ∠BCN+∠DBC=180°. 专题三平行线中辅助线的作法 :∠MAB=120°，∠ABD=60. ∠ABC=90°，∴.∠DBC=30°. 1.解：如图所示，过点C作CF∥AE ∴.∠BCV=180°-∠DBC=150° AE∥BD,∴.CF∥AEBD 8.解：①：∠EFG=30°，.∠EFN=180°-30° 又∠2=32°，∠1=120°， 150°，故①正确. ∴.∠ECF=∠2=32，∠ACF= ②：∠G=∠MPN=∠MPG=90°，.GE∥MP,故 180°-∠1=180°-120°=60°. ②正确. ∴.∠ACE=∠ACF-∠ECF= ④如图所示，过点F作FH∥ B 60°-32°=28 AB.'.'AB//CD. 2.解：如图所示， ∴.FH∥ABCD. 过点D作DGa. ∴.∠HFN=∠MNP=45, ,DG∥a, .∠EFH=150°-45°= .∠CDG=∠1=30. 105°.FH∥AB. 又ab,∴.DG%. ∴.∠BEF=180°-105°=75°，故④错误. ∴.∠GDE+∠DEA=180 ③∠GEF=60°，∠BEF=75°， DE⊥b,∴.∠GDE=∠DEA=90 .∠AEG=180°-60°-75°=45°， ∴.∠CDE=∠CDG+∠GDE=30°+90°=120°. ∴.∠AEG=∠PMN=45°，故③正确， 3.解：如图所示，过点D作DE∥a. ,四边形ABCD是长方形， 6三角形内角和定理 .∠BAD=∠ADC=90. 第1课时三角形内角和定理 .∠3=90°-∠1=90° 1.C2.A3.A4.60°5.35 66°=24°. 6.解：：DE∥BC,∠B=35°，∴.∠AED=∠B=35 ab,∴.DEab. ∠ADE=80°. .∠4=∠3=24°，∠2=∠5. ∴.∠A=180°-∠ADE-∠AED=65. ∴.∠2=∠5=90°-∠4=90°-24°=66 7.D8.C9.B10.18 4.解：∠E=∠F.理由如下： 11.解：：∠1+∠EDC=180°，∠1=153， 如图所示，过点E作EM∥AB,过A .∠EDC=27. 点F作FN∥AB. DE∥BC,.∠EDC=∠C=27. E女A .AB//CD, ∠A=90°，.∴∠B=90°-∠C=63 ∴.AB∥EM∥FNCD 12.C13.B14.B ∴.∠1=∠3，∠2=∠6，∠4=∠5. 15.32°解析：CD∥AB,∠D=29°，∴.∠ABD= ∠1=∠2，∴.∠3=∠6. ∠D=29°.又·BD平分∠ABC,.∠ABC= ∠BEF=∠3+∠4， 2∠ABD=58°.∠BAC=90°，.∠ACB=90° ∠CFE=∠5+∠6， ∠ABC=90°-58°=32， ∴.∠BEF=∠CFE 16.解：(1)：∠C=40°，∠B=70°.∴∠BAC=180°- 5.解：如图所示，过点B作 ∠B-∠C=180°-70°-40°=70°. AE平分∠CAB, BD∥L. 直线lm,.BDLm ∠CAE=∠BAC=号×70=35 ∴∠4=∠1=25°，∠2=∠3. (2),AD⊥BC,∴.∠ADC=90°， 11