专题二：运动学图像问题、多过程问题和追击相遇问题 导学案-2024-2025学年高一上学期物理人教版（2019）必修第一册

第二章 匀变速直线运动的研究 专题二：运动学图像问题 多过程问题和追击相遇问题（解析版） 学习目标 1. 知道常见运动图像的物理意义 2. 通过基础运动学图像的基本知识推理特殊图像的物理意义 3. 熟练运动公式和图像解决追击相遇的问题 课堂学习 一 运动学图像 【导入】 我们之前已经学过了x-t图像和v-t图像，请你们说一下我们能从图像中获取出哪些信息呢？ 【知识梳理】 （一）x-t图像和v-t图像 位移—时间图像 (x­t图像) 速度—时间图像 (v­t图像) 图像 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动 斜率 图线上某点切线的斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向 图线上某点切线的斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示相应时间内位移的大小(面积在时间轴的上、下表示位移方向的正、负)；总位移等于各段位移的矢量和；总路程等于各段路程的代数和，即时间轴上、下各面积的代数和 截距 与x轴的截距表示物体的初位置 与v轴的截距表示运动的初速度 特殊点 拐点表示速度发生变化，交点表示相遇 拐点表示加速度发生变化，交点表示速度相等 (1)x－t图像与v－t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。 (2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。 (3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。 思考与讨论：一物体运动的v-t图像如图所示，请将v-t图像转化为x-t图像 （二）四类非常规图像问题 1.四类图像 (1)a­t图像：由v＝v0＋at可知图像与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。 思考与讨论：一静止的物体运动的a-t图像如图所示，回答以下几个问题 ①t=2s时，物体的速度大小？ ②什么时候物体的速度再次变回0 ③画出这个物体运动的v-t图像草图 (2)­t图像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵截距为v0，如图乙所示。 思考与讨论： ①图像中有什么特殊含义呢？ ②你能推出图像的斜率和截距的物理意义吗？ (3)v2­x图像：由v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，图像斜率为2a，纵截距为v，如图丙所示。 (4)a­x图像：由v2－v＝2ax可知ax＝，图像与x轴所围面积表示速度平方的变化量Δv2的一半，如图丁所示。 　 2．解题技巧 (1)用函数思想分析图象： 图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义。 (2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度。 【例题分析】 （多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）如图所示，图线OP是某质点做直线运动的位移—时间图像，OP为开口向下抛物线的一部分，P为图像上一点。已知PQ为过P点的切线，与纵轴交于的Q点。下列说法正确的是（　　）例1 A．质点的初速度大小为10m/s B．4s末的速度大小为1m/s C．质点的加速度大小为 D．0~4s内，质点做匀加速直线运动 （24-25高一上·福建厦门·期末）2024世界机器人大赛于8月22-25日在北京举行，如图所示为一参赛机器人表演过程中在水平面内做直线运动时速度v随时间t变化的图像，则该机器人（　　）例2 A．内做匀减速运动 B．内做匀加速运动 C．时速度方向改变 D．内平均速度为 （多选）（24-25高一上·江西萍乡·期末）如图甲，起重机正在将重物竖直向上吊起，重物从静止开始运动后0～6s内的加速度随时间变化规律如图乙所示，则关于重物在0～6s内的运动，下列说法正确的是（    ）例3 A．0~4s内，重物上升的高度为4m B．4～6s内，重物在做减速运动 C．t=6s时，重物的速度大小为5m/s D．0~6s内，重物上升的高度大于17m （多选）为检测某新能源动力车的刹车性能，现在平直公路上做刹车实验，如图所示是动力车在刹车过程中位移和时间的比值与t之间的关系图像，下列说法正确的是（　　）例4 A．动力车的初速度为10m/s B．刹车过程动力车的加速度大小为5m/s2 C．刹车过程持续的时间为8s D．从开始刹车时计时，经过8s，动力车的位移为40m （多选）（24-25高一上·河南郑州·期末）如图甲，一物块从倾角为的斜面底端冲上斜面，到达最高点后折返。已知物块速度的平方随位移的变化图像如图乙所示，取重力加速度大小。则（　　）例5 A．物块上滑阶段和下滑阶段的加速度大小之比为 B．物块上滑阶段和下滑阶段的加速度大小之比为 C．物块上滑阶段最大位移的大小为 D．物块上滑阶段最大位移的大小为 一校车经过一路段过程中司机控制校车的加速度a随位移x变化的图像如图所示，校车制动距离为10m（即速度减为0），则校车制动的初速度大小为（　　）例6 A．10m/s B．10m/s C．7m/s D．7m/s 二 追击相遇问题 【导入】 如图所示，甲物体在乙物体的后面追击，甲乙之间的初始距离为x0，如果甲物体要追上乙，则在追上的时候甲的速度要满足什么条件，刚好追上的时候，甲乙的位移会满足什么关系呢？ 【知识梳理】 （一）追击相遇基本规律 1.追及问题 若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。 2.相遇问题 (1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。即x1-x2=∆x (2)相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。即x1+x2=∆x 3．追及相遇问题的解题思路及技巧 (1)解题思路 (2)解题技巧 ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 ③若被追的物体做匀减速直线运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解进行讨论分析。 ④紧紧抓住速度相等这个临界点。两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 （二）“慢追快”追击相遇问题 1.特点：运动开始时v甲<v乙。故运动刚开始时甲乙之间的间距在增大。 2.当v甲=v乙时，甲乙之间的间距达到最大。 3.当x甲-x乙=x0时，两者相遇。 （三）“快追慢”追击相遇问题 1.特点：运动开始时v甲>v乙。故运动刚故开始时甲乙之间的间距在缩小。 2.当v甲=v乙时，此为临界条件，需要进行分类讨论 ①若x甲-x乙>x0:则甲、乙在共速前就已经相遇。 ②若x甲-x乙=x0:则甲、乙在共速时刚好相遇。 ③若x甲-x乙<x0:则甲、乙不会相遇。 （四）追击相遇问题的处理方法 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图，对临界状态分析求解 函数法 设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇。 ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值 图像法 在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系 思考与讨论：甲在乙后面追击乙，它们之间的初始距离为x0，甲乙的v-t图像如下图所示，请问阴影部分的面积代表什么？如何判断甲乙能否相遇 【例题分析】 （24-25高一上·河北·期末）东东早上上学坐公交车，距离公交站点还有时公交车以的速度恰好从东东旁边经过，东东见状立即以的速度匀速追赶公交车，与此同时，公交车立即做匀减速直线运动，恰好在站点减速为0，假设公交车在站点停留。例7 (1)求公交车减速的加速度大小； (2)通过计算判断东东是否在站点登上公交车。 （四川省雅安市2024-2025学年高三下学期第二次诊断性考试（4月二模）物理试卷）根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第六十条的规定：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后放置三角警告牌（如图所示），以提醒后面司机及时减速。雨夜，在一条平直的公路上，汽车因为故障停车，在它正后方有一货车以20m/s的速度向前驶来，由于视线不好，货车司机只能看清前方40m的物体，他的反应时间为0.6s，该货车制动后最大加速度为。求例8 (1)从货车司机看清三角警示牌到货车最终停止所用的最短时间； (2)为避免两车相撞，故障车司机应将三角警示牌放置在故障车后的最小距离。 （24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）某大桥是一座公路、铁路两用大桥，主桥长 。某次由于交通管制，将汽车拦停在了一边的桥头处，汽车排成笔直的一列。设汽车车长均为 ，前车尾部与后车头部之间的距离均为。一辆长 的列车从桥对面驶来，抵达大桥另一个桥头，以 的速度匀速通过大桥，当列车车头恰与第一辆汽车的头部平齐时（如图所示），汽车交通管制解除，所有汽车均开始以 的加速度启动过桥。已知大桥上汽车的最大限速为72km/h，不计汽车启动的反应时间，请回答下列问题：例9 (1)求第一辆汽车与列车完成错车的时间； (2)求第一辆汽车通过大桥的最短时间； (3)求第一辆汽车达到最大速度时，与列车完成错车的汽车辆数。 课后训练 夯实基础 1．（24-25高一上·重庆·期中）一个质点在直线上的位置时间图像如图，图中均为直线。关于质点的运动，下列说法中正确的是（　　） A．0~3s内质点做匀加速直线运动 B．0~6s内质点的平均速度为2m/s C．t=2s时质点速度大小为2m/s D．3~6s内质点做匀速直线运动 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）在巴黎第33届夏季奥运会跳水项目女子3米板决赛中，我国选手陈艺文夺得金牌。从运动员离开跳板开始计时，其重心的v-t图像如图所示，图中仅0~t₁段为直线、不计空气阻力，则由图可知（　　）    A．运动员在空中做的是自由落体运动 B．研究运动员入水姿势时可以将运动员视为质点 C．t1时刻运动员刚好接触到水面 D．t2~t3段，运动员的加速度逐渐增大 3．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）质点P在水平面上运动，到M点时开始计时，其加速度a随时间t按如图所示的正弦规律变化。若在0~3时间内质点P做直线运动，则下列说法正确的是（　　） A．时，P的速度变化最快 B．时，P的加速度变化最快 C．时，P可能回到点 D．时，P的运动速度不可能最小 4．一质点以某一初速度开始做直线运动，从质点开始运动计时，经时间t质点的位移为x，其图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．质点做匀加速直线运动 B．任意相邻的0.2s内，质点位移差的大小均为0.04m C．任意1s内，质点速度增量的大小均为0.5m/s D．质点在1s末与3s末的速度方向相同 5．（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）物理学中有一些经典实验通过巧妙的设计使用简陋的器材反映了深刻的物理本质，例如伽利略的斜面实验就揭示了匀变速直线运动的规律。某同学用现代实验器材改进伽利略的经典斜面实验，如图甲所示，他让小球以某一确定的初速度从固定斜面顶端O点滚下，经过A、B两个传感器，其中B传感器固定在斜面底端，测出了A、B间的距离x及小球在A、B间运动的时间t。改变A传感器的位置，多次重复实验，计算机作出图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球在斜面上运动的平均速度大小为8 m/s B．小球在顶端O点的速度大小为2m/s C．小球在斜面上运动的加速度大小为4 m/s2 D．固定斜面的长度为6 m 6．（24-25高一上·山东烟台·期末）甲、乙两物体从同一位置开始沿着同一直线运动，二者的位置坐标随着时间变化的关系图像如图所示。其中乙图线为一条抛物线，时对应抛物线的最低点。下列说法正确的是（　　） A．在内，乙物体的平均速度为 B．在内，乙物体的平均速度为 C．时，二者相距最远 D．时，二者相距最远 能力提升 7．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v-t图像如图所示。下列判断正确的是（    ） A．乙车启动时，甲车在其前方100m处 B．乙车启动10s后正好追上甲车 C．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75m D．乙车超过甲车后，两车会再相遇 8．甲，乙两个遥控小汽车沿同一方向做匀加速直线运动，当同时通过某一位置点时开始计时，得到它们的图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．甲遥控小汽车的加速度大小为 B．乙遥控小汽车通过点时速度大小为 C．甲，乙遥控小汽车在0.5s时刻相距最远 D．相遇前两车间最大距离为2m 9．（24-25高一上·江西吉安·期末）甲，乙两物体沿x轴正方向做直线运动，甲，乙以速度先后经过O点，之后它们运动的图像如图所示，则甲，乙两物体速度从增加到的过程，下列说法中正确的是（　　） A．两物体加速度减小 B．两物体加速度增大 C．两物体运动时间可能相等 D．两物体可能相遇 10．公路上有甲、乙两辆汽车在同一条直线上沿相同方向运动，甲车在前。初始时刻两车间距离为5m，此后，两车速率的平方与位移的关系图像如图所示。下列说法正确的是（    ） A．甲车加速度大小为 B．甲车先停止运动 C．两车都停止时甲车在乙车前面 D．停止前乙车速度始终大于甲车 拓展探究 11．（24-25高一上·湖南长沙·期中）某国产新能源汽车上市之前在一直线跑道上进行“单踏板模式”性能测试，测试过程分为三个阶段。Ⅰ阶段：驾驶员踩下电门至某一位置，汽车由静止启动，其加速度与速度满足关系（其中，），当汽车加速至时进入Ⅱ阶段。Ⅱ阶段：驾驶员通过适当调节电门使汽车做匀加速直线运动，加速度，加速至时进入Ⅲ阶段。Ⅲ阶段：驾驶员松开电门，汽车的能量回收制动系统启动，汽车开始减速直至停下，该减速过程中汽车的加速度与速度满足关系（其中）。 (1)求Ⅱ阶段汽车运动的时间和位移大小； (2)作出Ⅰ阶段的图像，并根据该图像求Ⅰ阶段经历的时间； (3)求Ⅲ阶段汽车的位移大小（温馨提示：可以用图像分析）。 12.（24-25高一上·广东广州·期中）华南师大附中第70届校运会上，石牌校区高一9班以45.49秒的成绩打破男子接力乙组纪录。优秀的交接棒技术和策略，助力提升成绩。接力区长度，接棒者可以在接力区内任意位置起跑，但必须在接力区内完成交接棒。接力队比赛全程的运动，简化为直线运动。某班参加接力赛的四位同学，起跑阶段均视为加速度大小为a的匀变速运动，达到最大速度后，可以一直保持匀速运动直至完成交棒。接棒者通过在跑道贴胶带设置起跑标记，标记与接棒者距离，如图（甲）所示。比赛中，持棒者以最大速度奔跑至标记时，接棒者立即从接力区始端起跑并在接力区内完成接棒。赛道总长度。 (1)若接棒者刚达到最大速度时完成接棒，求接棒者从起跑至完成接棒的距离及对应的加速度大小； (2)如图（乙）所示，接棒者改为在距离接力区末端处起跑，标记重置于其起跑处后方处，求接力队完成比赛最佳成绩，并写出x取不同值时接力队完成比赛的最短时间t与x的关系式。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 匀变速直线运动的研究 专题二：运动学图像问题 多过程问题和追击相遇问题（解析版） 学习目标 1. 知道常见运动图像的物理意义 2. 通过基础运动学图像的基本知识推理特殊图像的物理意义 3. 熟练运动公式和图像解决追击相遇的问题 课堂学习 一 运动学图像 【导入】 我们之前已经学过了x-t图像和v-t图像，请你们说一下我们能从图像中获取出哪些信息呢？ 【知识梳理】 （一）x-t图像和v-t图像 位移—时间图像 (x­t图像) 速度—时间图像 (v­t图像) 图像 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动 斜率 图线上某点切线的斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向 图线上某点切线的斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示相应时间内位移的大小(面积在时间轴的上、下表示位移方向的正、负)；总位移等于各段位移的矢量和；总路程等于各段路程的代数和，即时间轴上、下各面积的代数和 截距 与x轴的截距表示物体的初位置 与v轴的截距表示运动的初速度 特殊点 拐点表示速度发生变化，交点表示相遇 拐点表示加速度发生变化，交点表示速度相等 (1)x－t图像与v－t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。 (2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。 (3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。 思考与讨论：一物体运动的v-t图像如图所示，请将v-t图像转化为x-t图像 （二）四类非常规图像问题 1.四类图像 (1)a­t图像：由v＝v0＋at可知图像与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。 思考与讨论：一静止的物体运动的a-t图像如图所示，回答以下几个问题 ①t=2s时，物体的速度大小？ ②什么时候物体的速度再次变回0 ③画出这个物体运动的v-t图像草图 (2)­t图像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵截距为v0，如图乙所示。 思考与讨论： ①图像中有什么特殊含义呢？ ②你能推出图像的斜率和截距的物理意义吗？ (3)v2­x图像：由v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，图像斜率为2a，纵截距为v，如图丙所示。 (4)a­x图像：由v2－v＝2ax可知ax＝，图像与x轴所围面积表示速度平方的变化量Δv2的一半，如图丁所示。 　 2．解题技巧 (1)用函数思想分析图象： 图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义。 (2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度。 【例题分析】 （多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）如图所示，图线OP是某质点做直线运动的位移—时间图像，OP为开口向下抛物线的一部分，P为图像上一点。已知PQ为过P点的切线，与纵轴交于的Q点。下列说法正确的是（　　）例1 A．质点的初速度大小为10m/s B．4s末的速度大小为1m/s C．质点的加速度大小为 D．0~4s内，质点做匀加速直线运动 【答案】BC 【解析】B．根据图像中斜率表示速度，由图像可得，4s末的速度大小为 B正确； ACD．根据题意，由公式有 结合图像有 由公式 有 联立解得， 即0~4s内，质点做匀减速直线运动，A、D错误，C正确。 故选BC。 （24-25高一上·福建厦门·期末）2024世界机器人大赛于8月22-25日在北京举行，如图所示为一参赛机器人表演过程中在水平面内做直线运动时速度v随时间t变化的图像，则该机器人（　　）例2 A．内做匀减速运动 B．内做匀加速运动 C．时速度方向改变 D．内平均速度为 【答案】D 【解析】A．图像斜率表示加速度，内，速度为正值，加速度恒定且为负值，机器人沿正方向匀减速直线运动；机器人速度为负值，加速度恒定且为负值，沿负方向匀加速直线运动，故A错误； B．内机器人沿负方向做匀减速直线运动，故B错误； C．之前速度为正值，之后速度为负值，故时速度方向改变；前后速度均为负值，故时速度方向未改变，故C错误； D．内机器人做匀减速直线运动，平均速度为 故D正确。 故选D。 （多选）（24-25高一上·江西萍乡·期末）如图甲，起重机正在将重物竖直向上吊起，重物从静止开始运动后0～6s内的加速度随时间变化规律如图乙所示，则关于重物在0～6s内的运动，下列说法正确的是（    ）例3 A．0~4s内，重物上升的高度为4m B．4～6s内，重物在做减速运动 C．t=6s时，重物的速度大小为5m/s D．0~6s内，重物上升的高度大于17m 【答案】CD 【解析】A．0~4s内，重物做匀加速运动，上升的高度为 A项错误； B．4～6s内，重物正在做加速度越来越小的加速运动，B项错误； C．时，重物的速度大小为 C项正确； D．时重物的速度大小为4m/s，4~6s内重物上升的高度 因此0~6s内，重物上升的高度大于17m，D项正确。 故选CD。 （多选）为检测某新能源动力车的刹车性能，现在平直公路上做刹车实验，如图所示是动力车在刹车过程中位移和时间的比值与t之间的关系图像，下列说法正确的是（　　）例4 A．动力车的初速度为10m/s B．刹车过程动力车的加速度大小为5m/s2 C．刹车过程持续的时间为8s D．从开始刹车时计时，经过8s，动力车的位移为40m 【答案】BD 【解析】AB．由图可得 （m/s） 根据匀变速直线运动的位移时间公式 得 对比可得 ， 即刚刹车时动力车的速度大小为20m/s，刹车过程动力车的加速度大小为5m/s2，故A错误，B正确； CD．刹车过程持续的时间为 经过8s，车已经停止，则整个刹车过程动力车经过的位移为 故C错误，故D正确。 故选BD。 （多选）（24-25高一上·河南郑州·期末）如图甲，一物块从倾角为的斜面底端冲上斜面，到达最高点后折返。已知物块速度的平方随位移的变化图像如图乙所示，取重力加速度大小。则（　　）例5 A．物块上滑阶段和下滑阶段的加速度大小之比为 B．物块上滑阶段和下滑阶段的加速度大小之比为 C．物块上滑阶段最大位移的大小为 D．物块上滑阶段最大位移的大小为 【答案】AC 【解析】AB．由运动学公式可知，上滑和下滑分别有， 结合图像可知，其图像的斜率为 由图像可知，两图线的斜率之比为3:2，所以，滑块沿斜面上滑与下滑的加速度之比为3：2，故A正确，B错误； CD．由牛顿第二定律得，上滑时 下滑时 解得 上滑过程，根据速度—位移公式有 解得m 故C正确，D错误； 故选AC。 一校车经过一路段过程中司机控制校车的加速度a随位移x变化的图像如图所示，校车制动距离为10m（即速度减为0），则校车制动的初速度大小为（　　）例6 A．10m/s B．10m/s C．7m/s D．7m/s 【答案】D 【解析】由匀变速直线运动速度位移关系 校车做非匀变速运动，运用“微元法”，可知“a-x”图线与横轴所围图形的“面积”即“速度平方变化量的一半”，即 解得校车制动的初速度大小为 故选D。 二 追击相遇问题 【导入】 如图所示，甲物体在乙物体的后面追击，甲乙之间的初始距离为x0，如果甲物体要追上乙，则在追上的时候甲的速度要满足什么条件，刚好追上的时候，甲乙的位移会满足什么关系呢？ 【知识梳理】 （一）追击相遇基本规律 1.追及问题 若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。 2.相遇问题 (1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。即x1-x2=∆x (2)相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。即x1+x2=∆x 3．追及相遇问题的解题思路及技巧 (1)解题思路 (2)解题技巧 ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 ③若被追的物体做匀减速直线运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解进行讨论分析。 ④紧紧抓住速度相等这个临界点。两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 （二）“慢追快”追击相遇问题 1.特点：运动开始时v甲<v乙。故运动刚开始时甲乙之间的间距在增大。 2.当v甲=v乙时，甲乙之间的间距达到最大。 3.当x甲-x乙=x0时，两者相遇。 （三）“快追慢”追击相遇问题 1.特点：运动开始时v甲>v乙。故运动刚故开始时甲乙之间的间距在缩小。 2.当v甲=v乙时，此为临界条件，需要进行分类讨论 ①若x甲-x乙>x0:则甲、乙在共速前就已经相遇。 ②若x甲-x乙=x0:则甲、乙在共速时刚好相遇。 ③若x甲-x乙<x0:则甲、乙不会相遇。 （四）追击相遇问题的处理方法 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图，对临界状态分析求解 函数法 设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇。 ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值 图像法 在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系 思考与讨论：甲在乙后面追击乙，它们之间的初始距离为x0，甲乙的v-t图像如下图所示，请问阴影部分的面积代表什么？如何判断甲乙能否相遇 【例题分析】 （24-25高一上·河北·期末）东东早上上学坐公交车，距离公交站点还有时公交车以的速度恰好从东东旁边经过，东东见状立即以的速度匀速追赶公交车，与此同时，公交车立即做匀减速直线运动，恰好在站点减速为0，假设公交车在站点停留。例7 (1)求公交车减速的加速度大小； (2)通过计算判断东东是否在站点登上公交车。 【答案】(1)1m/s2 (2)可以，见解析 【解析】（1）题意知东东距离公交站距离，设公交车匀减速运动的加速度大小为a，由运动学公式有 解得 （2）设东东到站用时为，则有 解得 设公交车到站时间为，则有 解得 公交车停留时间 因为 所以东东可以在站点登上公交车。 （四川省雅安市2024-2025学年高三下学期第二次诊断性考试（4月二模）物理试卷）根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第六十条的规定：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后放置三角警告牌（如图所示），以提醒后面司机及时减速。雨夜，在一条平直的公路上，汽车因为故障停车，在它正后方有一货车以20m/s的速度向前驶来，由于视线不好，货车司机只能看清前方40m的物体，他的反应时间为0.6s，该货车制动后最大加速度为。求例8 (1)从货车司机看清三角警示牌到货车最终停止所用的最短时间； (2)为避免两车相撞，故障车司机应将三角警示牌放置在故障车后的最小距离。 【答案】(1)8.6s (2)52m 【解析】（1）设从刹车到停止时间为，则s=8s 反应时间为0.6s，总时间为0.6s+8s=8.6s （2）反应时间内做匀速运动，则m=12m 从刹车到停止的位移为则m=80m 货车司机看清三角警示牌到货车最终停止全部距离为m 三角警示牌到故障车的距离为m=52m （24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）某大桥是一座公路、铁路两用大桥，主桥长 。某次由于交通管制，将汽车拦停在了一边的桥头处，汽车排成笔直的一列。设汽车车长均为 ，前车尾部与后车头部之间的距离均为。一辆长 的列车从桥对面驶来，抵达大桥另一个桥头，以 的速度匀速通过大桥，当列车车头恰与第一辆汽车的头部平齐时（如图所示），汽车交通管制解除，所有汽车均开始以 的加速度启动过桥。已知大桥上汽车的最大限速为72km/h，不计汽车启动的反应时间，请回答下列问题：例9 (1)求第一辆汽车与列车完成错车的时间； (2)求第一辆汽车通过大桥的最短时间； (3)求第一辆汽车达到最大速度时，与列车完成错车的汽车辆数。 【答案】(1) (2) (3)29辆 【解析】（1）如图所示为第一辆汽车和列车要完成错车的情境图 对汽车，错车时行驶的距离为 对列车，错车时行驶的距离为 由上图可得 解得时间 （2）对汽车 解出第一辆汽车加速到最大速度的时间 加速过程中汽车行驶的路程 接下来汽车通过大桥所需要的时间 第一辆汽车通过大桥的最短时间 （3）当第一辆汽车达到最大速度时，错车时，对列车有 分析可知 解得 由 解得（或28余），即完成错车29辆。 课后训练 夯实基础 1．（24-25高一上·重庆·期中）一个质点在直线上的位置时间图像如图，图中均为直线。关于质点的运动，下列说法中正确的是（　　） A．0~3s内质点做匀加速直线运动 B．0~6s内质点的平均速度为2m/s C．t=2s时质点速度大小为2m/s D．3~6s内质点做匀速直线运动 【答案】C 【解析】A．x-t图线斜率表示速度，0~3s内质点做匀速直线运动，故A错误； B．0~6s内质点的平均速度为 故B错误； C．t=2s时质点速度大小为 故C正确； D．0~3s内质点向正方向运动，3~6s内质点静止不动，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）在巴黎第33届夏季奥运会跳水项目女子3米板决赛中，我国选手陈艺文夺得金牌。从运动员离开跳板开始计时，其重心的v-t图像如图所示，图中仅0~t₁段为直线、不计空气阻力，则由图可知（　　）    A．运动员在空中做的是自由落体运动 B．研究运动员入水姿势时可以将运动员视为质点 C．t1时刻运动员刚好接触到水面 D．t2~t3段，运动员的加速度逐渐增大 【答案】C 【解析】A．由图像可知，运动员在空中先做竖直上抛运动，后做自由落体运动，选项A错误； B．研究运动员入水姿势时运动员的形体大小不可忽略，不可以将运动员视为质点，选项B错误； C．t1时刻以后加速度发生变化，则t1时刻运动员刚好接触到水面，选项C正确； D．t2~t3段，图像的斜率逐渐减小，可知运动员的加速度逐渐减小，选项D错误。 故选C。 3．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）质点P在水平面上运动，到M点时开始计时，其加速度a随时间t按如图所示的正弦规律变化。若在0~3时间内质点P做直线运动，则下列说法正确的是（　　） A．时，P的速度变化最快 B．时，P的加速度变化最快 C．时，P可能回到点 D．时，P的运动速度不可能最小 【答案】C 【解析】A．时，P的加速度为零，则速度变化最慢，选项A错误； B．时，P的加速度最大，加速度变化最慢，速度变化最快，选项B错误； C．图像与坐标轴围成的面积等于速度的变化量，可知在时间内，速度的变化量为零，若在时间物体减速到零，然后时间内反向加速，则在时，P回到点，选项C正确； D．若时间内物体的速度变化量恰好等于初速度，且与初速度反向，则在时P的运动速度为零，即速度最小，选项D错误。 故选C。 4．一质点以某一初速度开始做直线运动，从质点开始运动计时，经时间t质点的位移为x，其图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．质点做匀加速直线运动 B．任意相邻的0.2s内，质点位移差的大小均为0.04m C．任意1s内，质点速度增量的大小均为0.5m/s D．质点在1s末与3s末的速度方向相同 【答案】B 【解析】A．根据匀变速直线运动的位移-时间公式 变形得 由题图可知，质点的初速度为v0=2m/s，图像的斜率 则加速度为 由此可知加速度方向与初速度方向相反，故质点做匀减速直线运动。故A错误； B．任意相邻的0.2s内，质点位移差的大小为 故B正确； C．任意1s内速度的变化量大小为 故C错误； D．将t=1s与t=3s分别代入 可得 ， 所以质点在1s末与3s末的速度方向相反。故D错误。 故选B。 5．（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）物理学中有一些经典实验通过巧妙的设计使用简陋的器材反映了深刻的物理本质，例如伽利略的斜面实验就揭示了匀变速直线运动的规律。某同学用现代实验器材改进伽利略的经典斜面实验，如图甲所示，他让小球以某一确定的初速度从固定斜面顶端O点滚下，经过A、B两个传感器，其中B传感器固定在斜面底端，测出了A、B间的距离x及小球在A、B间运动的时间t。改变A传感器的位置，多次重复实验，计算机作出图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球在斜面上运动的平均速度大小为8 m/s B．小球在顶端O点的速度大小为2m/s C．小球在斜面上运动的加速度大小为4 m/s2 D．固定斜面的长度为6 m 【答案】CD 【解析】ABC．设小球在经过A、B传感器时的速度大小分别为、，在斜面上运动的加速度大小为a，根据运动学规律可得 整理得 结合图像可得 ， 当A传感器放置在O点时，传感器所测时间为小球从O到B传感器的运动时间t，对应图像上的最小值，即 得，所以小球在斜面上O点的速度大小为 小球在斜面上运动的平均速度大小为 故AB错误，C正确； D．以上分析可知固定斜面的长度为 故D正确。 故选CD 。 6．（24-25高一上·山东烟台·期末）甲、乙两物体从同一位置开始沿着同一直线运动，二者的位置坐标随着时间变化的关系图像如图所示。其中乙图线为一条抛物线，时对应抛物线的最低点。下列说法正确的是（　　） A．在内，乙物体的平均速度为 B．在内，乙物体的平均速度为 C．时，二者相距最远 D．时，二者相距最远 【答案】D 【解析】A．在内，乙物体的平均速度为 选项A错误； B．对乙在内 在内， 解得x=1m， a=2m/s2 则乙物体在内的平均速度为 选项B错误； C．因 时，因乙的速度为零，与甲的速度不等，则此时二者相距不是最远，选项C错误； D．时，乙的速度 即此时二者相距最远，选项D正确。 故选D。 能力提升 7．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v-t图像如图所示。下列判断正确的是（    ） A．乙车启动时，甲车在其前方100m处 B．乙车启动10s后正好追上甲车 C．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75m D．乙车超过甲车后，两车会再相遇 【答案】C 【解析】A．根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在时启动 此时甲的位移为，即甲车在乙前方50m处，故A错误； B．由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10s后乙车的位移为 甲车的位移为 故乙车的位移小于甲车的位移，还没有追上甲，故B错误； C．当两车的速度相等时相遇最远，最大距离为，故C正确； D．乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故D错误。 故选C。 8．甲，乙两个遥控小汽车沿同一方向做匀加速直线运动，当同时通过某一位置点时开始计时，得到它们的图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．甲遥控小汽车的加速度大小为 B．乙遥控小汽车通过点时速度大小为 C．甲，乙遥控小汽车在0.5s时刻相距最远 D．相遇前两车间最大距离为2m 【答案】D 【解析】AB．根据速度公式，整理得 根据图像，两个汽车的加速度和初速度分别为 ，，， 甲遥控小汽车加速度大小为，乙遥控小汽车通过点时速度大小为，故AB错误； CD．两车速度相等时距离最大 解得 此时两车之间的距离为 故C错误，D正确。 故选D。 9．（24-25高一上·江西吉安·期末）甲，乙两物体沿x轴正方向做直线运动，甲，乙以速度先后经过O点，之后它们运动的图像如图所示，则甲，乙两物体速度从增加到的过程，下列说法中正确的是（　　） A．两物体加速度减小 B．两物体加速度增大 C．两物体运动时间可能相等 D．两物体可能相遇 【答案】B 【解析】AB．如图所示 取大小为的两段相等位移，其初末速度为、、，由图像可知 整理得 可见 又因为，图像中图线与坐标轴围成的面积表示运动时间，从图中可以看出经过第一段的时间大于经过第二段的时间，有 根据 可知两物体的加速度增大，A错误，B正确； C．图像中图线与坐标轴围成的面积表示运动时间，所以从增加到的过程中甲运动时间小于乙运动时间， C错误； D．图像中图线与坐标轴围成的面积表示运动时间，从增加到的过程中经过相等位移甲运动时间小于乙运动时间，且甲先经过O点，故不能相遇， D错误。 故选B。 10．公路上有甲、乙两辆汽车在同一条直线上沿相同方向运动，甲车在前。初始时刻两车间距离为5m，此后，两车速率的平方与位移的关系图像如图所示。下列说法正确的是（    ） A．甲车加速度大小为 B．甲车先停止运动 C．两车都停止时甲车在乙车前面 D．停止前乙车速度始终大于甲车 【答案】C 【解析】A．根据 结合图像可得 ， 解得 ， 则甲车加速度大小为。故A错误； B．由图可知， ， 解得 ， 则有 ， 可得 所以乙车先停止运动。故B错误； C．由图可知，两车都停止时 甲车在乙车前面。故C正确； D．设经t时间两车共速，则有 解得 可知4s前乙车速度大于甲车，4s后乙车速度小于甲车。故D错误。 故选C。 拓展探究 11．（24-25高一上·湖南长沙·期中）某国产新能源汽车上市之前在一直线跑道上进行“单踏板模式”性能测试，测试过程分为三个阶段。Ⅰ阶段：驾驶员踩下电门至某一位置，汽车由静止启动，其加速度与速度满足关系（其中，），当汽车加速至时进入Ⅱ阶段。Ⅱ阶段：驾驶员通过适当调节电门使汽车做匀加速直线运动，加速度，加速至时进入Ⅲ阶段。Ⅲ阶段：驾驶员松开电门，汽车的能量回收制动系统启动，汽车开始减速直至停下，该减速过程中汽车的加速度与速度满足关系（其中）。 (1)求Ⅱ阶段汽车运动的时间和位移大小； (2)作出Ⅰ阶段的图像，并根据该图像求Ⅰ阶段经历的时间； (3)求Ⅲ阶段汽车的位移大小（温馨提示：可以用图像分析）。 【答案】(1)， (2)， (3) 【解析】（1）汽车运动的时间为 位移为 （2）根据可知 代入数据，整理得 所以图像如图所示 根据加速度的定义式可得 即图线与横轴所围面积为加速时间，则Ⅰ阶段经历的时间为 （3）Ⅲ阶段汽车的加速度，因此其图像与t轴围成的面积是图像与t轴围成的面积的k倍，故速度改变量的大小是位移大小的k倍，即 解得 12.（24-25高一上·广东广州·期中）华南师大附中第70届校运会上，石牌校区高一9班以45.49秒的成绩打破男子接力乙组纪录。优秀的交接棒技术和策略，助力提升成绩。接力区长度，接棒者可以在接力区内任意位置起跑，但必须在接力区内完成交接棒。接力队比赛全程的运动，简化为直线运动。某班参加接力赛的四位同学，起跑阶段均视为加速度大小为a的匀变速运动，达到最大速度后，可以一直保持匀速运动直至完成交棒。接棒者通过在跑道贴胶带设置起跑标记，标记与接棒者距离，如图（甲）所示。比赛中，持棒者以最大速度奔跑至标记时，接棒者立即从接力区始端起跑并在接力区内完成接棒。赛道总长度。 (1)若接棒者刚达到最大速度时完成接棒，求接棒者从起跑至完成接棒的距离及对应的加速度大小； (2)如图（乙）所示，接棒者改为在距离接力区末端处起跑，标记重置于其起跑处后方处，求接力队完成比赛最佳成绩，并写出x取不同值时接力队完成比赛的最短时间t与x的关系式。 【答案】(1)， (2)，t与x无关 【解析】（1）已知持棒者以最大速度向前运动到标记处时，接棒者开始以最大加速度起跑，且经过时间，刚好速度最大时完成交接，设接棒者加速度为，最大速度为，则持棒者位移 接棒者位移 接棒者的速度 二者位移的关系为 联立代入数据可得 ，， （2）由第一问结果可知，运动员最大加速度，从起跑加速到速度最大完成交接棒的时间，接棒者位移，持棒者位移。设运动过程由A、B、C、D四位运动员接力完成，每个运动员均在距离接力区末端处起跑，其对应的有效位移为、、、，各自所需的时间为、、、，则A的实际有效位移 A的运动时间 因为B、C、D的匀加速时间前一位持棒者最后的匀速运动时间重合，所以只要计算匀速运动过程有效运动位移与时间，则B的实际有效位移 B的有效时间 同理C的有效时间 D的有效位移为 D的有效时间为 则完成全程接力所需时间为 因为要保证在接力区内完成交接棒，所以 t与x的关系为 实际时间t与x无关，即完成比赛的时间t为 学科网（北京）股份有限公司 $$