精品解析：广东省潮州市饶平县2024-2025学年高二下学期四月阶段（二）数学试题

高中阶段性（二）高二数学考试试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 36种 D. 48种 3. 如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在区间上是增函数 C. 的最大值是 D. 当时，取极小值 4. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列中，，，则的前项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是偶函数的导函数，.若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设为正整数，在平面直角坐标系中，若，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则的一个可能取值为（ ） A. 12 B. 8 C. 7 D. 5 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项是第5项 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线与双曲线的渐近线相同 C. 的面积为4 D. 的周长为 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数只有1个零点 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 13. 函数在点处的切线的方程为______． 14. 南海中学环保小组共有6名成员，该环保小组计划前往佛山市4个不同的景区开展环保活动，要求每个景区至少有1人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在处取得极值 （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值． 16. 已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于0的等比数列，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 列组卷网 高中阶段性（二）高二数学考试试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的： 1已知C号-15 则n等于() A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数计算公式计算即可， nn--15 【详解】C=15,2 ,n2-n-30=0,则n=-5(舍)或n=6. 故选：A 2.甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有() A.6种 B.12种 C.36种 D.48种 【答案】B 【解析】 【分析】题目关键点为甲不站在两端，则甲站中间2个位置，先排好甲以后，剩余3个位置其余的三位同 学进行全排列即可. 【详解】甲站位的排列数为4，其余三位学生的全排列数为A】 所有的排列方式有： A2A=2×3×2×1=12 故选：B 3.如图是=() 的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是() 第1页/共20页 6学科网命组卷网 Af()在-2，-可上是增函数 B.()在区间（1,2)上是增函数 c.()的最大值是f(0) D.当=3时， f()取极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果. 【详解】解：根据导函数图象可知， 在【-2，-上f()≤0，f(:在-2，-上是减函数，故A错误 在-l2)上f'()>0,f)单调递增，故B正确，c错误： 在(2,4)时单调递减，在(4,5)时单调递增，在x=4时，)取极小值，故D错误， 故选：B 4若西数f(:-r+cosr在（-，+o）上单调递增，则实数a的取值范围是() A.[1,+) B.(（L+o∞) c[-l,+o) D.(-l,+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】根据题给条件可得∫'()≥0在(0，+切)恒成立，利用参变分离以及正弦函数的值域即可求解实 第2页/共20页 命学科网可组卷网 数a的取值范围。 【详解】f(四-=+cosx,则f()=a-sinx 因为函数f(x)=x+cosx在(-0，+o）上单调递增。 所以了'()=a-sinx之0在(-w,to)恒成立，则a≥sinx在（-0，+o）恒成立 y=sinx在（-0，+o）最大值为1l,所以a≥1 故选：A. 5.已知等差数列a,}中，4>0，凸+41<0，则fa的前n项和5.的最小值为《） A.S B.S CS D.S 【答案】C 【解析】 【分析】由4>0，a<0 确定正确答案 【详解】依题意4+a1=a,+a,<0 而8>0 所以a。<0 所以数列a,}的公差d>0, 且数{a,}的前6项为负数，从第7项起为正数， 所以心的最小值为 故选：C 6设直线少=2x+b- 1 2 是曲线y=lx(x>0)的一条切线，则实数b的值为() A.2-In2 B.1-In2 n2 C. D.In2 第3页/共20页 6学科网命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求 b 的值 ,维 【】设切点为化6）.广= 2x+b-1 k=1=1 则 %=加65+6-1将 1 xo=2 b=In2 故选：D 7已知（✉是偶函数f((xeR)的导函数，f0=1若x≥0时，f()+寸(）>0，则使得不等 式(x-2025)/(x-2025)>1成立的x的取值范国是() A.(2026,+∞) B.（-0,-2026)U(2026,+∞) c.(2025,+w) D.（-0,-2025)U(2025,+∞) 【答案】A 【解析】 【分标】构造函数3()=矿()，则由条件可知8()的单调性、奇偶性以及8(0=1，即可将问题转化 为求解不等式8(x-2025)>g() 【详解】令8()=(：，则8()=f()+对(x) 则当x≥0时，8()>0，即8(x)单调递增， 因（四为偶函数，则f(田）=f(),则8()+8()=()(-)=0 第4页/共20页 命学科网组卷网 即8()为奇函数， 则8()在R上单调递增， 因(0=1，则80=1 则(x-2025)f(x-2025)>1可转化为8(x-2025)>8(0 则x-2025>1,即x>2026, 故不等式的解集为 (2026,+∞) 故选：A 8设N为正整数，在平面直角坐标系0y中，若Cr+Cy=10≤m≤N,0≤n≤N,且mme乙) 恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为() A.12 B.8 C.7 D.5 【答案】C 【解析】 【分析】由于葡圆的系数是从C,C,C。…C中运两个不同的数的排列，所以分N为偶数和N为奇 数研究，从而得解 【详解】根据题意， CNx2+CNy2= 为椭圆，则C0≠C%, 从N+1个数C,C,CC%中选两个不同的数作为系数， N 当N为偶数时，去掉重复的数有2+个数C%,Cw,C,…C -+1 个 第5页/共20页 6学科网6组卷网 N+1 N+1 当N为奇数时，去掉重复的数有2个数C%,Cw,C%,CW, 2 4个 由于现在恰好能表示出12个不同的椭圆方程， N(N+2-12 则当N为偶数时， 4 得N=6, N2-1 =1 当N为奇数时，4 2,得N=7,所以C正确： 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设(+2x)°=4，+ax+ar++ar”,则下列说法正确的是() A.8=1 B.a+a+…+ao=310 c4+2+学++器=2 D.展开式中二项式系数最大的项是第5项 【答案】AC 【解析】 x=0,x=1,x= 【分析】分别令 2分析A,B,C选项，在利用展开式中二项式系数来分析系数最大项即 可得D选项 第6页/共20页 学科网命组卷网 【详解1因为+2xy=a+ax+a,r++aoe”, 所以令x=0时， (1+2×0)°=a。→a。=1 故A正确： 令x=1时， (1+2×1)°=a+a,+42+…+a0=30 所以4+4+…+a0=30-1 故B不正确； 1 X= 令2时， 1) 1+2× =a,+9+4 +… a40=20 2 222 210 故C正确： 当=5时， 二项式系数C0最大，即第6项的二项式系数最大 故D选项错误： 故选：AC x2y2 C =1 10已知双曲线124的左右焦点分别为F,E,点P在双曲线C上，且∠P=),侧。 4 A.双曲线C的离心率为3 y2 x2 三1 B.双曲线39一与双曲线C的渐近线相同 第7页/共20页 命学科网命组卷网 C△FP的面积为4 D.△FPF的周长为4V5+8 【答案】BCD 【解析】 【分析】由双曲线C的方程求a6C, 0,C,由此可求双曲线C的离心率，分别求双曲线C和双曲线 y x2 391。 的渐近线方程判断B:结合双曲线的定义和勾股定理求PFPF=8,再求△FPF的面积， 判断C,由条件求PE+PE,求△FPS的周长判断D x2 y2 【详解】设双曲线12一4=引的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距长为c,则 a=25.h=2,所以e=后+F=4,离心*e-=,1气-23 a2√33，A错误： 双线C的清近线方程为少= 了，双曲线了9的渐近线方足= y2 x2 3x,双曲线 y2 x2 391 双曲线C的渐近线相同，B正确： 由双线定义可得P-P5=45,又5=8∠FP9=2. 2PRPE=PF+PF-(PF-PF)=RFP-PF-PE=64-48=16. 副P时Pg=8,以aPK面为PP四=4.eE装： 第8页/共20页 6学科网6组卷网 (PF+PF)=PF+PE+2PFPE=FE+2PFPE=64+16=80 即P+PF=45,所以△FPE的周长为P+PF+FF=4W5+8,D正确 故选：BCD. 1.已知函数f()=ex,则以下结论正确的是（) A函数'=儿存在极大值和极小值 B.f(e2)<f(I)<f(Inn) C函数'/只有1个零点 D.对于任意实数k,方程()=最多有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出单调性可判断AC,根据单调性判断B,转化为h()=©·【，y=k交点问愿， 数形结合判断D, 【详解】由f(=e得：f(创=er+e3x=ex(x+3), 由(>0得：x>3,由()<0得：x<-3, 所以（☒在(0，-3）单调递藏，在(-3，+切)单调递增，只有极小值，无极大值， 当x<0恒有f)<0,当>0扣有f>0,且f0)=0,枚A不正确.c正确： B:f(y在(-3，+o)单调递增，又0<e2<1<1nπ，故f(e)f0<f血利，故正， D,方程f()=c,即cx=c有一根为x=0, 令h()=er.则=cr+e-2x=e(r+2, 第9页/共20页 命学科网丽组卷网 令(=e(x+2>0得：x>0或xK-2, 令()=ex(x+2)K0得：-2<x<0, 所以h()在(0，-2)和(0，+切)单调递增，在(2,0)单调递减。 -2)=e2(2-,h0)=c02=0 作出h(),y=k的图形如图所示 4 e y=k 4 所以存 0<k<。时心X=k有3个实数解，此时f(因)=c有4个实数解，故D正确 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12在(2x+的展开式中，X的系数为 (用数字作答) 【答案】24 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，求出”的系数 【详解】(2x+)的展开式通项公式为7,1=C(2x, 令r=2,得=C(2x=24r,故r的系数为24 故答案为：24， 13.函数f()=r+l血在点（)处的切线的方程为 第10页/共20页 学科网命组卷网 3x-y-2=0 【答案】 【解析】 【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果。 【详解】因为()r+血x,所以f0= f)=2x+天0=2+1=3. 所以切线方程为-1=3(x-）,即3x-y-2=0 3x-y-2=0 故答案为： 14.南海中学环保小组共有6名成员，该环保小组计划前往佛山市4个不同的景区开展环保活动，要求每 个景区至少有1人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有 【答案】1560 【解析】 【分析】将6名成员分4组，考虑每组的人数情况有1,1,1,3和1,1,2,2两种分组方法，再将4组 成员分配到4个不同的景区开展环保活动，根据分步乘法计数原理可得答案。 clccic=20 【详解】第一步：将6名成员分成4组，按照1,1,1,3的方式来分，有A? 种分配方案： ccCC-45 按照1,1,2,2的方式来分，有AA3 种分配方案： 第二步：将4组成员分配到4个不同的景区开展环保活动，共有 A4=24 种分配方案， (20+45)×24=1560 故符合要求的分配方案有 种. 故答案为：1560. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第11页/共20页 6学科网命组卷网 15,已知函数f()=r+am+br+2(a∈R,b∈R)在x=-1处取得极值7。 (1)求a,b的值； （2)求函数f(:在区间-2,2]上的最值， 【答案】(1)a=-3,b=-9 (2)最大值为7，最小值为-20. 【解析】 f(-1)=7 【分析】(1)对函数求导，根据f'(-1)=0求出参数a,b的值； (2)由4)可得f")=3(x+1x-3),研究其在【-2,2]上的符号，进而确定()的单调性，再求出 闭区间上的最值： 【小问1详解】 由题设，厂四=3+2m+b,又x=-1处取得极值7 ∫f(-l)=a-b+1=7 所以f'(-1)=3-2a+b=0,可得a=-3,b=-9经检验，满足题意. 【小问2详解】 由(1)知：f()=3xr2-6x-9=3x+1(x-3) 在-2，-)上f()>0,()递增：在1,2]上(<0，f(递减： 在2,2上的最大值为-)=7. 而f-2)=0,f2)=-20,故在-2,2]上的最小值为f2)=-20, 综上，【-2,2]上最大值为7，最小值为20 第12页/供20页 6学科网命组卷网 16已时于在在AeN,通黄闲-分+在aoE车为4，物是公大T的 等比数列，么=3,6-=18 （4)求数列a,}和，}的通项公式。 (2)设。=a,b.,求数列c}的前n项和T 【答案】1)an=n+1,bn=3”,n∈N 62)I-2m+1)3-3 4 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义可得。，根据等比数列的性质及等比数列基本量的运算即得； (2)利用错位相减法即得。 【小问1详解】 1 因为（因2+，所以了）=x+1,所以a,=n+1, 设等比数列{6，}的公比为99>0)， 则么-b=39-3q=18,化简整理，行4-96=0， 解得92 (舍去)或9=3 bn=3×3"-=3",neN* 【小问2详解】 由题可知。=0，bn=(n+1)3” 所以7，=2×3+3×32+4×33++nx3+(n+1)×3” 第13页/供20页 6学科网6组卷网 3Tn=2×32+3×33+4×34+…+n×3”+n+1)×3* 31-3” 所以-2Tn=3+3+32+33+34++3”-(n+1)×31=3+ 1-3 -0m+10x3 则7，-2n+)3则-3 4 1n.如图，在三棱柱4BC-4BC中，14上平面ABC,ABL4C,AB=1C=M=l,M为线 段4G上一点 ⊙4 BM⊥AB (1)求证： 2 (2)若直线AB与平面BCM所成角为4，求点A到平面BCM的距离 【答案】(1)证明：因为4上平面ABC,AB,4CC平面ABC, 所以M4上MB,44上AC,而AB LAC,因此建立如图所示的空间直角坐标系： A0,0,0),A(0,0,1),B1,0,0),C(0,1,0),B(1,0,),M(0,a,1D(a∈[0,1D BM=(-La0Ag=00,D,因为BM·AB=-1x1+ax0+1×1=0 所以BM⊥A,即BM L AB 第14页/供20页 6学科网命组卷网 1 (2)3. 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可： (2)利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设平面BCM的法向量为”=(：，y), BM=(-1,a,1),BC=(-1,1,0) 7-BM=0x+0+2=0→n=0ll-四 → 所以有nBC=0-x+y=0 因为直线AB与平面BCM所成角为4， os(AB,=sinT与 1+1-a √2 → 所以 4 AB2VP+12+0-a)2xV22, a=- n=l分，因为48=0,0，-0， 解得2，即 所以点A到平面BCM的距离为： a4器 -2 ++8 第15页/供20页 命学科网列组卷网 A M 【点睛】 B √5 18.己知椭圆C的两个焦点分别为E(-V3,0),F(W3,0),离心率为2· (1)求椭圆C的标准方程： (2)M为椭圆 的左项点，直线'与托圆C交于4B两点，若M1LMB,求证：直线48过定点 x 【答案】(1)4 +y2=1 (2)证明：M为椭圆C的左顶点， B 又由(1)可知：M-2,0),设直线4B的方程为：x=少+m,A(H）,B(x,片) [x=少+m,→2+4y2+2m+m-4=0, 联立方程可得：1x2+4y2=4 则△=(2m°-4+4(m2-4）>0,即2+4>m2, 由韦达定理可知：片+⅓=一 2mt m2-4 +4,4+4, 第16页/共20页 6学科网命组卷网 :MM1MB,则MA:MB=0 ∴.（x1+2)x2+2)+yy2=0→xx2+2(x+x2)+4+yy2=0 x=ty+m 又“ x2=y2+m' .+1)yy2+(mt+2)y+y2)+(m+2)2=0 (t2+1)(m2-4)+(mt+2t)(-2mt)+(m2+4m+4)t2+4)=0 6 m=- 展开后整理得：5m2+16m+12=0,解得： 5或m=-2, 当m=2 x=y-2 M 时，AB的方程为： ，经过点，不满足题意，舍去， 当ms、6 6 6 5时，AB的方程为： 5,恒过定点50) x=ty- ( 所以直线AB过定点. 【解析】 a,b,c 【分析】(1)根据条件求出 的值即可； (2)联立直线方程x=少+m和椭圆方程后利用两直线垂直可算出m. 【小问1详解】 由腿忘御：c=V5,e=95 a2,a2=b2+c2, =2,b=1 故可知 x2 椭圆方程为：4+少=1 【小问2详解】 第17页/供20页 6学科网列组卷网 略 19.已知函数 e=m-2a+2)hx-2.g=e-含是 （4)讨论f(冈)的单词性： 2)若a三-之，求证：f(x)<s(x 【答案】(4)当a≤0时，f()在(0,2)上递增，在(2，+o)上递减： 30a<1时.(信+上.2) 当a=1时，f()在(0，+o)上递增， 当>1.引.上.22 上递减： (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为证血x+2<e,设()=l血x-e+2,x∈(0，+o）,根据函数的单调性求出 的 最大值，从而证明结论 【小问1详解】 =a-2a+2+4-✉-2x-2x>0)】 x x2 x2 当a≤0时.'()>0台0<x<2.f"(x)<0台x>2 所以f()在(0,2)上递增，在(2，+o）上递减 第18页/共20页 6学科网列组卷网 当0<a<1时，r(x)>0分0<x<2或x>a'(x)<0→2<x<2 当a=1时(x)=x二2三0，所以x)在（0，+上递增 x2 当a>1时， f国>0e0<x后成r2,f创k0名x<2 网8. 2,+o)上递增，在(a上递减： 【小问2详解】 当≈、3 之f8)3+nE2,t四sg巴nx2<c 令（到=n-e+2,则=是e 故()在(0，+o)上递减，即()在(0，+o）上递减。 又0<0.2->0 =e 故存在x∈(0,1)，使得(x)=0,即x ,即x=-lnx 且h(x)>0台0<<，h(x)<0台x> 故h(~)在(0,6)上递增，在(，t)上递减， 第19页/共20页 6学科网命组卷网 又无e0,,所以+元2，所以4()<0， ->2 所以hx)≤h(x)<0,所以lnx+2<e, 所以a=一2时，f(x)<&x) 第20页/共20页