2024--2025学年浙教版八年级下册数学能力训练提高卷（4—5章）

浙教版八年级下册数学能力训练提高卷（4—5章） 1、 选择题 1、下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的每条对角线平分一组对角 C．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 D．矩形的对角线互相垂直平分 2、如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 3、在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 4、如图，将一张平行四边形纸片ABCD以DE为折痕进行折叠，点C的对应点为．若,，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5、用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个三角形中（　　） A．每一个锐角都小于45° B．有一个锐角大于45° C．有一个锐角小于45° D．每一个锐角都大于45° 6、如图，中，，、分别是、上两点，，，点、、分别是、、的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 7、如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA'等于（　　） A．cm B．cm C．cm或cm D． cm 8、如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（　　） A．2 B． C． D．4 9、如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上的一点，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 第2题图 第4题图 第7题图 第6题图 第8题图 第9题图 10、如图，在中，，，于点D，于点E，， 连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接． 过点D作交于点G． 则下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③四边形平行四边形；④四边形的周长为．其中正 确的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题： 11、如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为　 　． 12、如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为　 　． 13、如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则点D到直线BC的距离为　 　． 14、如图1，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截 得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为　 　． 15、如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为，当　 　s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形. 16、如图， 在 中， 分别是边 上的点， 与 相交于点 与 相交于点 ． 若 ， 则图中阴影部分的面积为　 　． 第12题图 第14题图 第11题图 第13题图 第15题图 第16题图 三、解答题 17、在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)请在网格中画一个相邻两边长分别为、的平行四边形，使它的顶点都在格点上． (2)求出题（1）中平行四边形的面积及较长边上高线的长度． 第17题图 18、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG． （1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明． （2）求证：BG平分∠EGF． 第18题图 19、如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积． 第19题图 20、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝2． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若BD⊥AB，求AC的长． 第20题图 21、如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长． 第21题图 22、如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，4），（5，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B． （1）点B的坐标为 　 　； （2）求用含k的代数式表示b； （3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值． （4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围． 第22题图 23、综合与实践课上，李老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】（1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是__________________，位置关系是___________________； 【类比探究】（2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 24、如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，点是的中点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若点是直线上的一动点，当时，求点的坐标； （3）将直线向右平移3个单位长度得到直线，若点为平移后直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点为顶点，为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版八年级下册数学能力训练提高卷（4—5章）答案 1、 选择题 1、下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的每条对角线平分一组对角 C．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 D．矩形的对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】 A：平行四边形的对边相等 ，正确，不合题意； B：菱形的每条对角线平分一组对角，正确，不合题意； C：正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，正确，不合题意； D：矩形的对角线互相垂直平分，错误，矩形的对角线相等且互相平分，符合题意； 故答案为：D. 2、如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】∵，∴ ∵，∴∴ ∵∴四边形是平行四边形， 若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意； 若平分， ∴ ∴ 则四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意； 若且，则四边形是菱形，故D选 3.答案：A 解析：令， ∴， ∵将该直线沿轴向下平移4个单位长度后， ∴平移后解析式为：， 同理可求， ∵点与关于原点对称， ∴， 解得：, 故选择：A． 4、答案：A 解析：如图， 由折叠的性质得：, ,   ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， ， 在中，， , ∴, 故选择：A． 5、用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个三角形中（　　） A．每一个锐角都小于45° B．有一个锐角大于45° C．有一个锐角小于45° D．每一个锐角都大于45° 【答案】D 【知识点】反证法 【解析】 A、假设的就是结论，错误； B、假设的不是结论的反论，错误； C、假设的不是结论的反论，错误； D、假设的是结论的反论，正确。 故答案为：D． 【分析】 反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；反之则结论不成立. 6、如图，中，，、分别是、上两点，，，点、、分别是、、的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 7、如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA'等于（　　） A．cm B．cm C．cm或cm D． cm 【答案】D 8、如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：连接、，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴M、N两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积和， ∴， ∴． 故答案为：B． 【分析】连接、，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再求出阴影部分的面积和，可得，最后求出即可． 9、如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上的一点，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接交于点，连接， 四边形是菱形， ， ，，，， ， 设，，， ，， 点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：B. 10、答案：B 解析：如图所示，设和相交于点，      ∵，于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ∴，故①正确； 由①可得， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵沿直线翻折至所在的平面内，得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴设， ∴在中，， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长为： ，故④错误． 综上所述，正确的个数是3． 故选择：B． 二、填空题： 11、【答案】 【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质 12、【答案】 【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质 13、如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则点D到直线BC的距离为　 　． 【答案】 【解析】【解答】连接BD，∵AB，AD的中点，EF=2，∴BD=2EF=4，∵BC=5，CD=3，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，设点D到BC的距离为h，∴S△BDC= ，∴4×3=5h，∴h= ，故答案为： ． 【分析】连接BD，根据中位线的性质得BD=4，由勾股定理的逆定理得∠BDC=90°，结合三角形的面积公式，即可求解． 14、如图1，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为　 　． 【答案】 15、如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为，当　 　s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形. 【答案】2或6 【知识点】平行四边形的判定与性质 【解析】【解答】解：①如图，当点F在C的左侧时， 根据题意得： AE=tcm，BF=2tcm， ∴CF=BC-BF=(6-2t)cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=6-2t， 解得：t=2； ②如图，当点F在C的右侧时， 根据题意得： AE=tcm，BF=2tcm， ∴CF=BC-BF=(2t-6)cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=2t-6， 解得：t=6； 综上所述：当t=2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形. 故答案为：2或6. 【分析】分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，由AG∥BC，得AE=CF时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，用t表示出AE和CF，从而可得方程，解方程即可求得答案. 16、 如图， 在 中， 分别是边 上的点， 与 相交于点 与 相交于点 ． 若 ， 则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】9 【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质 【解析】【解答】解：连接EF，过A作AG⊥DC与点G，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD， ∵，，， ∴cm2， 同理，cm2， ∴阴影部分的面积为：cm2. 故答案为：9. 【分析】连接EF，过A作AG⊥DC与点G，由平行四边形的性质得AB//CD，于是有，用割补法表示出△ADP和△BCQ的面积，可得，，相加即可得到结论. 三、解答题 17、解析：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求； （2）如图所示， 过点A作 ∴平行四边形ABCD的面积= 又∵的面积 ∴上的高线 ∴较长边上的高为 如图所示，过点D作 ∴平行四边形ABCD的面积= 又∵的面积, ∴上的高线 ∴较长边上的高为 综上所述，平行四边形的面积及较长边上高线的长度分别为7，或5， 18、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG． （1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明． （2）求证：BG平分∠EGF． 【答案】（1）解：AF＝DE， AF⊥DE，理由如下： ∵ABCD 是正方形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°， ∵E、F分别为边AB、BC的中点， ∴AE＝BF． ∴△DAE≌△ABF（SAS）． ∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF． ∵∠DAG+∠EAG＝90°， ∴∠DAG+∠ADG＝90°． ∴∠AGD＝90°． ∴AF⊥DE； （2）证明：如图，过点B作BM⊥AF，垂足为M， 则BM∥ GE， ∵AE＝BE， ∴AG＝ GM． 设BF＝a，则 AB＝2a， ∴ ∴△BMG 为等腰直角三角形． ∴∠BGM＝45°，∠BGE＝90°﹣45°＝45°． ∴∠BGM＝∠BGE． ∴BG 平分∠EGF． 19、如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积． 【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB， ∴四边形DBCE是平行四边形． ∴EC∥DB，且EC=DB． 在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线， ∴AD=DB=CD． ∴EC=AD． ∴四边形ADCE是平行四边形． ∴ED∥BC． ∴∠AOD=∠ACB． ∵∠ACB=90°， ∴∠AOD=∠ACB=90°． ∴平行四边形ADCE是菱形 （2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6， ∴AD=DB=CD=6． ∴AB=12，由勾股定理得 ． ∵四边形DBCE是平行四边形， ∴DE=BC=6． ∴ 【解析】【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S= AC•DE进行解答． 20、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝2． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若BD⊥AB，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD＋∠ADC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示： 则∠CEA＝90°，CE∥BD， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∵∠BAD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴BD＝AB＝2， 由（1）可知，AD∥BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝2， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝2， ∴AE＝AB＋BE＝4， ∴AC＝． 故答案为：. 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得∠BAD＋∠ADC＝180°，再证明AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点C作CE⊥AB于点E，则∠E＝90°，CE∥BD，证明△ABD是等腰直角三角形，得BD＝AB＝2，再证明四边形CDBE是平行四边形，得BE＝CD＝2，CE＝BD＝2，则AE＝AB＋BE＝4，然后由勾股定理求出AC的长即可． 21、解析：（1）证明：，， ． 又是边的中点， ∴， 为的中位线， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， ， ． 22、解析：（1）∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∴AB可由OC平移得到， ∵点A（﹣2，4），点C（5，1），O（0，0）， ∴B（5﹣2，1+4）， 即B（3，5）， 故答案为：（3，5）； （2）将B（3，5）代入y＝kx+b，得：3k+b＝5， ∴b＝5﹣3k； （3）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B， ∴当一次函数y＝kx+b的图象将平行四边形OABC分成面积相等的两部分时，图象必过（0，0）点， 由（2）知：y＝kx+5﹣3k， ∴5﹣3k＝0， ∴； （4）当直线y＝kx+b经过A点时，得， 解得：， 当直线y＝kx+b经过C点时，得：， 解得：k＝﹣2， ∵一次函数y＝kx+b的图象与平行四边形OABC的边只有两个公共点， ∴或k＜﹣2． 23、解析：（1）由折叠性质得，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，则， ∴，即； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，，； （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立， 理由如下：由折叠，可得，． ∵为的中点， ∴． ∴． ∴， 又， ∴． ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （3）作于点，则， ∵，∴，∴，则为等腰直角三角形， ∵，∴，在中，由勾股定理可得， ∴． 24、如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，点是的中点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若点是直线上的一动点，当时，求点的坐标； （3）将直线向右平移3个单位长度得到直线，若点为平移后直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点为顶点，为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）求直线AC的解析式 首先，我们需要找到点A和点C的坐标。 ·点A是直线y=2x+4与x轴的交点。令y=0，解得x=-2，因此点A的坐标为(-2,0)。 ·点B是直线y=2x+4与y车轴的交点。令x=0，解得y=4，因此点B的坐标为（0,4）。 ·点C是OB的中点，因此点C的坐标为（0,2）。 接下来，我们求直线AC的解析式。直线AC经过点A（-2,0）和点C(0,2)，斜率为： 因此，直线AC的方程为： y=x+2 （2）当时，求点M的坐标 首先，计算三角形AOC的面积： 因此，三角形ABM的面积为： 设点M的坐标为(x,y)，则三角形ABM的面积可以通过以下公式计算： 代入点A（-2,0），点B(0,4)，点M(x,y)，得： 化简得： 8=|-8+2y-4x| 即： |-8+2y-4x|=8 解得： -8+2y-4x=8或-8+2y-4x=-8 进一步解得： 2y-4x=16或2y-4x=0 即： y-2x=8或y=2x 结合直线AC的方程y=x+2，解得： x+2-2x=8⇒-x=6⇒x=-6⇒y=-4 或： x+2=2x⇒x=2⇒y=4 因此，点M的坐标为(-6,-4)或(2,4) （3）将直线AB向右平移3个单位长度得到直线I，若点E为平移后直线I上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点，AE为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。 直线AB向右平移3个单位长度得到直线l，直线l的方程为： y=2(x-3)+4=2x-2 设点E的坐标为。 要使以点A、C、E、F为顶点的四边形为菱形，需要满足以下条件： ·AE=AC ·AE∥CF 首先，计算AE的长度： 由于AE=AC，且，因此： 解得： 因此，点F的坐标为，且满足上述条件。 综上所述，点F的坐标为（2,4）或(-6,-4) 。 学科网（北京）股份有限公司 $$