7.3 定义、命题、定理-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(人教版2024)

7.3定义、命题、定理 第1课时 定义、命题（答案5） 通基础> 的命题有 知识点1定义、命题及命题的组成 1.下列句子是定义的是() A.美丽的天空 B.正数前面加上符号“一”的数叫作负数 C.你的作业做完了吗？ 通能力39299992929 D.作线段AB=CD 7.下列语句属于定义的是( 2.(2024·恩施模拟)下列语句中，不是命题的 A.两点确定一条直线 是() B.平行线的同位角相等 A.两直线平行，同旁内角相等 C.两点之间线段最短 B.若2a=4,则a=2 D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫 C.过一点作已知直线的平行线 作点到直线的距离 D.同角的余角相等 8.(2024·廊坊月考)关于“同一个角的两个邻补 3.把命题“同位角相等”改写成“如果…那 角是对顶角”，下列说法正确的是() 么…”的形式为 A.它不是命题 B.它是真命题 知识点2真命题、假命题 C.它是假命题 D.它的题设是“对顶角” 4.下列命题是真命题的是( 9.在下列命题中，真命题有() A.同位角相等 ①邻补角的平分线互相垂直；②两条直线被第 B.内错角相等 三条直线所截，内错角相等；③两边分别平行 C.同角的补角相等 的两角相等；④如果x2>0,那么x>0;⑤在同 D.同旁内角相等 一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与 5.(2024·温州鹿城区期中)对于命题“如果 这条直线平行. ∠1与∠2互补，那么∠1=∠2”，能证明这个 A.2个 B.3个 命题是假命题的反例是() C.4个 D.5个 A.∠1=∠2=90 10.(2024·德州期中)对于命题“如果a=b,那么 B.∠1=∠2=459 a3=b3”,把题设和结论交换位置，这是一个 C.∠1=60°，∠2=120 命题.（填“真”或“假”） D.∠1=70°，∠2=130° 11.有下列命题：①对顶角相等：②同位角相等； 场橘固不能正确辨析命题的真假 ③同一平面内，如果直线l1∥2，直线l1∥1g, 6.如图所示，给出下列命题：①∠1=∠2， 那么l2∥13；④同一平面内，如果直线l1∥L2, .AB∥DC:②∠4=∠5，∴.AD∥BC; 直线11⊥13，那么12⊥l3:⑤同一平面内，如果 ③，∠ABC+∠ACB+∠2=180°，.AB∥ 直线11与12相交，直线11与13相交，那么12 CD:④，∠3=∠ABD,∴.AD∥BC.其中正确 与13相交.真命题有 .(填序号) 22 优十学海课时渔 12.把下列命题改成“如果…那么…”的 形式。 (1)不相交的两条直线是平行线， 15.推理能力【教材回顾】如下是人教七年级下册 (2)相等的两个角是对顶角， 教材第7页，关于同旁内角的定义 (3)经过一点有且只有一条垂线。 图中∠3和∠6虽然也都在直线AB,CD之 (4)直角都相等， 间，但是它们在直线EF的同一旁（左侧）， 具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 13.(2024·沧州月考)请指出下列命题的条件和 结论，并判断它们的真假 【类比探究】 (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等. (1)如图①所示，具有∠1与∠2这种位置关 (2)绝对值相等的两个数相等. 系的两个角叫作同旁外角.请在图中再找出 (3)两个钝角的和一定大于180°. 一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记 出来 (2)如图②所示，直线a∥b,当∠1=145°时， ∠2= (3)如图③所示，已知∠1十∠2=180°，试说明 a化，并归纳出一个真命题（用文字叙述） 14.如图所示，从①∠1=∠2；②∠C=∠D: ③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知 条件，另一个作为结论，写出组成的所有命 题，并判断真假 一七详级伊数学同 23 第2课时 定理、证明（答案P5) 通基础 ∠ =/ (等量代换)， ..AB//CD( 知识点1定理 借固举反例说明命题是假命题，反例不当而 1.下列说法错误的是( 出错 A.命题不一定是定理，但定理一定是命题 5.教材P24练习T2变式举反例说明下列命题是 B.定理不可能是假命题 假命题 C.真命题是定理 (1)结论开放如果a+b>0,那么a>0,b>0. D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，那 (2)如果一个角的两边分别与另一个角的两边 么这样得到的真命题就是定理 相互平行，那么这两个角相等. 2.结论开放写出已经学过的2个定理. 知识点2证明 3.(2024·内蒙古一模)能说明“相等的角是对顶 角”是假命题的一个反例是() 30P 30P7 夕 通能力》2299999799299992 1409 440 6.可以用来证明命题“若(x十1)(x一5)=0，则 30P 30 x=一1”是假命题的反例为() D A.x=1 B.x=-1 4.数材P25习题7.3T3变式◆完 C.x=5 D.x=-5 成下列证明 7.下列命题可作为定理的有() 已知：如图所示，∠1=∠2， ①两直线平行，同旁内角互补： ∠B=∠C,求证：ABCD. ②相等的角是对顶角； 证明：，∠1=∠2（已知）， ③等角的补角相等； 又，∠1=∠CGD( ④垂线段最短 ∴.∠2=∠CGD( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 ∴CE八 ( 8.(2024·杭州月考)判断命题“如果n≤1，那么 .∠C=∠BFD( n2一1<0”是假命题，只需举一个反例，反例中 又，∠B=∠C(已知)， 的n可以是 24 优十学编课时渔 9.(2024·邯郸月考)已知命题“两直线平行，同 论构造命题。 旁内角互补” (1)你构造的是哪几个命题？ (1)写出该命题的题设 (2)你构造的命题是真命题还是假命题？请 和结论，并将其改写成 选择其中一个真命题加以证明. “如果…那么…” 的形式 (2)嘉淇想证明该命 题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括 号内填上推理的根据 如图所示，已知直线AB∥CD,直线EF交 AB,CD于点M,N. 求证：∠AMN+ =180° 证明：，ABCD(已知)， '.∠AME=∠CNM( ∠AME+ =180°（平角的定义）， .∠AMN+ =180°( ) 通素养999992992 10.结论开放，(2024·南京期中)已知：三条不同 12.(2024·威海期末)【条件信息】①三角形三个 的直线a,b,c在同一平面内，①a∥b:②a⊥ 角的和是180°. c:③b⊥c;④a⊥b ②如图所示，点E,F分别在CD,AB上，连 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个 接BE,CF,BE⊥FD于点G.∠C=∠1， 作为结论，用“如果…那么…”的形式，写 ∠2+∠D=90 出满足下列条件的命题。 【结论评价】(1)小明得出结论：∠2与∠3的 (1)写出一个真命题，并证明它的正确性， 数量关系是相等. (2)写出一个假命题，并举出反例. (2)小强得出结论：AB与CD的位置关系是 平行. 你认为小明和小强的结论正确吗？若正确， 说明理由；若不正确，写出正确的结论并说明 理由. 11.(2024·龙岩月考)如图所示，现有以下3个 论断： ①ABCD:②∠B=∠C:③∠E=∠F 请以其中2个论断为条件，另一个论断为结 一七详级卡部数学同 25i∠E0F=号∠A0F=75 (2)如果①③，那么②.是真命题】 理由：∠1=∠2，∠1=∠DGF,∠2=∠DGF ∴.∠BOE=∠BOD+∠EOF=105 .BD∥CE,∠C=∠ABD ,OE∥DM,.∠ANM=∠BOE=105 ∠A=∠F,.AC∥DF, 9.解：(1)60°-32°=28°， ∴∠ABD=∠D,.∠C=∠D 即光的传播方向改变了28 (3)如果②③，那么①.是真命题 (2)射人光线OE与射出光线FG平行，理由如下： 理由：∠A=∠F,.AC∥DF,.∠ABD=∠D AB∥CD, ,∠C=∠D,∴.∠C=∠ABD. ∴.∠AEF=∠DFE ∴，BD∥CE,∴∠2=∠DGF 又，∠OEA=∠DFG ∠1=∠DGF,∠1=∠2 .∠OEA十∠AEF=∠DFG十∠DFE, 15.解：(1)如图①所示，∠3与∠4互为同旁外角. 即∠(OEF=∠GFE,.(OE∥FG. (3)55 7.3定义、命题、定理 第1课时定义、命题 1.B2.C3.如果两个角是同位角，那么这两个角相等 4.C5.C6.①②③7.D8.B9.A10.真 11.①③①解析：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意： (2)35 ②两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符 (3)如图②所示， 合题意： '∠1+∠2=180，∠1+∠3=180°， ③同一平面内，如果直线11：·直线1：1，那么1L,正 .∠2=∠3..ab. 确，是真命题，符合题意： 结论：同旁外角互补，两直线平行 ④同一平面内，如果直线11∥1，，直线11⊥1：，那么1⊥1：，正 第2课时定理、证明 痛，是真命随，特合题意： 1.C ⑤同一平面内，如果克线1与相交，直线11与1，相交，2.解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂 那么【：与1相交或平行，故原命题错误，是假命题，不符合 直：两直线平行，同位角相等.（容案不唯一） 题意.真命题有①③④. 3.A 12.解：(1)不相交的两条直线是平行线，：原命题的条件是：“两4.对顶角相等等量代换 条直线不相交”，结论是：“这两条直线平行”， BF同位角相等，两直线平行 ∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那 两直线平行，同位角相等 么…”的形式为：“如果两条直线不相交，那么这两条直线 B BFD 平行” 内错角相等，两直线平行 (2)相等的两个角是对顶角， 5.解：(1)a=0,b=1.(答案不唯一) ”原命题的条件是：“两个角相等”，结论是：“这两个角是对 (2)如图所示： 顶角”， 命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为 “如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， (3》经过一点有且只有一条垂线， ∠1+∠2=180° :原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只有一条垂6.C7.C8.一2（答案不唯一） 线” 9.解：(1)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角 命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那 互补 么…”的形式为：“如果过一点，那么有且只有一条直线与 (2)∠CNM两直线平行，同位角相等∠AMN∠CNM 已知直线垂直” 等量代换 (4)直角都相等. 10.解：(1)如果a⊥c,b⊥c,那么ab 原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等” 理由：如图所示 .命题“直角都相等”写成“如果……那么……”的形式为 ac,b⊥c, “如果所有的角是直角，那么它们都相等” .∠1=90°.∠2=90， 13.解：(1》条件：两个角是直角：结论：这两个角相等 .∠1=∠2，.ab. 直角为90°，故原命题是真命题 (2)如果a⊥c,b⊥c,那么 (2)条件：两个数绝对值相等：结论：这两个数相等， a1b. 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原 反例：如图所示，如果a⊥c, 命题是假命题. b⊥c,那么ab. (3)条件：两个角是钝角：结论：这两个角的和一定大于180°：11.解：(1)构造3个命题如下： 钝角大于90°，故两个钝角的和一定大于180°，故原命题是 条件是：①AB,CD:②∠B=∠C:结论是：③∠E=∠F; 真命题. 条件是：①AB∥CD:③∠E=∠F:结论是：②∠B=∠C: 14.解：(1)如果①②，那么③.是真命题. 条件是：②∠B=∠C,③∠E=∠F:结论是：①AB∥CD 理由：∠1=∠2，∠1=∠DGF, (2)条件是：①AB∥CD:②∠B=∠C:结论是：③∠E .∠2=∠DGF,.BDCE, ∠F,此命题是真命题， .∠C=∠ABD.:∠C=∠D 证明：AB∥CD,.∠C=∠BAE. ∠ABD=∠D,∴AC∥DF,∴∠A=∠F. ∠B=∠C,.∠B=∠BAE, 5 ∴.ACBF.∴.∠E=∠F .P,FP:G(同旁内角互补，两直线平行)： 条件是：①ABCD:③∠E=∠F:结论是：②∠B=∠C.此 .AB∥CD 命题是真命题， 5.解：∠3+∠1=∠2+∠4，理由 证明：，ABCD,.∠C=∠BAE 如下： ∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠B=∠BAE,∠B=∠C. 如图所示，过点E,F分别作EG∥ 条件是：②∠B=∠C:③∠E=∠F:结论是：①AB∥CD.此 AB.FH//CD. ------3F 命题是真命题， EG∥AB,FHCD. 证明：∠E=∠F.,CE∥BF,.∠B=∠BAE .∠1=∠BEG,∠I=∠CFH, ,∠B=∠C,∴.∠C=∠BAE,.AB∥CD ∠GEF=∠EFH. 12.解：(1)小明的结论错误，正确的结论是∠2与∠3互余，理由 .∠3=∠2-∠1+∠4， 如下： .∠3+∠1=∠2+∠4. BE⊥FD, 6.解：如图所示，过点E作EM∥AB, .∠DGE=90 过点F作FN∥AB, ∠C=∠1..BE∥CF, 过点G作GQ∥AB, ∴.∠CFD=∠DGE=90°， AB∥CD, F42 .∠2+∠3=180°-∠CFD=180°-90°=90°， ,∴.AB∥EM∥FN∥GQCD. V- 即∠2与∠3互余. ,∴.∠1=∠BEM,∠EFN=∠FEM, (2)小强的结论正确，理由如下： ∠GFN=∠FGQ,∠5=∠DGQ, :∠DGE=90'. ,.∠1+∠EFN十∠GFN+∠5= .∠1十∠D=180°-∠DGE=180°-90°=90°， ∠BEM+∠FEM+∠FGQ+∠DGQ, ∠2+∠D=90°， ,.∠1+∠EFG+∠5=∠BEF+∠FGD. ∴.∠1=∠2. 即∠1+∠3+∠5=∠2+∠4. ∠C=∠1. 专题二平行线与三角尺结合问题 .∠2=∠C,ABCD 1.D2.D3.C4.C5.①②③6.D7.B8.A9.D 专题一平行线中的拐点问题 专题三与平行线有关的证明问题 1,证明：如图所示，过点E作 1.证明：：AEBC,∴∠1=∠B, EF∥AB, ∠B=∠2.∴∠1=∠2. ∠1=∠AEF. 2.解：小莲的证法是错误的. :∠1+∠2=∠AEC. 证明：AB/CD,·∠1+∠BAD=180, ∠AEF十∠CEF=∠AEC, 2 ,ADBC,∴.∠2+∠BAD=180°，.∠1=∠2. .∠1十∠2=∠AEF十 3.解：(1)∠A=∠ADE,.AC∥DE,.∠EDC十∠C=180 ∠CEF, 又，∠EDC=3∠C,.4∠C=180°， .∠2=∠CEF, 即∠C=45. .EF∥CD. (2)证明：AC∥DE,∠E=∠ABE. EF∥AB.∴ABCD. 又：∠C=∠E,∴∠C=∠ABE,.BECD 2.证明：如图所示，过点E作EF∥AB,则∠A十∠1=180° 4.解：(1)，∠A=78°，∠A=∠D,.∠D=78 ∠A=120°， :∠C=47,.∠CFD=180°-∠C-∠D=55, .∠1=60°. .∠BFD=180-∠CFD=125 又：∠AEC=120°， (2)证明：·∠AEB+∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD= .∠2=60°， 180°，∴.∠AEB=∠CFD ∴∠2+∠C=180°， :∠A=∠D,.(180°-∠A-∠B)+(∠C+∠D)=180°， ∴EFCD,.ABCD .∠B=∠C,.AB∥CD. 3.解：如图所示，作BM∥AE,CN∥BM 5.证明：如图所示.AB∥CD, .AE∥BM∥CN, E ∴.∠BAC+∠ACD=180°. ∴.∠A=∠ABM,∠CBM= :AE平分∠BAC,CE平 ∠BCN. B :∠A-∠ABC+∠BCD+∠D= ---- 分∠ACD. 180°. 4=号 ∠BAC,∠2= .∠A-(∠ABM+∠CBM)+ D 1 ∠BCN+∠NCD+∠D=I80°， ∠ACD. ∴.∠NCD+∠D=180", .CN∥DF.∴.AE∥DF ·∠1+∠2=2（∠BAC+∠ACD)=2×180°=90 4.解：AB∥CD.理由如下： ∴.∠E=180°-（∠1+∠2）=90°.即AE⊥CE. 如图所示，过点P,作P,F∥AB。 6.解：(1)：∠ADE=3∠CDE, 过点P,作P,GCD, ∴.设∠CDE=x,∠ADE=3r, .∠ABP,+∠BP,F=180, 即∠ADC=∠ADE-∠CDE=2x. ∠CDP±+∠DP,G=180°. .AB//CD. ∠B+∠BP,P,+∠PP,D+ .∠BAD=180°-∠ADC=180-2.x. ∠D=540°. ,AE平分∠BAD, .∠FP,P,+∠P,PG=180°，