第8章 4 平行线的判定定理-【优+学案】2024-2025学年七年级下册数学课时通(鲁教版 五四制)

平行线的判定定理(答案P9) 通基础 知识点3同旁内角互补,两直线平行 3.如图所示,下列推理正确的是( - 知识点1同位角相等,两直线平行 A. 因为1=4,所以 1.(2024·泰安奏山区期中)如图所示,已知 BC/AD BE MN,垂足为B,DF1MN,垂足为D, B.因为BCD+ADC= 1-2.试说明直线AB与CD平行 180*,所以BC/AD #{## C.因为 2= 3,所以AB/CD D.因为 CBA十 C=180*,所以BC/AD 4.如图所示,DE平分ADC,CE平分BCD 且 1+2-90{,求证:AD/BC 则点2内错角相等,两直线平行 2. 数材P47习题8.5T2变式 (2024·聊城冠县期 不能正确识别“截线与被截线" 中)如图所示,点G在CD上,已知BAG十 5.如图所示,下列说法正确的是 AGD=180{*},AE 平分 BAG,GF 平分$ A.若 3= 8,则AB/CD 乙AGC,证明AE/GF. B.若 1-5,则AB/CD 证明:因为 BAG十 AGD=180{$$ C.若DAB十ABC= ). AGC+ AGD=180*( 180*.,则AB/CD 。 所以 BAG- AGC( D.若 2-6,则AB/CD 因为AE平分BAG, 通能力 ). 6.(2024·烟台牟乎区期末)如图所示是李强想 因为GF平分/AGC, 出画一条直线的平行线的方法,这种画法的依 据是( ) *) p. 得 1=/2(等量代换) 所以 A.两直线平行,同位角相等 B.内错角相等,两直线平行 C.同旁内角互补,两直线平行 D.同位角相等,两直线平行 七因:下:数学: 7.(2024·济宁任城区期末)如图所示,点E在 10.如图所示,一个由4条线段构成的“鱼”形图 AD的延长线上,给出下列条件; 案,其中 1-50{,2-50{*,3-130*,找 $ (1)A=CDE;(2)CDE=C;(3) 1= 图中的平行线,并说明理由 $ 2;(4) 3=4;(5)A+ABC=180* (6) A十 ADC=180*,能判定BC/AD的 条件有 .(填序号) 8.如图所示,已知 1-70*,CDN-125*,CM 平分 DCF,判断CM与DN是否平行,并说 明理由. 11. 几何直观(2024·烟台栖霞期末)如图所示, ## 直线CD,EF交于点O,OA,OB分别平分 COE和DOE. (1)若 2:3-2:5,求 AOF的度数 (2)在(1)的条件下,若 1=50{*,AB/CD吗? 请说明理由. 9. 一题多解如图所示,一块不规则木料,只有 AB一边成直线,木工师傅想在这块木料上截 出一块一组对边平行的木板,用角尺在MN处 画了一条直线,然后又用角尺在EF处画了一 条直线;画完后用锯沿MN,EF锯开就截出了 一块有一组对边平行的本料,请你用所学的几 何知识说明这样做的道理 ## 通素养 12. 推理能力如图所示,EFIAC交AC于点 F,DB1AC交AC于点M,1=2,3 C,请问AB与MN平行吗?说明理由. ##4.B5.B6.两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 7.C8.C9.这两个数的和为零 号AB=a(等式的性质。 10.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直6.证明：：∠ECB=90°，∠ACD=90(已知)， 线，那么这两条直线平行 ∴.∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB, 11.D12.D13.①②③14.A15.A16.假 ∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-∠DCB(角的和 17.C18.64 差). ∴.∠ACB+∠DCE=180°（等式的性质）. 19.解：(1)条件：两个角的和等于平角，结论：这两个角 即∠ACB与∠DCE互补. 互为补角.是真命题. 7.证明：，∠COD=∠AOB(正方形的定义)， (2)条件：两个角是内错角，结 .∠COA=∠DOB(同角的余角相等). 论：这两个角相等.是假命题，如 同理可得∠EOA=∠FOB 图所示，∠1与∠2是内错角， :OF平分∠DOB(已知)， ∠2>∠1. (3)条件：两条平行线被第三条 ∠DOF=∠FOB=号∠DOB(角平分线的定义. 直线所截，结论：同旁内角互补，是真命题. 20.解：(1)∠B=∠E,理由如下：如图①所示 ∠E0A=号∠DOB=∠COA(等量代换). 因为AB∥DE,所以∠B=∠1.因为BC∥EF,所以 .OE平分∠AOC(角平分线的定义) ∠1=∠E.所以∠B=∠E. 8.A9.A 10.证明：，M是AB的中点，N是CD的中点， :AM-BM-7AB.DN-CN-7CD. .MN=MB+CN+BC=a,BC=b, .MB+CN=a-6, ..AB+CD=2(MB+CN)=2(a-b), (2)∠B十∠E=180°，理由如下：如图②所示， ,∴.AD=2(a-b)+b=2a-b. 因为AB∥DE,所以∠B+∠1=180°. 11.证明：，∠BOC+∠2=180°，∠BOC=80°， 因为BC∥EF,所以∠E=∠1. .∠2=180°-80°=100°. 所以∠B+∠E=180° OE是∠BOC的平分线，∴∠1=40° (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相 ,∠1+∠2+∠3=180°， 等或者互补. ,.∠3=180°-∠1-∠2=180°-40°-100°=40° 2证明的必要性 ,∠2+∠3+∠AOF=180°，.∠AOF=180°- 1.解：观察发现：AB和CD是弯曲的：AB和CD不 ∠2-∠3=180°-100°-40°=40. 平行. ..∠AOF=∠3=40°」 用直尺验证：AB和CD是直的；AB∥CD .OF平分∠AOD. 2.解：从直观上看，图形中的四边形都不像是正方形. 12.证明：，OE,OF分别平分∠AOB,∠BOC,且 事实上，它们都是正方形. ∠EOF是直角，.∠AOE=∠BOE,∠COF= 3.A4.5 ∠BOF,∠EOF=90. 5.解：由于整数的末位数字只能是0,1,2,3,4,5,6,7， .(∠AOE+∠EOB)+(∠COF+∠BOF)= 8,9中的一个，它们的平方的末位数字只能是0,1， 2×90°=180°，即∠AOB+∠B0C=180° 4,9,6,5中的一个，所以“任何一个整数的平方，末 .∠AOC=180° 位数字都不是2”是一个正确的说法. AO,OC成一条直线，即A,O,C三点共线， 6.D 13.解：可分三种情况进行讨论： 7.解：这个判断不对.理由如下： ①若甲真，则乙假，丙真，丁真.这种情况下，三人说 反例：当n=12时，n2一12n=0,故这个判断不对. 了实话，显然与条件不符 8.解：(1)因为20÷3=6…2， ②若甲假，乙真，则丙假，丁真.这种情况下，两人说 所以只要甲先说2个数，然后保证下一次所说的数 了实话，显然与条件不符. 与乙所说的数的个数的和是3，就一定能抢到20，所 ③若甲假，乙假，则丙真，丁假.这种情况下，只有丙 以游戏不公平，偏向甲. 说了实话，符合题目给出的条件. (2)应抢到2,5,8,11,14,17. 由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁， 3基本事实与定理 4平行线的判定定理 1.C2.B 1.解：BE⊥MN,DF⊥MN(已知)， 3.解：两点确定一条直线；两点之间线段最短.（答案不 .∠MBE=90°，∠MDF=90°（垂直定义）， 唯一)】 即∠ABM+∠1=90°，∠CDM+∠2=90°. 4.B 又：∠1=∠2（已知）， 5.证明：，M是AC的中点，N是BC的中点（已知）， .∠ABM=∠CDM(等角的余角相等)， “MC=2AC,CN=2BC(线段中点的定义)， ∴.ABCD(同位角相等，两直线平行). 2.已知平角的定义同角的补角相等角平分线的 MN-MC+CN-AC+C-(AC+BC)- 定义∠AGC AE∥GF内错角相等，两直线 平行 9 3.B 2.证明：AC∥BD(已知)， 4.证明：：DE平分∠ADC,CE平分∠BCD(已知)， ∴∠A=∠B(两直线平行，内错角相等). ∴.∠ADC=2∠1，∠BCD=2∠2（角平分线的定 :∠A=∠AOC(已知)， 义). ∴，∠B=∠AOC(等量代换) ,∠1十∠2=90°（已知）， ∴.∠ADC+∠BCD=2(∠1+∠2)=180°（等式的 :∠AOC=∠BOD(对顶角相等)， 性质)，∴.AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行). ∴∠B=∠BOD(等量代换). 3.证明：过点C作CF∥AB,如图所示， 5.D6.D7.(2)(4)(5) 8.解：CM与DN平行.理由如下： :AB∥ED,∴.AB∥CFED,A ,∠1=70°，.∠BCF=180°-70°=110 .B+∠BCF=180°， ,CM平分∠DCF,∴.∠DCM=55. ∠DCF+∠D=180°， ∠CDN=125°， ∴.∠B+∠BCF+∠DCF+E ∴.∠DCM+∠CDN=180°. ∠D=180°+180°=360°，即∠B+∠BCD+ ∴.CMDN. ∠D=360°. 9.解：方法一：，MN⊥AB,EF⊥AB, 4.证明：AB∥CD,∴∠A=∠C ∴.∠MNB=∠EFB=90°，∴.MN∥EF. ∠1=∠A,∠1=∠C,.EF∥AC,∠EFO+ ∴.沿MN,EF锯开就截出了一块有一组对边平行 ∠COF=180°. 的木料. 方法二：，MN⊥AB,EF⊥AB, 5.D6.90°7.70 ∴.∠MNB=∠EFN=90°，.∠MNB+∠EFN= 8.证明：AB∥CD,∴，∠CEG=∠BGE 180°，∴.MN∥EF. ,EF平分∠CEG,GH平分∠BGE, '.沿MN,EF锯开就截出了一块有一组对边平行 的木料 ∴∠FEG-2∠CBG,∠HGE-∠BGE, 10.解：OA∥BC,OB∥AC.理由如下： .∠FEG=∠HGE,.EFGH. ∠1=50°，∠2=50°，.∠1=∠2，.0B∥AC. 变式题：证明：，AB∥CD,∴.∠CEG=∠AGM. :∠2=50°，∠3=130°， :EF平分∠CEG,GH平分∠AGM, .∠2+∠3=180°，.0A∥BC 11.解：(1)∠2：∠3=2：5，∠2= 2∠DOE, ÷∠FEG=∠CBG,∠HGM=7∠AM, ∴.∠FEG=∠HGM,∴.EFGH .∠DOE:∠3=4：5. 9.解：(1)证明：，∠1=∠BDC, ,∠D0E+∠3=180°， .ABCD(同位角相等，两直线平行)， ∠D0E=180×号=80， ,∠2=∠ADC(两直线平行，内错角相等). ∠3=180×号=100， :∠2+∠3=180°， ∴.∠ADC+∠3=180°（等量代换）， .∠C0E=∠3=100. ∴ADCE(同旁内角互补，两直线平行). ,OA平分∠COE, (2):∠1=∠BDC,∠1=64°， ∠A0C=∠A0E-3∠C0E=50. ∠BDC=64°. ,DA平分∠BDC, ∴.∠AOF=180°-∠AOE=130°， ∴.∠AOF的度数为130° ∴∠ADC=号∠BDC=32r(角平分线定义)， (2)平行. ∴.∠2=∠ADC=32°（已证）. 理由：由(1)可知∠AOC=∠AOE=50. 又，CE⊥AE, ,∠1=50°， .∠AOC=∠1， ∴.∠AEC=90°（垂直定义）. ..AB//CD. ,ADCE(已证)， 12.解：ABMN.理由如下： ∴.∠FAD=∠AEC=90°（两直线平行，同位角相 EF⊥AC,DB⊥AC,.DBEF, 等)， ∴∠2=∠MDC ∴.∠FAB=∠FAD-∠2=90°-32°=58. ∠1=∠2，∴.∠1=∠MDC,∴.MN∥CD. 10.解：探究一：∠BPD=∠ABP十∠CDP,理由 ,∠3=∠C,∴.AB∥CD,∴.ABMN. 如下： 5平行线的性质定理 如题图①， 1.证明：，BE平分∠ABC(已知)， .AB//MN//CD, ∠1=∠2（角平分线的定义）. .∠BPN=∠ABP,∠DPN=∠CDP, 又，DEBC(已知)， .∠BPN+∠DPN=∠ABP+∠CDP, .∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）， ∴.∠BPD=∠ABP+∠CDP ∴.∠1=∠3（等量代换）. 探究二：∠AMP=∠P+∠CNP145 10