第2章 2 探索直线平行的条件-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(北师大版2024)

2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两直线平行（答案9） 通基础 知识点1识别同位角 1.下列图形中，∠1和∠2不是同位角的 是( (1)画直线AB和射线BC: (2)连接AC和BD相交于点O; (3)过点C画BA的平行线CE; (4)过点D画BC的垂线，垂足为点F: 2.如图所示，下列四组角中 (5)把线段AB向左平行移动1格，再向上平 是同位角的是() 行移动2格，画出平移后的线段MN. A.∠1与∠7 知识点4平行公理及推论 B.∠3与∠5 C.∠4与∠5 6.过直线外一点画与已知直线平行的直线 () D.∠2与∠6 A.有且只有一条 B.有两条 知识点2利用同位角判定两直线平行 C.不存在 D.无数条 3.如图所示，如果∠1-∠2，那么a%,其依据可 7.如图所示，PC∥AB,QC∥AB,则点P,C,Q在 以简单的说成() 一条直线上，理由是( A.两直线平行，内错角相等 P B.两直线平行，同位角相等 C.同位角相等，两直线平行 D.内错角相等，两直线平行 A.过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行 B.两点确定一条直线 C.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平 行线 第3题图 第4题图 D.平行于同一条直线的两条直线平行 4.如图所示，过直线外一点作已知直线的平行 8.如图所示，取一张长方形的硬纸片ABCD对 线，其依据是 折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另 知识点3过直线外一点作这条直线的平行线 一个面CDMN不论怎样改变位置，总有 5.如图所示，在8×6的小正方形网格中，点A, MN∥ .因此 B,C,D是格点（格点是指在网格中小正方形 的顶点)，根据下面的要求画图，并解答相关 问题： 一七详级卡带数学的 37 通能力 通素养 9.几何直观如图所示，已知∠1=90°，为保证两 13.探究拓展学习了平行线后，小明想出了过已 条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是 知直线外一点画这条直线的平行线的新方 ) 法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图 ①一④所示，虚线部分表示折痕). 铁轨口口 【操作发现】发现一：如图④所示，由图②中的 铁轨四 折叠可知，PE⊥AB,由图③中的折叠可知， 枕木 枕木 PE⊥CD,则AB∥CD.用数学符号写出这个 A.∠2=90 B.∠3=90° 推理过程，并注明推理的依据， C.∠4=90 D.∠5=90° 发现二：如图④所示，由图②中的折叠可知， 10.如图所示，已知∠1=(3x+24)°，∠2=(5x+ ∠1=90°，由图③中的折叠可知∠2=90°，则 20)°，要使m∥n,那么∠1= ∠1=∠2，所以AB∥CD.用数学符号写出这 个推理过程，并注明推理的依据， 【解决问题】如图⑤所示，AD⊥BC于点D, AD平分∠BAC,EG⊥BC于点G.试说明： ∠E=∠1. 11.如图所示，把三角板的直角顶点放在直线b P 上，若∠1=35°，则当∠2= 度时，ab. 2 p72 E1 12.如图所示，直线AB∥CD,并且被直线EF所 5 截，交AB和CD于点M、N,MP平分 ∠AME,NQ平分∠CNE.试说明MP∥ NQ. 38 优学案课时通 第2课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行（答案9） 通基础 知识点3利用同旁内角判定两直线平行 6.如图所示，直线a,b被直线c,d所截，则下列 知识点1识别内错角或同旁内角 条件可以判定直线c∥d的是() 1.如图所示的四个图形中，∠1和∠2是内错角 的是( A.∠2=∠3 B.∠1=∠3 C.∠1+∠5=180°D.∠4+∠5=1801 2.如图所示，同旁内角有 对 7.如图所示，∠1=120°，要使AB∥CD,则需 ∠2= 6 9 78 知识点2利用内错角判定两直线平行 D 3.(2024·西安摸拟)下列图形中，由∠1=∠2， 帽臣对所有可能性考虑不全 能得到AB∥CD的是( 8.如图所示，a,b,c三根木棒钉在一起，已知 △国 ∠1=70°，∠2=100°，现将木棒a,b同时顺时 针旋转一周，速度分别为17度/秒和2度/秒， 则 秒后木棒a,b平行. 4.如图所示，小明利用两块相同的三角板，分别 在三角板的边缘画直线AB和CD,并由此判 定AB∥CD,这是根据 ,两直线 平行. 通能> 9.模型观念◆以下三种沿AB折叠的方法中，能 5.已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠E, 判定纸带两条边线a,b互相平行的是() 求证：AD∥BE. a.如图①所示，展开后测得∠1=∠2；b.如图 ②所示，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4： c.如图③所示，测得∠1=∠2 3 A.ac B.abc C.ab D.be 一七详级卡渐数学 39 10.如图所示，一个弯形管道的拐角∠ABC= 通素第92932999292 120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行 加工拐弯，要保证拐弯的部分CD与AB平 13.推理能力将一副三角板中的两直角顶点C 行，则加工后拐角∠BCD的度数是 叠放在一起，如图所示，其中∠A=30°， ∠B=60°，∠D=∠E=45° (1)若∠BCD=150°，求∠ACE的度数. (2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请 11.把一副三角板（∠B=∠F=90°，∠A=45°， 说明理由. ∠E=30)按如图所示的方式摆放，当∠1为 (3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动 度时，AC∥EF 三角板DCE,试探究∠BCD等于多少度时， CD∥AB?并简要说明理由， 12.创新意识我们知道，光线从空气射人水中会 发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样 备用图① 备用图2 会发生折射现象.如图所示是光线从空气中 射入水中，再从水中射入空气中的示意图.由 于折射率相同，因此已知∠1=∠4，∠2= ∠3.请你用所学知识来判断c与d是否平 行，并说明理由. 40 优学案课时通6.解：(1)(2)(3)画出的垂线如图所示. ∠COD=a-60°，∠AOE=a-90°. 则a-90°=3(a-60°)， 解得a=45(舍去). 综上所述，a的度数为45或67.5° 2探索直线平行的条件 7.D8.垂线段最短 第1课时利用同位角判定两直线平行 9.110°或70°10.A11.115° 1.C2.D3.C4.同位角相等，两直线平行 12.解：如图所示. 5,解：如图所示 (1)沿AB走，两点之间线段最短： (2)沿AC走，垂线段最短： (3)沿BD走，垂线段最短. 6.A7.A 8.AB CD AB CD 13.解：(1)∠DOE=96°， 9.C10.7511.55 ∴.∠DOC=180°-∠DOE=84. 12.解：，ABCD,∴.∠AME=∠CNE(两直线平行， :0B平分∠C0D∠B0C=号∠D0C=42, 同位角相等).：MP平分∠AME,NQ平分 ∠AOB=90°， ∠CNE,∠1=2∠AME,∠2=2∠CNE(角平 ∴.∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-42°=48°. 分线的定义).：∠AME=∠CVE,.∠1=∠2 (2).∠AOE+∠AOC=180°，∠AOE+∠DOB= 180°.∴.∠AOC=∠BOD. (等量代换)..MP∥VQ(同位角相等，两直线平 :∠BOC+∠AOC=90°， 行). ∴.∠BOC+∠BOD=90°， 13.解：【操作发现】发现一：因为PE⊥AB,PE⊥CD, ∴.∠EOD=180°-（∠BOC+∠BOD)=90. 所以ABCD(同一平面内，垂直于同一条直线的 14.解：(1)30 两条直线互相平行). (2),∠AOC=120°，∴.∠BOC=60°. 发现二：因为∠1=90°，∠2=90°， ,OC是∠BOE的角平分线， 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). ∴.∠COE=∠BOC=60°， 【解决问题】证明：因为AD⊥BC于点D,EG⊥BC :∠DOE=90°，∴.∠C0D=90°-60°=30°， 于点G, (3)能， 所以AD∥EG,所以∠1=∠2，∠E=∠3. ①当0°≤a<60时，有： 又因为AD平分∠BAC, ∠COD=60°-a,∠AOE=180°-∠DOE-a= 所以∠2=∠3，所以∠E=∠1. 90°-a, 第2课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行 则90°-a=3(60°-a),解得a=45°： 1.B2.43.D4.内错角相等 ②当60°≤a<90时，有： 5.证明：，∠1=∠2， ∠COD=a-60°.∠AOE=90°-a, .DB∥EC,∴.∠E=∠4. 则90°一a=3(a-60),解得a=67.5°： 又.∠E=∠3，∴∠3=∠4， ③当90°≤a<180时，有： .AD∥BE. 9 6.C7.608.2或14或75或1659.C 9.A10.A1L.25°12.150° 10.60°或120°11.150 13.解：如图所示，过点C作CE∥AF, 12.解：c∥d.理由如下： 北 如图所示， 北 因为∠2+∠5=∠3+∠6，∠2=∠3， 所以∠5=∠6. 因为∠1=∠4， 所以∠1十∠5=∠4十∠6（等式的性质）， 由平行线的性质，知CE∥AF∥BD, 所以c∥d(内错角相等，两直线平行). 所以∠FAC=∠ACE,∠CBD=∠BCE, 所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+45=105. 14.解：(1)因为AB∥CD,所以∠1=∠2.因为∠1 46°，所以∠2=46°. (2)因为AB∥CD,所以∠BEF+∠EFD=180° 又因为∠BEF与∠EFD的平分线交于点P,所以 13.解：(1)因为∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=150°， 所以∠DCA=∠BCD-∠BCA=150°-90°=60°， ∠FEP+∠EFP=2(∠BEF+∠EFD)=9O,所 所以∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-60°=30，. 以∠EPF=90°，即EG⊥PF.因为PF∥GH,所以 (2)∠BCD十∠ACE=180°.理由如下： GH⊥EG. 因为∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, (3)∠HPQ的大小不发生变化，度数为45°，理由 ∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD, 如下： 所以∠BCD+∠ACE=180°， 因为∠PHK=∠HPK,∠PKG=∠PHK+ (3)当∠BCD=120或60时，CD∥AB. ∠HPK,所以∠PKG=2∠HPK.又因为GH⊥ 理由如下： EG,所以∠KPG=90°-∠PKG=90°- 如备用图①所示， 2∠HPK,所以∠EPK=180°-∠KPG=90°+ 当∠B+∠BCD=180时，CD∥AB. 2∠HPK.因为PQ平分∠EPK,所以∠QPK= 此时∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°： ∠EPK=45°+∠HPK,所以∠HPQ 1 如备用图②所示， 当∠B=∠BCD=60时，CD∥AB. ∠QPK一∠HPK=45°，故∠HPQ的大小不发生 3平行线的性质 变化，度数为45°. 第1课时平行线的性质 第2课时平行线的性质与判定的综合运用 1.A2.21°3.C4.100°5.A6.108 1.A2.A3.120+.30 7.15或115 5.解：，∠1十∠2=180°， 8.解：DE∥BC, .ABCD,∴.∠3=∠GOD, .∠BAE+∠B=180°， ,∠3=100°，∴.∠3=∠G0D=100°， .∠BAE=180°-∠B=180°-70°=110°. .∠D0H=180°-∠GOD=180°-100°=80°， 又.AC平分∠BAE, ,OK平分∠DOH, ∴∠BAC=∠EAC=2∠BAE=2X110=5 ∠K0H=2∠D0H-=7×80°=40 DE∥BC,∴.∠C=∠EAC=55, 6.∠3两直线平行，同位角相等DG内错角相等， ∴.∠C的度数为55. 两直线平行∠AGD(或者∠DGA)两直线平行， 10