重庆市南开中学校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

重庆南开中学高2027级高一(下)期中考试 数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第Ⅰ卷 (选择题) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 则z的虚部为( ) A. 1 B. - 1 C. 2. 已知△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 则a=( ) A. 4 D. 3.已知向量a，b满足 且 则 4.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为( ) A. 1:1 B. 1:2 C. 2:3 D. 3:2 5. 已知的部分图像如图所示，则 的值为( ) A. 1 D. 2 6. 已知复数z满足|z+2-i|=2, 则|z+i|的最大值为( ) D. 4 7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积 己知△ABC面积为 且 则C为( ) A. B. 8.在棱长为1的正方体. 中，P为线段BD₁上一动点，则||A₁P|+|DP|的最小值为( ) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若m//n, n⊂α, m⊄α, 则m//α B. 若m/lα, α//β, 则m//β C. 若m//α, n//α, 则m//n D. 若α∥β, m⊂α, 则m∥β 10. 已知函数, 则( ) A. f(x)的图象关于y轴对称 B. f(x)的最小正周期为π C. f(x)在区间 上单调递减 D. f(x)的值域为[-2,1] 11.重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，B为解放碑的基座(B在A的正下方，即AB⊥BC，AB⊥BD)，在纪念碑所在广场内(与B在同一水平面内)选取C，D两点，测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB、∠ACD、∠BCD、∠ADC、∠ADB、∠BDC, 若已知m、∠ACB、∠BCD，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度AB的是( ) A. ∠ADB B. ∠BDC C. ∠ADC D. ∠ACD 第II卷 (非选择题) 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果，不写过程). 12. 已知, 则x= . 13.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形， P.是BN上一点且 则 14. 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 的角平分线AD交边BC于点D，且AD长为定值.若△ABC面积的最小值为 则AD的长为 . 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程). 15. (13分) 已知复数1-3i是方程. 的一个根. (1) 求a,b的值 (2) 设 若为纯虚数，且 求复数z. 16.(15分) 已知向量 且向量a与b共线. (1) 求 (2) 若 求实数t的值. 17. (15分) 如图，在三棱台中，底面△ABC为等边三角形， D为线段BC上靠近B的三等分点，E为线段B₁C₁上靠近B₁的三等分点. (1) 求证: 平面A₁BE∥平面AC₁D; (2)求平面AC₁D分割三棱台所得的几何体 和C₁-ADC的体积之比. 18.(17分) 如图，在四边形ABCD中有 对角线AC、BD相交于点E. (1) 若BD⊥AC, 求; (2) 若 ①求 的取值范围； ② 若O为△BCD的外心, 且 当①中的S取最大值时，求实数m的值. 19.(17分) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 (1) 求证: b+c=2a; (2) 若 且 求a; (3)若 外接圆半径为R，内切圆半径为r，求 的取值范围. 高2027级数学试题 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$重庆南开中学高2027届高一（下)期中考试 数学试题参考答案 选择题 2 4 7 9 10 11 答案 B B B A AD ABD ABC 填空愿 12 13 14 答案 6 9 24 1 详解： 5.由国可海号号{周引受7=，@=经-2,2m2x(+p-0, -号+p=0+2,kez,又：0<p<,∴p-号f=2sm2x+写引 }=2n2x(}}-2孚-5 6.2+2-=2-(-2+训=2由复数几何意义可知，复数z对应的点z的轨迹为以(-2,1)为圆心，2为半 径的圆，如图z+1=-（-训为点z到(0，-)距离 由图可知最大值为V(-2-0+1-（-1)+2=22+2, b(0.m).c 2ab 2 6 8.将正方体中面ABD,与面DBD,展开如图，连接AD,与BD,的交点即为P, 棱长为1，∴AD,=DD,=1,4B=BD=V5,BD=V5, m4as-方-9w40-2-1- 迪会统宽里4D=11-2写}产号4的为2 3 11.已知m、∠ACB、∠BCD,设AB=h, 对于A:若已知∠ADB,设LACB=a,∠BCD=R,∠ADB=BC=,A tang BD=h y1 高2027届（数学）参考答案第1页 CS扫描全能王 亿人在用的扫描A 在ABCD中，BD2=BC2+CD2-2BC:CDcosB, ÷台汀-（品+-合。o8,可型宋标出商 tang 对于B:若已知∠BDC,在△BCD中， BC sin∠BDC sin(LBDC+∠BCD) 可解出边BC, 又在R△MBC中，h=AB=BCan∠ACB,可以求出高h: 对于C:若已知∠ADC,设∠ACB=a,∠BCD=A,∠ADC=X÷AC=,BC=,A sina tang =+a0+tda}a二2-r+。-2h2 sin'a tana 2 在△ACD中， =AD2+m2-2m·ADcosy, sin'a 编2a2m2+ h -2mh.c0s里-2m4ADc0sy,则AD= -h.CosB tan s如' COSy :m-:cos月 =m2+ 2mhcos B cosy tanacosy sina tang cos B 12 -2mh· cos B =m2 2 nhcos里 cosy tanacos*y tanacosy 、sina tang 上式是关于h的二次方程，由求根公式，可解得h■ m.sinasiny 1-cos'acosB cosy+cosacosBsiny 对于D:若已知∠ACD,设∠4CD=8,∠ACB=a,∠BCD=A,∴AC=h sina AD=m+h sina) 2加awa,oa 又0-0+，信-2点a0-r+r+信 化简后h约掉，变为恒等式，即无法解出h。 1.已知花=恋+之×4不=x而+丽 43 :BRN三点共线六x+兮，x=写 而-传西+c西-号丽+而c=号 高2027届（数学）参考答案第2页 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明 14.设AD=x,S△8c=S△MD+S△4cD crsinbrsin2be 32 62 34 3 3 x=AD=1,当且仅当b=c=25时取等 3 15.(13分) 解：(1)，1-3i为方程的根，.1+3i也为方程的根 …2分 1-3i+1+3i=2=-a 由韦达定理 (0-31)0+31)=1+9=10=b'六a=-2,b=10…6分 (2)z6=-2+10i,设z=m+m 引z上√26，∴.√m2+n2=√26即m2+m2=26 …8分 又：z·26=(-2+101)(m+i)=-2m-10n+(10m-2n)i为纯虚数 .-2m-10n=0且10m-2n≠0 解得 m=-5。「m=5 或 n=1n=-1 .z=-5+i或5-i …13分 16.(15分) 解，()：a-2cos8-,6-(←25s血)，且向量a与5共线。 2o0x5血0=-x(.5轴20-血20= 2 又：0e爱爱，20写3,20=晋，0=肾 5分 a-4-0.6=(32-(a-月 2 8分 2)由（D知，a=4-,=(2,则a+i8=0--1+20, …11分 若+问-3，则0-之2+(-1+202=9，解得1=2或1= 17 …15分 高2027届（数学）参考答案第3页 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明 17.(15分) 解：(1)证明：如图，连接4C交AG与点M,连接MD, 在梯形AACC中，可得△MMG∽△CMA, 六总-怨克又“肥宁所以加”4， 又AB文平面ACD,MDc平面ACD,.AB∥平面ACD 3分 又CE=BD=子∴四边形BDC5为平行四边形， .BEI DC,BEE平面ACD,DCc平面ACD,.BE∥平面ACD6分 又：BE∩AB=B,.平面ABE∥平面ACD, …8分 (2)设三棱台上底面面积为S,高为h, ews-号65+4S+54)=子%， 10分 12分 9 go号， 、V44G-0_19 15分 VC-ADC 8 18.(17分) 解法-(1)由BD1AC可得丽.C=(+西，C-网=-Bf+BC2+号M,c =-98+x3x4xcos∠hBC=0=co∠MBc-若 …4分 a)记乙BC=0,D8c=,由a,C-3x4e9eRq→cos0e号3 …5分 0由题可知：AMBD~△CBB且4二=D-"_ EC BE BC 2 故有玩=c,而=画=丽， 所以5=瓜C+画面-号4c+D, .7分 在△ABC和△ABD中分别用余弦定理可得： 9=0+f-23x4o0+3+2-23x2cor-1-骨oas0-7 9 9分 高2027届（数学）参考答案第4页 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明 由ca0e哈为可得5-8受即S的取值这器为[8-号。 …10分 @由@可知当S取最大值时，c9s日，此时血0=2日 43 …11分 在等式os∠BDCD+os∠BC2C=mBO左右两边同时点乘BO可得： sin BCD sin∠BDC C0s ZBDC BD.BO+90sZBCD BC.BO-mBO (*) sin∠BCD sin∠BDC 由O为外心可知丽.丽=BD,BCBO=BC2, 2 记△BCD外接圆半径为R,则BO=R,BD=2Rsi血∠BCD,BC=2Rsin∠BDC, 故(*)式可化为： m=2(sin∠BCD.cos∠BDC+cos∠BCD·sin∠BDC=2sin(∠BCD+∠BDC)=2siB, ……13分 由EC=2BA→Sac=2SMen÷号BC·BEsinB=2x片AB-BEsn(0-m 代入AB=3,BC=4,cos0=}, 咖0s22 整理得： 3 2sm月=3sn0-m=329cmB-月台3血月=25eaA. 3 …15分 平方得：9如B=0-如网宁如月=音→油02国 17 所以m=2si加B=4W3网 17 ,17分 解法二：(D由BD14C,丽=c+号风花=配-丽，小丽花-8c-号af+号丽0=0 3 即=316-2× 1 1 3×9+×3×4×c0s∠ABC=0→cos∠ABC=2, …4分 3 3 高2027届（数学）参考答案第5页 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap 2)记∠hBC=9.由a.C=3x4xcos0eR利→cos0e哈月 …5分 0由愿可知：△MBD~△C5B且5=D=2=1 EC BE BC2' 故有c}c,而=丽=号丽，所议 2 S=,c+丽历=-子c+D=ac-B++C] =c+成-2cm+成+C+元丽 ,,8分 ■-6+9+4+9-元.m-号08-c.网 “丽，Ce,利，Se-8号，即S的取值范盟为-8-号。 .10分 @由①可知当S取最大值时，c0s8=兮/ .11分 在等式os LBDC丽+os∠BC2C=m0左右两边同时点乘BO可得： si血BCD sin∠BDC COs ZBDC BD.BO+S0s ZBCD BC.BO=mBO (*) sin∠BCD sin∠BDC 由O为外心可知D0-BD,BC0=BC2, 2 2 记ABCD外接圆半径为R,则BO=R,BD=2Rsin∠BCD,BC=2Rsin∠BDC, 故()式可化为： m=2(sin∠BCD·cos∠BDC+cos∠BCD:sin∠BDC)=2sin(∠BCD+∠BDC)=2sin∠DBC, …,13分 由EC=24,∴丽=C+号，即9丽=元+2，平方可得： 9丽-16+36+4x12x68,正-g·丽-唇 又3B配-BC=2B,平方可得：9B酝+BC2-68丽.BC=4B, 高2027届（数学）参考答案第6页 CS扫描全能王 亿人■在用的扫描A明 68+16-6×y6 3 x4cos∠DBC=36, …15分 解得cos∠DBC= 6,咖Dc2 6317 7 ,所以m=2s咖∠DBC=4W3☑ 17 …17分 19.(17分) 解(1)由题可得：2bc+2 bccos A=3a2,又由余弦定理可知：2 bccos A=b+c2-a2, 代入上式可得：（亿+c)2=4a2→b+c=2a …4分 a)由-洒+c可奥M=音，CM ga. 记∠BAM=∠BCA=0 -a 法一：在△4BM中，由正弦定理可得： sin&sin∠AMB 2 在△ACM中，由正弦定理可得： b b sin sin(π-∠AMB) sin∠AMB 两式相除可得：2a=三→c=2ab …6分 b +gor-d -8 又由cos∠AMB+cos∠AMC= =0整理得： 42 5 2 2×ax 2×a× 99 9 9 20a2+4=9(4b2+5c2),将c=2ab代入可得 46d+0=9w+5x46的=360+5a）=b-a=号e 3 …8分 12 再0阿知：6+c-3+行a=2a→a=4 .10分 法二：由∠BAM=∠BCA,∠ABM=∠ABC可知 △BAM-ABCA→AB==8→bc=。g,c=2ab BC AC AB …8分 1,b1 又由()可知：b+c=2a,联立以上三个方程可解得：a= 4 61 …10分 商2027凰（数学）参考答案第7页 CS扫描全能王 3亿人■在用的扫描A 3)由a丽花=bcos4=a→cosA=是-+c2-d→6+d=+2a bc 2bc 又(0)阅b+c=2a,结合上式可得：bc=3a-2a …12分 2 由面积公式可得：r= 2×-besin A besin A 2 a+b+c 3a 又由正弦定理可知：R=,a 2sin 4' 所以.3a2 3a2 3a2 3a2 besinZhe(-csA)2bdl-(p]3a-2a- 2a2 a2-2a 2 a-2=1+,2 ……14分 3a-4 3a-4 法一：由上面的分析可知b,c为方程x-2a+30-24=0两正根 2 4=(-2a}-4×3a2_2020 2 3a2-2a>0 2 2 a>0 又由a,b,c为A4BC三边且b+c=2a,故有b-g2=b+c}-4bc=4a-2d2<a2→a> 3 ,16分 法：由6c22>0a>0→a>号又自2a-6+e22c-2层2-a3a≤2 2 做南子as2,再由-8子>0→a>学熊：ae写， …16分 3 r3a-4 易知y=1+乙在ae2习上单调递减，故号e,o回) 3a-4 …17分 高2027届（数学）参考答案第8页 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap