精品解析：2025年山东省青岛市李沧区、西海岸新区、平度市联考中考一模数学试题　

2024—2025学年度第二学期阶段性学业水平检测题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. -的倒数是（ ） A. - B. -5 C. D. 5 2. 纹样是我国古代艺术的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（不包含底部介绍文字）（ ） A. 如意纹 B. 忍冬纹 C. 祥云纹 D. 环带纹 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法错误的是（ ） A. 中位数是31 B. 众数是31 C. 平均数是30 D. 极差是4 5. 一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 6. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的直径，过点D作的切线，交的延长线交于点E．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 2025年3月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备，其中，铅（Pb）二维金属厚度约为米．将数据用科学记数法表示为_______． 10. 如图，，平分．若，则的度数为_______． 11. 若点和点都在反比例函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可） 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形位于第一象限，点D的坐标是，把矩形向下平移2个单位长度得到矩形，再将矩形绕点O按顺时针方向旋转，得到矩形，则点的坐标是_______． 13. 如图，在扇形中，，C为上的一点，连接，．如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为_______． 14. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的是_______．（只填写序号） 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 已知：如图，．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 求作：点P，使点P在内部，且点P到两边的距离相等，． 四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16 （1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环和1个鲁班锁分别装在4个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同． （1）从这4个盒子中随机选取1个盒子，选中鲁班锁的概率是_______； （2）从这4个盒子中随机选取2个盒子，请用画树状图或列表的方法求选中的2个盒子里都是九连环的概率、 18. “风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们身边也经常能见到“风电”的身影，在某一山坡顶端的平地上建有一座风力发电机，其平面示意图如图所示．某校综合实践小组在测量风力发电机组塔筒AB的高度时，获得了如下数据：站在山脚处测得塔筒的顶端的仰角为，山坡的坡比，山坡的长度为米，山坡顶端与塔筒底端的水平距离为米，塔筒、山坡及平地均在同一竖直平面内，塔筒与地面垂直，平地与地面平行．请根据以上数据，求塔筒的高度．（参考数据：，，） 19. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科技素养，某校举行人工智能通识竞赛，并对测试成绩（单位：分），进行了统计分析： 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_______．（只填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩 ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩 ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩 ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%学生的竞赛成绩 【整理数据】将学生竞赛成绩样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）．如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） a 57 45 27 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______； （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是_______°； （3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数． 20. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．某经销商发现，与吉祥物“滨滨”和“妮妮”相关的甲、乙两款纪念品深受大家喜爱．已知购买3个甲款纪念品和2个乙款纪念品共需180元；购买5个甲款纪念品比购买3个乙款纪念品多15元． （1）甲、乙两款纪念品售价各是多少？ （2）甲款纪念品的进价为20元，乙款纪念品的进价为38元．若该经销商计划购进甲、乙两款纪念品共60个，且乙款纪念品的购买数量不低于甲款纪念品购买数量的2倍，则应如何进货能使得这批纪念品全部售出后所获利润最大，最大利润是多少？ 21. 【概念呈现】 设一个钝角三角形的两个锐角为α与β，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角α叫做这个三角形的倍余角． 【特例感知】 （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形_______（填写“是”或“不是”）倍余三角形． 【深入探究】 （2）若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为_______°． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点D是边上一点，若是倍余三角形，则的度数为_______°． 22. 如图，在菱形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形的形状．请证明你的结论． ①；②． 选择的条件：_______（填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 23. 打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验迭代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 0 2 4 m 8 9 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： （1）_______； （2）求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； （3）当时，在所盛水的体积相同的情况下，_______号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？ 24. 如图，在中，，，．动点N从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；动点M同时从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为．过点M作，分别交，于点，，与相交于点．设运动时间为，请解答下列问题： （1）当四边形为菱形时，求t的值； （2）设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期阶段性学业水平检测题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. -的倒数是（ ） A. - B. -5 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此可得答案． 【详解】解：-的倒数是-5． 故选：B． 【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键． 2. 纹样是我国古代艺术的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（不包含底部介绍文字）（ ） A. 如意纹 B. 忍冬纹 C. 祥云纹 D. 环带纹 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可．，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：从左面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下： 故选：． 4. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法错误的是（ ） A. 中位数是31 B. 众数是31 C. 平均数是30 D. 极差是4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、极差和平均数，根据众数、中位数、极差和平均数定义即可求解，掌握众数、中位数、极差和平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：在数据32，33，31，29，31，29，31，32中， 首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32，32，33． 中位数计算：由于有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，即．选项A说法正确，不合题意； 众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次．选项B说法正确，不合题意； 平均数计算：平均数为，选项C说法错误，符合题意； 极差计算：最大值33减去最小值29，极差为．选项D说法正确，不合题意． 故选：C． 5. 一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，再根据，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得： ，， 则， 故选：D． 6. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：B． 7. 如图，内接于，是的直径，过点D作的切线，交的延长线交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质等知识，由是的直径， 得到，根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据开口方向和二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴有两个不同的交点，得到，则点在第二象限，点在x轴坐标轴，据此可得答案． 【详解】解：∵函数开口向下，二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∴点在第二象限， ∵二次函数与x轴有两个不相同的交点， ∴， ∴点在x轴正半轴上， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 2025年3月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备，其中，铅（Pb）二维金属厚度约为米．将数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为正整数，即为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，，平分．若，则的度数为_______． 【答案】29 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质可得，，利用角平分线的定义可求解的度数，进而可求解．求解的度数是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：29． 11. 若点和点都在反比例函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，解得，根据的范围写出符合条件的即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∴反比例函数图象在第一、三象限， ∴，解得：， ∴的值可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形位于第一象限，点D的坐标是，把矩形向下平移2个单位长度得到矩形，再将矩形绕点O按顺时针方向旋转，得到矩形，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移变换和旋转变换，根据平移和旋转变换作图即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由图可知，将矩形向下平移2个单位长度得到矩形，则，依次连接四点，得到矩形，将矩形绕点O按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在扇形中，，C为上的一点，连接，．如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．连接，过点作于点，四边形是菱形可知，再由可知是等边三角形，，故与为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴与为边长相等的两个等边三角形． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 14. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的是_______．（只填写序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键． 根据正方形对角线相等而且平分每一组对角，可得，由角的和差求出即可判定①，根据是等腰直角三角形求出，即可得出，故②正确；连接交于，过点作于，由勾股定理可求得，故③正确；过点作于，由的面积是．故④错误． 【详解】解：∵四边形、是正方形， ∴，， ∵，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； 连接交于，过点作于， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，故③正确； 过点作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积是．故④错误； 综上所述：正确的结论是②③． 故答案为②③． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 已知：如图，．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 求作：点P，使点P在内部，且点P到两边的距离相等，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线和垂线的作法，掌握尺规作图是解题的关键． 根据角平分线上的点到角两边距离相等可知点在的角平分线，再过过点作垂线，它们的交点即所求.， 【详解】解：作角平分线，过点作，与交于点P， 四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16. （1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别求解每个不等式的解集，再得出不等式组的解集； （2）先将括号内的通分，再将除法变成乘法即可化简，再由得到，即可求解． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：； （2） ， 由，得， ∴原式， 17. 七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环和1个鲁班锁分别装在4个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同． （1）从这4个盒子中随机选取1个盒子，选中鲁班锁的概率是_______； （2）从这4个盒子中随机选取2个盒子，请用画树状图或列表的方法求选中的2个盒子里都是九连环的概率、 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用简单的概率公式求解即可； （2）画出表格，得出共有种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，选中鲁班锁的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：1个七巧板和1个鲁班锁分别用、表示，2个九连环分别用，表示，列表如下： 共有种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为， ∴选中的2个盒子里都是九连环的概率为：． 18. “风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们身边也经常能见到“风电”的身影，在某一山坡顶端的平地上建有一座风力发电机，其平面示意图如图所示．某校综合实践小组在测量风力发电机组塔筒AB的高度时，获得了如下数据：站在山脚处测得塔筒的顶端的仰角为，山坡的坡比，山坡的长度为米，山坡顶端与塔筒底端的水平距离为米，塔筒、山坡及平地均在同一竖直平面内，塔筒与地面垂直，平地与地面平行．请根据以上数据，求塔筒的高度．（参考数据：，，） 【答案】塔筒的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，证明四边形是矩形，则，，由坡比可得，设，，由勾股定理得 ，即，求出，在中，，然后代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，坡比， ∴， 设，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 答：塔筒的高度为米． 19. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科技素养，某校举行人工智能通识竞赛，并对测试成绩（单位：分），进行了统计分析： 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_______．（只填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩 ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩 ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩 ④分别从该校各年级每个班中随机抽取10%学生的竞赛成绩 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）．如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） a 57 45 27 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______； （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是_______°； （3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】[收集数据]④（1）21；（2），（3）人． 【解析】 【分析】[收集数据]根据样本具代表性，避免偏差．即可得出答案， （1）根据组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出的值； （2）用乘以组人数的占比即可求解； （3）用乘以分以上(含分)的人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【详解】[收集数据]正确的抽样方法应该是能够代表整个学校的情况，避免偏差．选项①只抽一个班，可能这个班的成绩不能代表全校；选项②一个年级同理；选项③只抽女生，明显存在性别偏差；而选项④则分层抽样，每个年级每个班都抽，这样样本更具代表性．所以最合适的方法是：​④​（分别从各年级的每个班随机抽取学生，确保样本代表性）， ​（1）B组人数为57，占总体的百分比为，总样本数为人， 因此， 总样本数组人数． 故答案为21． ​（2）C组圆心角度数． 故答案为． ​（3）全校优秀人数估计为人． 答：估计该参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数大约是人． 20. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．某经销商发现，与吉祥物“滨滨”和“妮妮”相关的甲、乙两款纪念品深受大家喜爱．已知购买3个甲款纪念品和2个乙款纪念品共需180元；购买5个甲款纪念品比购买3个乙款纪念品多15元． （1）甲、乙两款纪念品的售价各是多少？ （2）甲款纪念品的进价为20元，乙款纪念品的进价为38元．若该经销商计划购进甲、乙两款纪念品共60个，且乙款纪念品的购买数量不低于甲款纪念品购买数量的2倍，则应如何进货能使得这批纪念品全部售出后所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元； （2）购进甲款个，乙款个时，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设甲款纪念品售价为元，乙款纪念品的售价为元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设购进甲款个，则乙款为个，利润为元，依题意得，再求出的范围即可求解． 【小问1详解】 解：设甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元； 【小问2详解】 解：设购进甲款个，则乙款为个，利润为元，依题意得： ， ∵， ∴， 当时，利润最大：元， 答：购进甲款个，乙款个时，最大利润为元． 21. 【概念呈现】 设一个钝角三角形的两个锐角为α与β，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角α叫做这个三角形的倍余角． 【特例感知】 （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形_______（填写“是”或“不是”）倍余三角形． 【深入探究】 （2）若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为_______°． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点D是边上一点，若是倍余三角形，则的度数为_______°． 【答案】（1）是；（2）；（3）121或118 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键． （1）根据两个锐角判断是否满足即可判定； （2）根据“倍余三角形”的定义和“等腰三角形”的两底角相等求解， （3）分为2种情况，当时和当时分别可解得答案． 【详解】（1）三角形是倍余三角形． ∵， 故三个内角分别为，和的三角形是倍余三角形， （2）倍余三角形是一个钝角三角形，一个等腰三角形是倍余三角形，故顶角是钝角，底角为锐角， 设底角为，依题意得：，解得：， 这个三角形的倍余角的度数为． 故答案为：30； （3）∵是倍余三角形， 当时，即， 解得：， ∴； 当时，即， 解得：， ∴； 故的度数为或； 故答案为：121或118． 22. 如图，在菱形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形的形状．请证明你的结论． ①；②． 选择的条件：_______（填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）见解析 （2）若选①，则四边形为矩形，理由见解析；若选②，则四边形为矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，等边三角形的判定及性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）在菱形中，，，可得，由角平分线的定义可知，，进而可知，即，可得四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）若选①，根据菱形的性质可得，，则为等边三角形，则，再根据“三线合一”得，结合（1）即可证明四边形为矩形； 若选②，根据菱形的性质可得，，再根据“三线合一”得，结合（1）即可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 证明：在菱形中，，， ∴， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 若选①，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴为等边三角形，则， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形； 若选②，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形． 23. 打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验迭代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 0 2 4 m 8 9 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： （1）_______； （2）求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； （3）当时，在所盛水的体积相同的情况下，_______号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？ 【答案】（1）6， （2）， （3）1，两个水杯水面高度差的最大值是1． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质． （1）由表格数据可知高度与体积成正比例关系，由此即可得出答案； （2）根据待定系数法求解即可； （3）在坐标系画出两个图象，观察图象可知，当时，在上方，由此即可得出1号水杯水面高度较高，根据函数解析式求出两个水杯水面高度差，利用二次函数的最值求解即可， 【小问1详解】 解：由表格数据可知高度与体积成正比例关系，， 当时，，即． 【小问2详解】 由图可知：时，；时，， ∴，解得： ∴2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式是． 【小问3详解】 由图可知： 当时，在上方，即1号水杯的水面高度较高， 两个水杯水面高度差为 ：， 当时，的最大值为1． 即两个水杯水面高度差的最大值是1． 24. 如图，在中，，，．动点N从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；动点M同时从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为．过点M作，分别交，于点，，与相交于点．设运动时间为，请解答下列问题： （1）当四边形为菱形时，求t的值； （2）设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数关系式，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）当四边形为菱形时，即时，进而由解三角形求出，即可得出结论； （2）过点作，垂足为，五边形的面积为，利用解三角形把相关线段用表示即可求出； （3）延长、交于点，根据，，利用相似三角形性质得线段成比例列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴，即， ∵在中， ∴，， ∴， 当四边形为菱形时，即时， ， ∴ 【小问2详解】 过点作，垂足为， 依题意得：，， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∵五边形的面积为， ∴， 即 【小问3详解】 延长、交于点， ∵四边形为平行四边形，∴，， 由（2）得，， ∴，， ， ∴， ∴ ∵ ∴，， ∴，， ∴， 解并检验得：，， 在运动过程中，时，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$