28.2.1　解直角三角形　专题03解直角三角形的应用　训练　2024-2025学年人教版九年级数学下册

解直角三角形的应用（热点问题） ★1、一般步骤 第1步:审,即通过分析图形，厘清已知元素和未知元素; 第2步:找,找出有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题； 第3步:解,根据直角三角形中各元素(边、角)间的关系,解这个直角三角形; 第4步:得，得出实际问题的答案. 题型一 校园、学具相关问题 解题技巧提炼 先将实物图转化成直角三角形模型，没有直角三角形需要做辅助线构造直角三角形求解. 1．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（参考数据：，，，）如图2，，．求投影探头的端点D到桌面的距离． 2．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 3．长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知．按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得．求这时这个长尾夹可夹纸厚度为 （参考数据：） 4．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号) (2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 5．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离． (1)如图，当，时，求视线距离的长； (2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，） 6．数学社团的活动课上，小华想测量学校太阳能路灯的高度．如图，路灯与教学楼相距，他从教学楼内的点 E 处观测路灯，测得为，为，则路灯的高为多少（结果精确到）． 参考数据： ． 题型二 生活实物测量问题 解题技巧提炼： 此类题型难点是实物图转化成几何图较为陌生且复杂，注意审题，找到边角关系，难题可考虑知识的综合性，平行线、相似三角形等. 7．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，） 8．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 9．一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽为，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变，如图2，当门闭合时，，则的长为 ． 10．如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部垂直于墙面，且当导风板所在的直线与竖直直线的夹角α为时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，于点D，于点F．若，，床铺，求空调机的底部位置距离床的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 11．图（1）是一种安全平推窗在开启时的状态，图（2）是其中一个连接件的平面图． 测得，， 求B， D 两点间的距离．（结果精确到， 参考数据：）    12．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿摆成如图所示．已知，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角．此时鱼线被拉直，鱼线．点O恰好位于海面，鱼线与海面的夹角．求海面与地面之间的距离的长．（结果保留一位小数，参考数据：，） 13．随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 14．图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 15．如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品，拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点G都放置在水平地面时，D恰好与的最高点重合．此时，D的高度为，如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点G与的垂直高度差为 ． 16．图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度，即与之间的距离； (2)若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 17．第24届冬季奥林匹克运动会已过去一年，但我国运动员取得的9块金牌、4块银牌、2块铜牌的优异成绩却激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端E到的距离为40米，，，，． (1)求图中的高度是多少？（结果保留整数） (2)求此大跳台最高点A距地面的距离是多少米？（结果保留整数） （参考数据：，，，，，，，，） 18．由两个梯子搭成的“人字梯”如图①所示，它的3个踩档把梯子等分成4份．某次家务劳动中，小明想在人字梯的第二踩档处绑上一根绳子确保用梯安全，将其抽象成图②，其中，，在D，E处打结各需要0.2m的绳子，请你帮小明计算他需要的绑绳的长度、此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为多少米？（结果精确到0.01m．参考数据：，，） 19．如图是某型号的挂壁式电风扇，图2为简化结构图，已知底座的厚度长为3cm．支撑臂折线和保持平行， 与基座 成 夹角．支撑臂的拐点 E 与的水平距离为cm，边 与地面平行是长6cm，扇面 与地面成 夹角，长为 cm，与地面垂直． (1)求支撑臂的一段 的长； (2)图2经过一番改造优化后，在题干条件不变的前提下，将扇面 平移，使 求点 K到墙壁的水平距离（参考数据： 结果保留整数） 20．年春节来临之际，修文县在县城马路两旁人行道路灯杆上悬挂灯笼喜迎新春．图①是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以角方向完全伸出“手臂”后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图②所示，已知，量得，．（参考数据，，） (1)求“手臂”完全伸出时的长度；（结果保留根号） (2)求路灯挂灯笼位置到地面的距离．（结果保留一位小数） 21．如图①是一种智能洗地机的示意图，其结构可以抽象成图②的实线部分，线段表示滚刷盒，线段表示手柄，，．工作时，滚刷盒贴地清洗吸尘，手柄可绕点上下转动，但根据使用说明要求，当时，才能正常工作． (1)当时，求手柄顶端离地面的高度．（保留准确值） (2)当时，求手柄顶端离地面的高度（精确到）．小甬妈平日使用时，手柄顶端离地面高，问是否符合正常使用要求？ (3)一长方形餐桌高为，宽为，餐桌下地面需清洗，洗地机垂直于桌面长边进入桌面下地面，如图③．按使用说明要求，洗地机能否完全清扫桌面正下方的区域（），即滚刷盒的点能否到达点处？请通过计算说明（精确到）． （参考数据：，，） 22．木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 题型三 古典、景区问题 解题技巧提炼： 古典题相比于其他题型，解法上要简单易上手，出题目的旨在让学生了解数学与古典（传统）文化之间的紧密联系，解题过程中注意计算的正确性与合理性. 23．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 24．如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）    25．图1是某红色文化主题公园内的雕塑（胜利的号角），将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，．连接，交于点，若，求 （即雕塑的高度）的长．（结果精确到，参考数据，，） 26．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 27．【项目式学习】 探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系 背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系． 实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系． 资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB6-）（年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2）． 如图1，建筑高度． 2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度/半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造． 模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，为等腰三角形， ，假定米，米．                 图3 模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为． 补充模型 从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线． 如图5所示，折线为宋代常见的一种屋顶建筑．是中边上的四等分点，过作交于，将降低米得到，连接；重复上述步骤，过作交于，将降低米得到，连接；过作交于，将降低米得到，连接； “举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．               图5 问题解决 任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度； 任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，）； 任务3 补充模型 （3）若，求出屋脊与檐口竖直高度． 题型四 帐篷问题 解题技巧提炼： 帐篷问题往往会与轴对称、矩形、平行线的性质等相互联系，在推理条件结论时，可利用以上知识点作为辅助条件推理. 28．“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离． (1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度； (2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 29．学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 30．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为、且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．） 31．图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角． (1)求拉杆的长； (2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：） 32．每年的春季是苏州旅游的最佳时间．为吸引游客，苏州东太湖湿地公园组织“踏春”活动，吸引市民打卡游玩．许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制遮阳伞的开合，，．（参考数据：，，， (1)白天时打开遮阳伞，若，求遮阳伞宽度（结果精确到）； (2)傍晚时收拢遮阳伞，从减少到，求点下降的高度（结果精确到）． 33．随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 题型五 安全教育类问题 解题技巧提炼： 安全教育类多以校园安全、交通规则、消防等时事热点作为题目材料，尤其是消防类需要重视.比如云梯联系到几何图，常常三角形与矩形综合考查，需要连接辅助线、勾股定理等知识. 34．图1是某路口临时设置的一个太阳能移动交通信号灯，图2是信号灯的几何图形，信号灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形．灯杆高，太阳能板，且D，E是靠近N，Q的三等分点，支架．经过调研发现，当太阳能板与支架所成的，且支架与灯杆所成的时，太阳能板接收的光能最充足，信号灯的续航时间最长，求此时点M到底座上底面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 35．作为永远冲锋在前、向险而行的“最美逆行者”，可敬可爱的消防员奋战在民众最需要的地方，以勇敢、强大、迎难而上的决心和行动，在应对灾害事故中保障人民群众生命财产安全起到了重要作用．如图所示是消防员攀爬消防云梯的场景，已知消防云梯车顶部与地面平行，云梯底端距离地面，云梯，在点测得目标处点的仰角为，求目标处点到地面的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 36．“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 【问题情景】 如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去，此时．已知行人的速度是，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带． 【问题解决】 (1) ； (2)若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离．（参考数据：） 37．某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩（），且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度．（参考数据：，，，） 题型六 跨学科问题 解题技巧提炼： 跨学科一般会与物理相通，考查学生知识的综合运用能力，涉及到的跨学科类知识也是较为简单的常识性结论，重在计算的正确性. 38．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）． (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 39．在小组实践活动中，需要测量某建筑内从A点到D点距离，由于之间有障碍物，小明准备利用所学的平面镜成像知识来解决问题．于是他在建筑物直角拐角处放置一个平面镜(如图所示)，经测量，他发现与墙面所成的角即墙面，当小明站在点C处，与点A距离，且点C在上，连线与平行时，他通过平面镜可观察到点D．你能帮小明算一下点D距离点A多远吗？（结果精确到，参考数据：） 解直角三角形的应用（热点问题） ★1、一般步骤 第1步:审,即通过分析图形，厘清已知元素和未知元素; 第2步:找,找出有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题； 第3步:解,根据直角三角形中各元素(边、角)间的关系,解这个直角三角形; 第4步:得，得出实际问题的答案. 题型一 校园、学具相关问题 解题技巧提炼 先将实物图转化成直角三角形模型，没有直角三角形需要做辅助线构造直角三角形求解. 1．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（参考数据：，，，）如图2，，．求投影探头的端点D到桌面的距离． 【答案】投影探头的端点D到桌面的距离为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．延长交于，先证明得到，解求出，进而计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于， ∵，， ∴， ， ∵在中，，， ， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离为． 2．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 3．长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知．按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得．求这时这个长尾夹可夹纸厚度为 （参考数据：） 【答案】 【分析】如图1，在，求得．如答图2，在中，利用余弦函数求得，据此即可求解．本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 【详解】解：图1，作于点． ∵， ∴，． 在，， ∵，， ∴． 由题意可知：，． 如答图2，作于点，于点． 在中，． ∵， ∴． 同理可证：， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 答案：这时这个长尾夹可夹纸厚度为． 故答案为： 4．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号) (2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)支点离桌面的高度为； (2)当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度； （2）过点作，过点作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ． 由题意得：， 四边形为矩形， ，． ， ． ， ． ． 答：支点离桌面的高度为； （2）解：过点作，过点作于点， ． ，， ． 当时，； 当时，； 当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 5．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离． (1)如图，当，时，求视线距离的长； (2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，） 【答案】(1)视线距离的长为； (2)需要将支架调整到． 【分析】（）连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，再由勾股定理即可求解； （）连接，延长交于点，由题意可得：，，，，再由余弦即可求解； 本题考查了平行线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， 根据题意可得四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴视线距离的长为； （2）解：如图，连接，延长交于点， 由题意可得：，，，， 在中，，即， ∴， ∴， ∴需要将支架调整到． 6．数学社团的活动课上，小华想测量学校太阳能路灯的高度．如图，路灯与教学楼相距，他从教学楼内的点 E 处观测路灯，测得为，为，则路灯的高为多少（结果精确到）． 参考数据： ． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点A作于点F，则，证明四边形是矩形，则，得到，，利用即可得到答案． 【详解】解：过点A作于点F，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 即路灯的高为． 题型二 生活实物测量问题 解题技巧提炼： 此类题型难点是实物图转化成几何图较为陌生且复杂，注意审题，找到边角关系，难题可考虑知识的综合性，平行线、相似三角形等. 7．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．过点作于点，过点作垂直的延长线于点，设，则，，由知，解之求得的长，再由根据点E到地面的距离为可得答案． 【详解】解：过点作于点，过点作垂直的延长线于点． 设，则，． 由知， 解得． ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 8．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【答案】(1)椅子的展角的度数约为 (2)点到地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：椅子的展角的度数约为． （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 9．一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽为，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变，如图2，当门闭合时，，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形是解题的关键． 根据题意，过点作于点，可求得，则，因此，得出结论垂直平分，因此． 【详解】解：过点作于点，如图： 则， 在中， ， ， ，即垂直平分， ， 故答案为：18． 10．如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部垂直于墙面，且当导风板所在的直线与竖直直线的夹角α为时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，于点D，于点F．若，，床铺，求空调机的底部位置距离床的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据已知得出是解题的关键．由题意根据已知得出的长度以及利用锐角三角函数求出的长度即可． 【详解】解：由题知 ，  四边形 是矩形，，， ∴． 在 中 ， ∴ ∴ ． 答：空调机的底部位置距离床的高度约为． 11．图（1）是一种安全平推窗在开启时的状态，图（2）是其中一个连接件的平面图． 测得，， 求B， D 两点间的距离．（结果精确到， 参考数据：）    【答案】19.3厘米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，连接，过点O作，垂足为点H，利用三线合一和锐角三角函数，求出的长即可 【详解】解：连接，过点O作，垂足为点H，则：．    ∵， ， 在中， ， ∴． 答：B，D两点间的距离为． 12．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿摆成如图所示．已知，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角．此时鱼线被拉直，鱼线．点O恰好位于海面，鱼线与海面的夹角．求海面与地面之间的距离的长．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】0.9m 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作，并延长交于点E，根据矩形的性质得，在中，根据求出，在中，根据，求出，最后根据求出答案． 【详解】过点B作，交于点C，延长交于点E， ∴四边形是矩形， ∴． 根据题意可知， 在中，， ∴， 即， 解得． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴（m）． 所以海面与地面之间得距离的长0．9m． 13．随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】篮框F到水平地面的距离约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点M，先求出，再解得到，根据线段的和差关系得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点M． 由题意可知， ， ． 在，，， ． ，， ， ， ∴篮框F到水平地面的距离约为． 14．图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2)折叠资料架的高约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据线段中点的定义可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形可得四边形为菱形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后根据题意可得：，再在中，利用锐角三角函数的定义求的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图： ∵点Q是的中点， ∴， 由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴折叠资料架的高约为． 15．如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品，拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点G都放置在水平地面时，D恰好与的最高点重合．此时，D的高度为，如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点G与的垂直高度差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 根据题意连接，延长交于，作于，则，，设，则，证明，，即可得到，即可求解的长度；过点作于，则，可得，，求得的长度，证明，进而求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交于，作于， ，，的半径均为， ， 的高度为， ， 设，则， ， ， 为三角形的中心，， ，， ， ， ， 即， 如图2所示，过点作于，则， ， 如图所示，如图所示，过点作，过点作，连接， 由图得，， ， ，， ， ， ， 点与的垂直高度差为， 故答案为：． 16．图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度，即与之间的距离； (2)若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 【答案】(1) (2)72.8cm 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键书作辅助线． （1）连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，由两圆弧翼成轴对称可得，在中，，，进行解答即可． （2）过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，在中， ，，即可求出距离． 【详解】（1）如图, 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N， 由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，， ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中，，，， ， ∴， ∴， ∴与之间的距离约为． （2）如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H， ∴可得， 在中，，，， ， ∴， ∵点B，E到地面的距离均为20cm， ∴， ∴． 答: 点A到地面的距离约为 72.8cm． 17．第24届冬季奥林匹克运动会已过去一年，但我国运动员取得的9块金牌、4块银牌、2块铜牌的优异成绩却激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端E到的距离为40米，，，，． (1)求图中的高度是多少？（结果保留整数） (2)求此大跳台最高点A距地面的距离是多少米？（结果保留整数） （参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)32米 (2)此大跳台最高点A距地面的距离约是70米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识，正确作出辅助线，并得出是解题的关键 （1）解可得结论； （2）过点E作于点N，交于点M，则，通过解直角三角形可得结论 【详解】（1）解：在中，，， ∴（米） （2）解：过点E作于点N，交于点M，则，如图， 根据题意可知，，米， ∵， ∴， 在和中，设米，则米， ∴，； ∴， 解得，， ∴（米）， ∴米， 即：此大跳台最高点A距地面的距离约是70米 18．由两个梯子搭成的“人字梯”如图①所示，它的3个踩档把梯子等分成4份．某次家务劳动中，小明想在人字梯的第二踩档处绑上一根绳子确保用梯安全，将其抽象成图②，其中，，在D，E处打结各需要0.2m的绳子，请你帮小明计算他需要的绑绳的长度、此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为多少米？（结果精确到0.01m．参考数据：，，） 【答案】他需要的绑绳的长度约为1.08m，此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为1.88米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，三角形的中位线定理，过点A作，垂足为F，等边对等角求出，锐角三角函数求出，的长，三角形中位线定理求出的长，进而求出需要绑绳的长度即可． 【详解】解：过点A作，垂足为F． ，， ． 在中，． ， ，， ． 由题意，得DE是的中位线， ， ． 在D，E处打结各需要0.2m的绳子， 他需要的绑绳的长度． 他需要的绑绳的长度约为1.08m，此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为1.88米． 19．如图是某型号的挂壁式电风扇，图2为简化结构图，已知底座的厚度长为3cm．支撑臂折线和保持平行， 与基座 成 夹角．支撑臂的拐点 E 与的水平距离为cm，边 与地面平行是长6cm，扇面 与地面成 夹角，长为 cm，与地面垂直． (1)求支撑臂的一段 的长； (2)图2经过一番改造优化后，在题干条件不变的前提下，将扇面 平移，使 求点 K到墙壁的水平距离（参考数据： 结果保留整数） 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）作，根据即可求解； （2）作，在中求出即可求解； 【详解】（1）解：作，如图所示： 由题意得：，cm， ∵ ∴cm （2）解：作，如图所示： 由题意得：，四边形是矩形 ∵，cm ∴cm ∴cm ∵cm ∴点应在点的右侧 ∴cm，cm ∴点 K到墙壁的水平距离为：cm 20．年春节来临之际，修文县在县城马路两旁人行道路灯杆上悬挂灯笼喜迎新春．图①是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以角方向完全伸出“手臂”后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图②所示，已知，量得，．（参考数据，，） (1)求“手臂”完全伸出时的长度；（结果保留根号） (2)求路灯挂灯笼位置到地面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， ， “手臂”完全伸出时的长度为； （2）解：由题意得：，， 在中，， ， ， 路灯挂灯笼位置到地面的距离约为． 21．如图①是一种智能洗地机的示意图，其结构可以抽象成图②的实线部分，线段表示滚刷盒，线段表示手柄，，．工作时，滚刷盒贴地清洗吸尘，手柄可绕点上下转动，但根据使用说明要求，当时，才能正常工作． (1)当时，求手柄顶端离地面的高度．（保留准确值） (2)当时，求手柄顶端离地面的高度（精确到）．小甬妈平日使用时，手柄顶端离地面高，问是否符合正常使用要求？ (3)一长方形餐桌高为，宽为，餐桌下地面需清洗，洗地机垂直于桌面长边进入桌面下地面，如图③．按使用说明要求，洗地机能否完全清扫桌面正下方的区域（），即滚刷盒的点能否到达点处？请通过计算说明（精确到）． （参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)符合正常使用要求； (3)洗地机不能完全清扫桌面正下方的区域（） 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用， （1）根据题意可知，则； （2）根据题意可知，则，结合，即可判定符合正常使用要求． （3）根据题意可知，，则，求得，即可判定洗地机不能完全清扫桌面正下方的区域． 【详解】（1）解：当时，， 则． （2）解：如图， 当时，， 则． ， 符合正常使用要求． （3）解：如图， 当时，，， 此时，， 则， 所以洗地机不能完全清扫桌面正下方的区域（）． 22．木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过作于，由圆弧的中点可得，由平行可得，由中点可得，即可得到，再在中求出的长度，最后根据计算即可； （2）求出到木马向前的最大安全角时刚好碰到时到距离，再求出的长，两者之和即为木马静止时到墙角的距离长度最小值． 【详解】（1）过作于， ∵为半径的圆弧的中点接触地面， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过作于， 由（1）可得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴的长为， ∴马静止时到墙角的距离长度最小值为． 题型三 古典、景区问题 解题技巧提炼： 古典题相比于其他题型，解法上要简单易上手，出题目的旨在让学生了解数学与古典（传统）文化之间的紧密联系，解题过程中注意计算的正确性与合理性. 23．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 24．如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）    【答案】农夫所在的E处到地面的高度为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于，先利用三角形内角和等边对等角求出，，解直角三角形，求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H，    ∵米，，米，米， ∴，米，米， ∴， 在中，米； 答：农夫所在的E处到地面的高度为米． 25．图1是某红色文化主题公园内的雕塑（胜利的号角），将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，．连接，交于点，若，求 （即雕塑的高度）的长．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】（即雕塑的高度）的长为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得，，在中，解直角三角形，分别求出，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：，， ， ， ，， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， ， 答：（即雕塑的高度）的长为． 26．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)索道的长约为． (2)水平距离的长约为 【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． （1）根据的余玄直接求解即可得到答案； （2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出到的距离即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，，，， ． 答：索道的长约为． （2）延长交于点， ，， ． ∴四边形为矩形． ． ，， ． ． 答：水平距离的长约为 27．【项目式学习】 探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系 背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系． 实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系． 资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB6-）（年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2）． 如图1，建筑高度． 2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度/半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造． 模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，为等腰三角形， ，假定米，米．                 图3 模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为． 补充模型 从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线． 如图5所示，折线为宋代常见的一种屋顶建筑．是中边上的四等分点，过作交于，将降低米得到，连接；重复上述步骤，过作交于，将降低米得到，连接；过作交于，将降低米得到，连接； “举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．               图5 问题解决 任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度； 任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，）； 任务3 补充模型 （3）若，求出屋脊与檐口竖直高度． 【答案】（1）建筑高度为11；（2）（米）；（3）竖直高度是6米 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于H,则,然后利用勾股定理求出,解题即可； （2）在上找到一点M，使得，得到△是等边三角形，即可得到，过A作上的高，可知，利用勾股定理得到，代入数值计算即可； （3）根据题意得到，进而得到，求出，同理可以得到和的值即可求出的长． 【详解】（1）过A作于H, 由知，, 在中，, ∴， 由勾股定理得，， ∴, 根据资料信息可得：建筑高度（米） 答：建筑高度为11米； （2）的值为4米；H的高度为17米 在上找到一点M，使得 所以 ∵， ∴△是等边三角形， 所以可得 在△中，， 过A作上的高，可知， 则 在中，， ∴ 由资料可得，檐口B与屋脊A的竖直高度/檐口B与屋脊A的水平宽度， 所以，即 所以建筑高度（米） （3）由题知 则 又因为是公共角 那么， 所以， 同理可得， ∴，， 因为是线段的四等分点，所以 可得， 则， 同理可得， 则， 同理可得， 则， 解得：， 答：竖直高度是6米． 题型四 帐篷问题 解题技巧提炼： 帐篷问题往往会与轴对称、矩形、平行线的性质等相互联系，在推理条件结论时，可利用以上知识点作为辅助条件推理. 28．“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离． (1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度； (2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)遮阳宽度为； (2)点E下降的高度为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答； （2）过点E作于点F，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时的长即可解答． 【详解】（1）解：由对称性可知，， 在中，， ， ， ， 答：遮阳宽度为； （2）解：如图，过点E作于点F， ， ，， ， ， ， 在中， ， 当时， ， 当时， ， ∴点E下降的高度为， 答：点E下降的高度为． 29．学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 【答案】点距离地面的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点作于点，交于点，设的长度为米，在中，利用三角函数求得，在中，利用三角函数求得，再根据列方程，求出a值，即可得到答案． 【详解】过点作于点，交于点， 则四边形为矩形，，米， 设的长度为米， 由题意得，在中，，，， ， 在中，，，， ， 米，米， 米， 米， 即， 解得， 米． 答：点距离地面的高度约为5.8米． 30．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为、且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质，作于，于，在中，解直角三角形得出米，米，证明四边形为矩形，得出米，米，在中，解直角三角形得出米，即可得解． 【详解】解：如图：作于，于， 由题意得，米，米，，， ∴在中，，米，则米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴在中，， ∴米， ∴米． 31．图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角． (1)求拉杆的长； (2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：） 【答案】(1) (2)符合要求，过程见详解 【分析】（1）先在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的长，再根据已知可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行比较即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质与判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 该支架的边的长为； （2）解：符合要求，过程如下： 过点作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形 则，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 安装雨棚的高度是合格的． 32．每年的春季是苏州旅游的最佳时间．为吸引游客，苏州东太湖湿地公园组织“踏春”活动，吸引市民打卡游玩．许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制遮阳伞的开合，，．（参考数据：，，， (1)白天时打开遮阳伞，若，求遮阳伞宽度（结果精确到）； (2)傍晚时收拢遮阳伞，从减少到，求点下降的高度（结果精确到）． 【答案】(1)遮阳伞宽度是 (2)点下降高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义列式求解． （1）先根据锐角三角函数的定义可求出的长度，然后根据对称性可求出的长度． （2）当时，此时设，根据锐角三角函数的定义可求出，分别代入的值即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，， ，则， ， ， 答：遮阳伞宽度是； （2）解：当时，此时设，过点作于点，如图所示： 四边形是矩形， ，， 在中，，则， ， ， 从减少到，点下降的高度为 ， 点下降高度为． 33．随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，求得，结合，解答即可． （2）证明，利用三角函数解答即可． 本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵撑杆． ∴， 故点到地面的距离为． （2）解：根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：在水平地面上投影的长度约是． 题型五 安全教育类问题 解题技巧提炼： 安全教育类多以校园安全、交通规则、消防等时事热点作为题目材料，尤其是消防类需要重视.比如云梯联系到几何图，常常三角形与矩形综合考查，需要连接辅助线、勾股定理等知识. 34．图1是某路口临时设置的一个太阳能移动交通信号灯，图2是信号灯的几何图形，信号灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形．灯杆高，太阳能板，且D，E是靠近N，Q的三等分点，支架．经过调研发现，当太阳能板与支架所成的，且支架与灯杆所成的时，太阳能板接收的光能最充足，信号灯的续航时间最长，求此时点M到底座上底面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】点M到底座上底面的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，先证明四边形是矩形，再由角的运算得出，故，因为，且D是靠近N的三等分点，则在，，算出，因为，故，即可作答． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，交延长线于点F，过点M作的垂线，交于点G，连接交延长线于点H， ，． ∵该信号灯是轴对称图形 ∴ ∴四边形是矩形， ． ， ． 在中，，， 又， ． ，且D是靠近N的三等分点， ． ， ． 在中，， ， ， 答：点M到底座上底面的距离为 35．作为永远冲锋在前、向险而行的“最美逆行者”，可敬可爱的消防员奋战在民众最需要的地方，以勇敢、强大、迎难而上的决心和行动，在应对灾害事故中保障人民群众生命财产安全起到了重要作用．如图所示是消防员攀爬消防云梯的场景，已知消防云梯车顶部与地面平行，云梯底端距离地面，云梯，在点测得目标处点的仰角为，求目标处点到地面的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．延长交于点F，证明四边形是矩形，得出，解直角三角形得出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， 答：目标处点A到地面的高度为． 36．“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 【问题情景】 如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去，此时．已知行人的速度是，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带． 【问题解决】 (1) ； (2)若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离．（参考数据：） 【答案】(1)8 (2)31米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意、数形结合解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意计算AC长度即可； （2）根据，求出的长度，即可得出行驶距离． 【详解】（1）解：根据题意得：（米）， 故答案为：8； （2）由题意可知，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离为31米． 37．某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩（），且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得:，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而利用线段的和差进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， 云梯消防车最高点距离地面的高度为． 题型六 跨学科问题 解题技巧提炼： 跨学科一般会与物理相通，考查学生知识的综合运用能力，涉及到的跨学科类知识也是较为简单的常识性结论，重在计算的正确性. 38．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）． (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 【答案】(1)两栋住宅楼的楼间距至少为米 (2)见解析 【分析】（1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即，楼高米，窗台米，作于，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）设每增加一层楼，单价增加万元，分别表示出在、两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 窗台米， 作于，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于，于， ， 则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 设每增加一层楼，单价增加万元， 在栋购买所花的费用为， 在栋购买所花的费用为， 当，解得时，此时在栋购买和栋购买所花的费用相同； 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少， 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少； 综上所述，当每增加一层楼，单价增加万元时，在栋购买和栋购买所花的费用相同；当每增加一层楼，单价增加小于万时，在栋购买所花的费用少；当每增加一层楼，单价增加大于万时，在栋购买所花的费用少． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 39．在小组实践活动中，需要测量某建筑内从A点到D点距离，由于之间有障碍物，小明准备利用所学的平面镜成像知识来解决问题．于是他在建筑物直角拐角处放置一个平面镜(如图所示)，经测量，他发现与墙面所成的角即墙面，当小明站在点C处，与点A距离，且点C在上，连线与平行时，他通过平面镜可观察到点D．你能帮小明算一下点D距离点A多远吗？（结果精确到，参考数据：） 【答案】能， 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，延长线段，取延长线上一点为E，求得， 由反射角等于入射角，得到，再得到，在中，，求得， 即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：他通过平面镜能观察到点D， 延长线段，取延长线上一点为E，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 由反射角等于入射角，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点 D距离点A 约为． 学科网（北京）股份有限公司 $$