5.2 菱形 同步练习 2024-2025学年浙教版数学 八年级下册

5.2 菱形 同步练习 一、单选题（每题3分，共计30分） 1．下列说法中不正确的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．菱形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且相等 2．下面性质中菱形具有而矩形没有的是（　　） A．邻角互补 B．内角和为360° C．对角线相等 D．对角线互相垂直 3．若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（　　） A．15 B．24 C．30 D．60 4．数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下列是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否垂直 C．测量一组对角是否相等 D．测量四边是否相等 5．若菱形 的对角线 、 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．20 B．24 C．40 D．48 6．如图，已知▱ABCD，添加下列一个条件：①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD.其中能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 7．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，若 ， ，则菱形 的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图， 是菱形 的对角线 ， 的交点， ， 分别是 ， 的中点.下列结论中正确是（　　） ① ；②四边形 是菱形；③四边形 的面积为 ，④ . A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 9．方方同学在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D，则直线CD即为所求，根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 10．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，AB＝AE，若∠EAF＝75°，则∠C的度数为（　　） A．85° B．90° C．95° D．105° 二、填空题（每题3分，共计18分） 11．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是　 　. 12．在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为M，则线段AM的长为　 　. 13．在菱形 中， ， ，则菱形 的周长是　 　. 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE＝4，则 的长等于　 　. 15．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝5，以AC为边长作正方形ACFE，则点D到EF的距离为　 　. 16．如图，菱形 的边长为 ， ，点 是 边上任意一点（可以与点 或点 重合）， 分别过点 、 、 作射线 的垂线，垂足分别是 、 、 ，设 ，则 的取值范围是　 　. 三、解答题（8题共计52分） 17．如图，在 中， ， 为 边上的中线，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点 .求证：四边形 为菱形. 18．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB 于点H，连OH接，求证：∠DHO=∠DCO. 19．在矩形ABCD中，AB=3，AD=9，对角线AC、BD交于点O，一直线过O点分别交AD、BC于点E、F，且ED=4，求证：四边形AFCE为菱形。 20．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积. 21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=OC，连结CE. （1）求证：四边形OCED是矩形. （2）连结AE交OD于点F，若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长. 22．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN． （1）求证：四边形ANCM为平行四边形； （2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长． 23．如图所示，在 中， 平分 平分 . （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）如图2，当E为 的中点时，连接 ，求证： ； （3）在（2）的条件下，若 ，直接写出 的面积. 24．矩形 的顶点 ， 分别在菱形 的边 ， 上，顶点 ， 在菱形 的对角线 上. （1）求证： ； （2）若 为 中点， ，求菱形 的周长. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质 【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角相等，此说法正确，故此选项不符合题意； B、菱形的四条边都相等，故此选项说法正确，不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，此说法正确，故此选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直平分，故此选项说法错误，符合题意． 故选：D． 【分析】根据平行四边形的性质对AC作判断；根据菱形的性质对BD作判断. 2．【答案】D 【知识点】菱形的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：A、菱形和矩形的邻角都互补，错误； B、菱形和矩形的内角和都为360° ，错误； C、菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，错误； D、菱形的对角线互相垂直， 矩形的对角线互相不垂直， 正确； 故答案为：D. 【分析】菱形的性质有：四边相等，两组对边分别平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角；矩形的性质有：两组对边分别平行且相等，邻角互补，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，据此分别判断即可. 3．【答案】C 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：菱形的面积= ×6×10=30， 故答案为：C. 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，据此计算即可. 4．【答案】D 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：A、 测量对角线是否相等，不能判定四边形的形状，不符合题意： B、测量一组对角对角线是否垂直 ，不能判定四边形的形状，不符合题意； C、测量一组对角是否相等，不能四边形判定形状，不符合题意； D、测量四边是否相等 ，∵四边相等的四边形是菱形，符合题意； 故答案为：D. 【分析】菱形的判定定理有：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；根据菱形的判定定理分别判断即可. 5．【答案】A 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，AO＝ AC＝3，BO＝ BD＝4，且AO⊥BO， ∴AB= =5， ∴这个菱形的周长=4AB＝20. 故答案为：A. 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，结合菱形四边相等即可得出周长. 6．【答案】A 【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定 【解析】【解答】解： ①∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，正确； ②∵四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=90° ，∴四边形ABCD是矩形，错误； ③∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD为菱形，正确； ④∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，∴∴四边形ABCD是矩形，错误； 综上，正确的是①③ . 故答案为：A. 【分析】菱形的判定定理有：邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角平分对角的平行四边形是菱形；依此分别判断即可. 7．【答案】A 【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD=90°， ∴BD=2OH， ∵OH=2， ∴BD=4， ∵OA=3， ∴AC=6， ∴菱形ABCD的面积 ． 故答案为：A． 【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线定理求出对角线的长即可求出菱形的面积。 8．【答案】A 【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形 ∴OA=OC， ∵E、F分别是OA、OC的中点. ∴ ， . ∴ . ∵ ∴ ，故①正确 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ，OB=OD ∴AC是BD的垂直平分线 ∴BE=ED ∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点. ∴EF⊥OD，OE=OF. ∴BD是EF的垂直平分线 ∴DE=DF，BE=BF. ∴DE=DF=BE=BF. ∴四边形BFDE是菱形.②正确 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ， ∴菱形ABCD的面积 ，故③不正确； 由已知无法求得 ，故④不正确 所以正确的结论有①②， 故答案为：A. 【分析】 ①根据菱形的性质先证AE =OF，然后根据三角形的面积公式即可得出得出结果； ②根据菱形的性质，结合OE=OF，即可判断已知条件四边形是菱形；③根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可判断；④根据已知无法得出∠ABE=∠OBE，逐一判断可得答案. 9．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：连接AC、AD、BC、BD，如图， 由作法得AC=AD=BC=BD， 所以四边形ADBC为菱形， 所以CD垂直平分AB. 故答案为：B. 【分析】连接AC、AD、BC、BD，利用作法可知CD垂直平分AB，利用垂直平分线的性质可证得AC=AD=BC=BD，可得到睡不醒ADBC是菱形，利用菱形的性质可证得结论. 10．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD， 在△ABE和△ADF中， ∵ ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF＝∠BAE， 设∠BAE＝∠DAF＝x， ∴∠DAE＝75°＋x， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝75°＋x， ∵AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB＝75°＋x， ∵∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°， ∴x＋75°＋x＋75°＋x＝180°， ∴x＝10°， ∴∠BAD＝95°， ∴∠C＝95°， 故答案为：C. 【分析】 利用菱形的性质可证得 AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，利用SAS周末△ABE≌△ADF，利用全等三角形的性质可证得∠DAF=∠BAE，设∠BAE＝∠DAF＝x，可表示出∠DAE，利用平行线的性质可表示出∠AEB，利用等边对等角可表示出∠AEB，然后根据三角形的内角和为180°，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠BAD的度数，即可求出∠C的度数. 11．【答案】6 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质 【解析】【解答】解：如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6. 故答案为：6. 【分析】根据菱形的性质得出AB=BC，结合∠ABC=60°，则可得出△ABC是等边三角形，则可求出AC=AB，即可解答. 12．【答案】5.5或0.5 【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【解答】①如图1， 当E在线段AD上时，在菱形BCFE中，BE=BC=EF=5. 是EF的中点， . 在矩形ABCD中， . 在Rt 中，由勾股定理得 ， ； ②如图2， 当点E在线段DA的延长线上时，同理可求AM=AE-EM=3-2.5=0.5. 故答案为：5.5或0.5 【分析】分两种情况讨论，即①当E在线段AD上时，当点E在线段DA的延长线上时，根据菱形的性质求出EF长，结合中点的定义求出EM长，然后根据勾股定理求出AM，最后根据线段的和差关系求出AM长即可. 13．【答案】20 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ，AC⊥BD， ∴△ABO是直角三角形， 由勾股定理，得 ， ∴菱形 的周长是： ； 故答案为：20. 【分析】根据菱形的性质求出AO和BO的长，然后在Rt△ABO中，根据勾股定理求AB，则可求出菱形的周长. 14．【答案】6 【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解： 四边形 是菱形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 由折叠的性质得： ， 故答案为：6. 【分析】先根据菱形的性质可得 ，从而可得 ，再根据三角形全等的判定定理证出 ，从而可得 ，然后根据折叠的性质即可得. 15．【答案】5+ 或5﹣ 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：连接AC、BD将于O， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴△ACD是等边三角形，且DO⊥AC. ∴AC=AD=AB=5，OA= ∴DO＝ 分两种情况讨论： ①当正方形ACFE边EF在AC左侧时， 过D点作DH2⊥EF，DH2长度表示点D到EF的距离， DH2＝5+DO＝5+ ； ②当正方形ACFE边EF在AC右侧时， 过D点作DH1⊥EF，DH1长度表示点D到EF的距离， DH1＝5﹣DO＝5﹣ . 故答案为5+ 或5﹣ . 【分析】连接AC、BD将于O，由菱形的性质并根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得△ACD是等边三角形，且OD⊥AC，然后用勾股定理可求得OD的值，结合题意可分两种情况讨论： ①当正方形ACFE边EF在AC左侧时，过D点作DH2⊥EF，DH2长度表示点D到EF的距离，根据DH2＝OH2+DO可求解； ②当正方形ACFE边EF在AC右侧时，过D点作DH1⊥EF，DH1长度表示点D到EF的距离，根据DH1＝OH1﹣DO可求解. 16．【答案】 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接AM， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC＝ ，∠ABO＝30°， ∴AO＝ AB＝ ， ∴AC＝ ， ∵BO＝ ， ∴BD＝3， ∴菱形ABCD的面积＝ ， ∵S△ABM＝ ×BM×AE，S△BCM＝ ×BM×CF，S△BMD＝ ×BM×DG， ∴S△ABM+S△BCM+S△BMD＝ S菱形ABCD+ S菱形ABCD＝ ×BM×（AE+CF+DG）， ∴ ＝ ×BM×m， ∵ ≤BM≤3， ∴ ≤m≤3， 故答案为： ≤m≤3. 【分析】连接AC、BD交于点O，连接AM，再利用S菱形ABCD=S△ABM+S△BCM+S△BMD= ×BM×（AE+CF+DG），得出 ＝ ×BM×m，即可得出m的取值范围. 17．【答案】证明：∵CE∥AB，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形. 又∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线， ∴CD= AB. 又∵CD为AB边上的中线 ∴BD= AB， ∴BD=CD， ∴平行四边形BECD是菱形 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定 【解析】【分析】由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BECD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB=BD，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BECD是菱形. 18．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD=OB，∠COD=90°， ∵DH⊥AB， ∴OH= BD=OB， ∴∠OHB=∠OBH， 又∵AB∥CD， ∴∠OBH=∠ODC， 在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°， 在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°， ∴∠DHO=∠DCO 【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】利用菱形的对角线互相垂直平分可证得OD=OB，∠COD=90°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OH=OB，接着利用等边对等角可证得∠OHB=∠OBH，利用平行线的性质可证得∠OBH=∠ODC，然后利用三角形的内角和定理及等角的余角相等可证得结论. 19．【答案】证明：∵矩形ABCD ∴AO=CO，AD∥CD ∴∠EAO=∠FCO 在△AOE和△COF中 ∴△AOE≌OCOF ∴AE=CF 又∵AE∥CF ∴四边形AFCE为平行四边形 ∵矩形ABCD ∴∠EDC=90°，AB=CD 又∵AB=3，AD=9，ED=4 ∴AE=9-4=5， EC= =5 ∴AE=EC ∴四边形AFCE为菱形 【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】运用矩形的性质结合全等三角形的判定和性质即可得到AE=CF，再由平行四边形的性质和判定、矩形的判定结合勾股定理即可得到CE的长，进而得到AE=CE，最后结合菱形的判定即可求解. 20．【答案】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO， ∴AB=5， ∴周长L=4AB=20； ∵菱形对角线相互垂直， ∴菱形面积是S= AC×BD=24. 综上可得菱形的周长为20、面积为24 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【分析】由菱形的性质可得：AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，结合勾股定理可得AB，进而求得菱形的周长，由菱形的对角线互相垂直可得菱形的面积. 21．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DE=OC， ∴四边形OCED是平行四边形 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠DOC=90°， ∴四边形OCED是矩形。 （2）解： 菱形ABCD的边长为6， 是等边三角形 在 中， ， 四边形OCED是矩形， ， 在 中， ， 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】(1)先证明四边形OCED是平行四边形，结合四边形ABCD是菱形，则可得出∠DOC=90°，则可证得四边形OCED是矩形； (2)根据菱形的性质，结合∠ABC=60°，得出△ABC为等边三角形，则可求出AC长，在Rt△ACE中，根据勾股定理求出AE长即可. 22．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点， ∴AD∥BC，AO＝CO， ∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴AM＝CN， ∵AM∥CN， ∴四边形ANCM为平行四边形； （2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC， 由（1）知：AM＝CN， ∴DM＝BN， ∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC， ∴平行四边形ANCM为菱形， ∴AM＝AN＝NC＝AD−DM， ∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得 AN2＝AB2＋BN2， ∴（4−DM）2＝22＋DM2， 解得：DM＝ ． 【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【分析】（1）利用矩形ABCD的性质，证明△AOM≌△CON（AAS）， 得出AM＝CN， 然后判定四边形ANCM为平行四边形； （2）先证明平行四边形ANCM为菱形，然后利用菱形的性质，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2＋BN2，求得DM。 23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC. 又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠CDE. 又∵AB∥CD， 又∵∠CDE＝∠AED， ∴∠ABF＝∠AED， ∴DE∥BF， ∵DE∥BF，DF∥BE， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：连接EF， ∵四边形DEBF是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，DF=BE， ∵E为 的中点， ∴DF=BE=AE=CF= ， 又∵BE∥CF， ∴四边形BEFC是平行四边形，∠ABF=∠CFB， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CFB=∠CBF， ∴CF=CB， ∴四边形BEFC是菱形， ∴CE⊥BF， 又∵BF∥DE， ∴ ； （3）解：∵四边形BEFC是菱形，四边形ABCD是平行四边形， ∴EF=BC=AD=8， ∵ ，点F是CD的中点， ∴CD=2EF=16， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积=2 = . 【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质 【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出∠ADC＝∠ABC，然后根据角平分线的定义求出∠ABF＝∠CDE，再由平行线的性质，推出DE∥BF，结合DF∥BE，即可判定四边形DEBF是平行四边形； (2)先根据平行四边形的性质，结合E为 的中点，证明四边形BEFC是平行四边形，再结合BF平分∠ABC，可证四边形BEFC是菱形， 得出CE⊥BF， 再根据平行线的性质即可得证； (3) 利用平行四边形的性质求出EF，然后根据直角三角形斜边上中线的性质求出CD， 利用勾股定理求出CE，再求出△CDE的面积，则 的面积可求. 24．【答案】（1）证明：在矩形 中， ， . . ， ， . 在菱形 中， ， . ， . （2）解：连结 .在菱形 中， ， . 为 的中点， ， ， 且 . 四边形 中， . ， 菱形周长为16. 【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得EH=EG，EH∥GH，利用平行线的性质可证得∠GFH=∠EHF，再证明∠BFG=∠DHE，利用菱形的性质可证得∠GBF=∠EDH，利用AAS证明△BGF≌△DEH，利用全等三角形的性质可证得结论. （2）连接EG，利用菱形的性质，可得到AD∥BC，AD=BC，利用线段中点的定义可证得AE=BG，可证得四边形EFGH是平行四边形，可证得AB=EG，利用矩形的性质，可证得EG=FH=4，可求出AB的长，然后求出菱形ABCD的周长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$