精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，再根据余弦函数求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 2. 某射手射击所得环数为的概率分布如下表所示，此射手“射击一次命中环数不小于8”的概率为（ ） 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 A. 0.28 B. 0.88 C. 0.79 D. 0.51 【答案】C 【解析】 【分析】设事件“射击一次命中环数不小于8”，根据事件间的关系即可得结论. 【详解】设事件“射击一次命中环数不小于8”， 则， 故选：C . 3. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，令，即可得单调递增区间. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C. 4. 给出下列4个命题： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行检验，这样的抽样为分层抽样； ②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度； ③回归直线必过定点； ④回归直线中，每增加1个单位时，就增加2个单位． 其中正确命题的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①：根据抽样方法分析判断；对于②：根据方差的意义分析判断；对于③④：根据线性回归方程分析判断. 【详解】对于①：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行检验，这样的抽样为系统抽样，故①错误； 对于②：样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度，故②正确； 对于③：回归直线必过样本中心点，故③正确； 对于④：回归直线中，每增加1个单位时，就增加2个单位，故④正确； 故选：A. 5. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是( ) A. （0,1） B. (1,0) C. （1，-1） D. （1,3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线方程的求解即可得切点坐标. 【详解】设切点,则,又, 解得, 故选:D. 6. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性和概率的性质即可 【详解】由，且 则有： 根据正态分布的对称性可知： 故选：A 7. 已知函数满足，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，令运算求解即可. 【详解】因为，则， 令，则，解得. 故选：B. 8. 袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球．从中不放回地依次摸出2个球，记事件“第一次摸出的是红球”，事件“第二次摸出的是白球”，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用概率的计算公式，求解事件和事件的概率，即可利用条件概率的计算公式，求解答案． 【详解】由题意，事件“第一次摸出的是红球”时，则， 事件“第一次摸出的是红球”且事件“第二次摸出白球”时，则， 所以， 故选：C． 9. 设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，从而得到在R上为减函数．再利用的单调性求解即可. 【详解】因为， 所以，即在R上为减函数． 又因为，所以． 且，在R上恒大于零，所以，即C对，B错， 因为是满足题意的一个解，但，所以AD都错， 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 曲线在点处切线的倾斜角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义求切线斜率，即可得倾斜角. 【详解】因为，则， 即切线斜率，所以切线的倾斜角. 故答案为：. 11. 设、为两个事件，已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 12. 当函数取极小值时，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性和极值点，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的极小值点为. 故答案为：. 13. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可求解． 【详解】两个零件中恰好有一个一等品的概率为， 故答案为：． 14. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出导函数，再求处的导数值，利用导数的几何意义即可求解. 【详解】， 所以， 所以点处的切线方程为：， 即. 故答案为： 15. 随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件为“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件为“两位游客选择的景点不同”，则________，________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求出，再由条件概率公式求解即可. 【详解】由题意，两位游客从6个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有6种不同的选法，故共有(种)不同的选法. 两人都不选择天津之眼摩天轮的方法有(种)， 故两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的方法共有 (种)， 所以故两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的概率. AB表示两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮，且两位游客选择的景点不同，即一人选择天津之眼摩天轮，另一人选择其它景点，共有 (种)选法， 故， 所以. 故答案为：；. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （1）求该项技术量化得分不低于8分的概率； （2）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）设相应事件，可知该项技术量化得分不低于8分为，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）可知的所有可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望. 【小问1详解】 设该项人工智能新技术的三项不同指标独立通过检测合格分别为事件， 则， 可知该项技术量化得分不低于8分为， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3. 则， ， ， ， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 随机变量的期望． 17. 已知函数在处有极值． （1）求a,b的值； （2）求的单调区间． 【答案】(1),．(2) 单调减区间是,单调增区间是． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果； （2）由（1）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间. 【详解】解：（1）又在处有极值, 即解得,． （2）由（1）可知,其定义域是, ． 由,得；由,得． 函数的单调减区间是,单调增区间是． 【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型. 18. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若在区间上，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）极大值1， 极小值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，解不等式，即可得函数单调区间，从而得函数的极值； （2）将不等式转化为则，对任意恒成立，设， 求导确定单调性从而得最值，即可实数a的取值范围． 【小问1详解】 当时，，因为， 的解集为，的解集为， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 则函数在处有极大值1， 在处有极小值. 【小问2详解】 因为，即，且， 则， 设， 则， 所以函数在区间上单调递减， 则， 实数的取值范围 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，若恒成立，求实数a的取值范围； （3）若有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，则，求导得，由导数的几何意义可得，即可解出； （2）若恒成立，则恒成立，令，利用导数判断函数的单调性，进而可得，则，即可解出； （3）若有两个零点，则在上有两个解，令，，只需与有两个交点，即可得出答案. 【详解】（1）当时，，， 所以，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为， 若恒成立，则恒成立，所以恒成立， 令，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. （3）若有两个零点，则有两个零点， 所以在上有两个解，所以在上有两个解， 令，，， 令，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，且， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以，又在上，；在上，， 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 某射手射击所得环数为的概率分布如下表所示，此射手“射击一次命中环数不小于8”的概率为（ ） 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 A. 0.28 B. 0.88 C. 0.79 D. 0.51 3. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 给出下列4个命题： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行检验，这样的抽样为分层抽样； ②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度； ③回归直线必过定点； ④回归直线中，每增加1个单位时，就增加2个单位． 其中正确命题的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 5. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是( ) A. （0,1） B. (1,0) C. （1，-1） D. （1,3） 6. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 已知函数满足，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球．从中不放回地依次摸出2个球，记事件“第一次摸出的是红球”，事件“第二次摸出的是白球”，则( ) A. B. C. D. 9. 设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 曲线在点处切线的倾斜角为_____． 11. 设、为两个事件，已知，则_____． 12. 当函数取极小值时，则_____． 13. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为_____． 14. 曲线在点处的切线方程为___________. 15. 随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件为“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件为“两位游客选择的景点不同”，则________，________. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （1）求该项技术量化得分不低于8分的概率； （2）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 17. 已知函数在处有极值． （1）求a,b的值； （2）求的单调区间． 18. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若在区间上，恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，若恒成立，求实数a的取值范围； （3）若有两个零点，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $