精品解析：湖北省随州市曾都区八角楼初级中学教联体2024-2025学年下学期期中质量监测八年级数学试题

2024—2025学年度下学期八角楼初级中学教联体期中质量监测八年级数学试题 总分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（   ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2个 D. 1个 2. 下列计算结果为的是（   ） A. B. C. D. 3. 在中，，a、b、c分别为、、的对边，若，则的值为（   ） A. B. C. 3 D. 2 4. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（   ） A. B. C. D. 5. 实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（   ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（   ） A. B. C. D. 7. 菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（   ） A. B. 4 C. D. 8 8. 如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直且相等 10. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______海里． 13. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为6，则图中阴影部分的面积是_____． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为______． 15. 如图，已知正方形边长为8，点O为对角线的交点，四边形为正方形，F、H在边上，且，则正方形的面积是______． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？ 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 19. 已知，． （1）求的值； （2）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． （1）求的长； （2）试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 22. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点A作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 23. 综合运用材料一：形如，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为　　　，点的“横负纵变点”为　　　； （2）化简：； （3）已知a为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 24. 情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期八角楼初级中学教联体期中质量监测八年级数学试题 总分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（   ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； （a为正整数）是最简二次根式； 故选C． 2. 下列计算结果为的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 3. 在中，，a、b、c分别为、、的对边，若，则的值为（   ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可，熟练掌握勾股定理，确定斜边，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 4. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴ 故选：B． 5. 实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值的化简以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则以及数轴进行化简即可． 【详解】解：由题意可知，，， 故， 故． 故选：D． 6. 如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定。根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案。 【详解】解：∵， ∴能判断四边形是平行四边形，即A选项不符合题意， ∵， ∴能判断四边形是平行四边形，即B选项不符合题意， ∵， ∴不能判断四边形是平行四边形，即C选项符合题意， ∵， ∴能判断四边形是平行四边形，即D选项不符合题意， 故选：C. 7. 菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（   ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选A． 8. 如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高即可． 【详解】解：设中边上的高为h， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， 解得 ∴中边上的高是． 故选：A． 9. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，矩形，平行四边形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形，平行四边形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解；A、原命题的逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，该逆命题是假命题，例如梯形的对角线也相等，不符合题意； B、原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，该逆命题是真命题，符合题意； C、原命题的逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，该逆命题是假命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，该逆命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是正方形，△EMC是等边三角形，得出∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°，再计算角度即可；通过做辅助线MD，得出MA＝MD，MD=MN，从而得出AM＝MN. 【详解】如图，连接DM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵△EMC是等边三角形， ∴BM＝BC＝CM，∠EMC＝∠MBC＝∠MCB＝60°， ∴∠ABM＝∠MCN＝30°， ∵ BA＝BM， MC＝CD， ∴∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°, ∴∠MAD＝∠MDA＝15°, 故A正确； ∴MA＝MD， ∴∠DMN＝∠MAD+∠ADM＝30°， ∴∠CMN＝∠CMD-∠DMN＝45°，故B正确; ∵∠MDN＝∠AND＝75° ∴MD=MN ∴AM＝MN，故C正确； ∵∠CMN＝45°，∠MCN＝30°， ∴，故D错误，故选D. 【点睛】本题考正方形的性质、等边三角形的性质等知识，灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度得出等腰三角形是关键. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设轮船向东北航行到，向东南方向航行到， 由题意得，海里， 海里， ， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为6，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，全等判定及性质．根据题意证，再利用三角形面积公式及平行四边形性质可得本题答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， ∴在和中， ， ∴， ∵，点A到的距离为6， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形判定及性质等．根据题意证明，再设，则，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵矩形，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则 ∴，解得：， 故答案为：． 15. 如图，已知正方形边长为8，点O为对角线的交点，四边形为正方形，F、H在边上，且，则正方形的面积是______． 【答案】10 【解析】 【分析】过点O作于M，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，进一步可得到；过点E作于P，过点O作交延长线于Q，则四边形是矩形，可得，；证明，得到；再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，则，根据，得到，解方程得到，再利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，过点E作于P，过点O作交延长线于Q，则四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的面积为10， 故答案为；10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合计算，求一个数的绝对值，求一个数的立方根，二次根式化简等． （1）先将每项化简，后从左到右依次计算即可； （2）先将括号内计算好，再计算乘法和除法，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？ 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形ABC中运用勾股定理求出BC的长，进而求得CE的长，再在直角三角形EDC中运用勾股定理求出DC的长，最后求得AD的长即可． 【详解】解：∵在中， ∴ ∴ ∵在中 ∴ ∴． 答：梯子的底部向外滑0.8米. 【点睛】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，灵活利用勾股定理解直角三角形成为解答本题的关键． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】 证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 【解析】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键． 19. 已知，． （1）求的值； （2）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）由，得，，把变形为，再整体代入计算即可； （2）先判断，，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，； ∴； 【小问2详解】 ∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 21. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． （1）求的长； （2）试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【答案】（1） （2）该车超过了的限制速度 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：在中， ，， ， ． 【小问2详解】 解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 22. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点A作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，点是的中点， ，    ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形．； （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查菱形判定及性质，平行四边形判定及性质，等边三角形判定及性质，含的直角三角形三边关系等． （1）根据题意先证四边形是平行四边形，后得本题答案； （2）由菱形性质得，，后得四边形是平行四边形，再得到四边形是菱形，三角形是等边三角形， 继而得到，再得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形，三角形是等边三角形， ∴，，，， ， ，则 ∴， 的长是． 23. 综合运用材料一：形如，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为　　　，点的“横负纵变点”为　　　； （2）化简：； （3）已知a为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可得到答案； （2）由题意得到，即可得到答案； （3）根据题意得到，，进行化简即可． 【小问1详解】 解：，故， 的“横负纵变点”为， ，故， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 24. 情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明如下， 方法一：采用几何法： 如图，过点A作于，过点D作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， ∵，， ∴ 同理可得：， ∴． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 由平行四边形性质，点C的坐标为： ∴，，， ∴ （IV）或． 【解析】 【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可． 根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得． （III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可． （IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可． 【详解】（II）解：①如图①， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴； ②如图③∵矩形中， ∴，，， ∴，， ∴； ③如图②，∵在菱形中，，， ∴，， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ④如图①， ∵正方形的边长为，，， ∴， ∴； ⑤如图③∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∴； （III）略 （IV）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的结论得， ∴， ∴， ∴，（不合题意舍去）， ∴， 点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为， ∴， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 当对应点在点下方时，设点B的对应点为， 同理可得： ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $