精品解析：广东省潮州市饶平县2024-2025学年高二下学期四月阶段（二）数学试题

高中阶段性（二）高二数学考试试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站两端，不同排列方式有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 36种 D. 48种 3. 如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在区间上是增函数 C. 的最大值是 D 当时，取极小值 4. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 已知等差数列中，，，则的前项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是偶函数的导函数，.若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设为正整数，在平面直角坐标系中，若，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则的一个可能取值为（ ） A. 12 B. 8 C. 7 D. 5 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项是第5项 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线与双曲线渐近线相同 C. 的面积为4 D. 的周长为 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数只有1个零点 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 13. 函数在点处切线的方程为______． 14. 南海中学环保小组共有6名成员，该环保小组计划前往佛山市4个不同的景区开展环保活动，要求每个景区至少有1人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在处取得极值 （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值． 16. 已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于0的等比数列，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中阶段性（二）高二数学考试试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数计算公式计算即可. 【详解】，，，则（舍）或. 故选：A. 2. 甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】题目关键点为甲不站在两端，则甲站中间2个位置，先排好甲以后，剩余3个位置其余的三位同学进行全排列即可. 【详解】甲站位的排列数为，其余三位学生的全排列数为， 所有的排列方式有：. 故选：B. 3. 如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在区间上是增函数 C. 的最大值是 D. 当时，取极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果． 【详解】解：根据导函数图象可知， 在上，在上是减函数，故错误； 在上，单调递增，故B正确, C错误； 在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故D错误， 故选：B． 4. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题给条件可得在恒成立，利用参变分离以及正弦函数的值域即可求解实数的取值范围. 【详解】，则 因为函数在上单调递增， 所以在恒成立，则在恒成立. 在最大值为，所以. 故选：A. 5. 已知等差数列中，，，则的前项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由确定正确答案. 【详解】依题意， 而，所以， 所以数列的公差， 且数列的前项为负数，从第项起为正数， 所以的最小值为. 故选：C 6. 设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求的值. 【详解】设切点为，，直线的斜率. 则，得，. 故选：D. 7. 已知是偶函数的导函数，.若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，则由条件可知的单调性、奇偶性以及，即可将问题转化为求解不等式. 【详解】令，则， 则当时，，即单调递增， 因为偶函数，则，则， 即为奇函数， 则在上单调递增， 因，则， 则可转化为， 则，即， 故不等式的解集为. 故选：A 8. 设为正整数，在平面直角坐标系中，若，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则的一个可能取值为（ ） A. 12 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由于椭圆的系数是从中选两个不同的数的排列，所以分为偶数和为奇数研究，从而得解. 【详解】根据题意，为椭圆，则， 从个数中选两个不同的数作为系数， 当为偶数时，去掉重复的数有个数 则任取两个数的排列数为个， 当为奇数时，去掉重复的数有个数 则任取两个数的排列数为个， 由于现在恰好能表示出12个不同的椭圆方程， 则当为偶数时，，得， 当为奇数时，，得，所以C正确. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项是第5项 【答案】AC 【解析】 【分析】分别令分析A，B，C选项，在利用展开式中二项式系数来分析系数最大项即可得D选项. 【详解】因为， 所以令时， ， 故A正确； 令时， ， 所以， 故B不正确； 令时， ， 故C正确； 当时，二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 故D选项错误； 故选：AC. 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线与双曲线的渐近线相同 C. 的面积为4 D. 周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由双曲线的方程求，由此可求双曲线的离心率，分别求双曲线和双曲线的渐近线方程判断B；结合双曲线的定义和勾股定理求，再求的面积，判断C；由条件求，求的周长判断D. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距长为，则 ，所以，离心率，A错误； 双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程是，双曲线与双曲线的渐近线相同，B正确； 由双曲线定义可得，又， 所以， 即，所以的面积为，C正确； ， 即，所以的周长为，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数只有1个零点 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出单调性可判断AC，根据单调性判断B，转化为，交点问题，数形结合判断D. 【详解】由得：， 由得：，由得：， 所以在单调递减，在单调递增，只有极小值，无极大值， 当恒有，当恒有，且，故A不正确，C正确： B：在单调递增，又，故，故正确； D：方程，即有一根为， 令．则， 令得：或， 令得：， 所以在和单调递增，在单调递减， ， 作出，的图形如图所示： 所以存在时有3个实数解，此时有4个实数解，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数. 【详解】的展开式通项公式为， 令，得，故的系数为24. 故答案为：24. 13. 函数在点处的切线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ，， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 14. 南海中学环保小组共有6名成员，该环保小组计划前往佛山市4个不同景区开展环保活动，要求每个景区至少有1人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有__________. 【答案】1560 【解析】 【分析】将6名成员分4组，考虑每组的人数情况有1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方法，再将4组成员分配到4个不同的景区开展环保活动，根据分步乘法计数原理可得答案． 【详解】第一步：将6名成员分成4组，按照1，1，1，3的方式来分，有种分配方案；按照1，1，2，2的方式来分，有种分配方案； 第二步：将4组成员分配到4个不同的景区开展环保活动，共有种分配方案， 故符合要求的分配方案有种． 故答案为：1560． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，处取得极值 （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据求出参数，的值； （2）由（1）可得，研究其在上的符号，进而确定的单调性，再求出闭区间上的最值. 【小问1详解】 由题设，，又处取得极值 所以，可得.经检验，满足题意. 【小问2详解】 由（1）知：， 在上，递增；在上，递减； 在上的最大值为， 而，，故在上的最小值为， 综上，上最大值为，最小值为. 16. 已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于0的等比数列，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得，根据等比数列的性质及等比数列基本量的运算即得； （2）利用错位相减法即得． 【小问1详解】 因为，所以，所以； 设等比数列的公比为， 则，化简整理，得， 解得（舍去）或， ； 【小问2详解】 由题可知， 所以， ， 所以， 则. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明过程见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系： ， ，因为， 所以，即， 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， 所以有， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为： . 【点睛】 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 【答案】（1）; （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出的值即可； （2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出. 【小问1详解】 由题意得：，，， 故可知， 椭圆方程为：. 【小问2详解】 M为椭圆C的左顶点， 又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，， 联立方程可得：， 则，即， 由韦达定理可知：，， ，则， ， 又， ， ， 展开后整理得：，解得：或， 当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去， 当时，AB的方程为：，恒过定点. 所以直线过定点． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为证，设，，根据函数的单调性求出的最大值，从而证明结论. 【小问1详解】 ， 当时，，， 所以在上递增，在上递减, 当时，或，， 此时在，上递增，在上递减； 当时，，所以在上递增； 当时，或，， 此时在，上递增，在上递减； 【小问2详解】 当，，要证，只需证， 令，则， 令，则， 故上递减，即在上递减， 又，， 故存在，使得，即，即 且，， 故在上递增，在上递减， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$