精品解析：江苏省无锡市江阴市2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年第二学期期中考试 初一数学试卷 （满分120，考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列哪个图形是由左图平移得到的（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程组的解为的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（　 　） A. B. C. D. 7. 若中不含项，则，满足的数量关系是（） A B. C. D. 8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 10. 在1，2，3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ） A. 7 B. 1 C. 3 D. 9 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺．7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为______． 12. 已知2，3，则的值是________． 13. 在方程中，用的代数式表示，得_____． 14. 如果，那么_____ ． 15. 若是关于x完全平方式，则_____ ． 16. 一个正方形边长增加了3cm，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为________cm． 17. 如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有_____种． 18. 若a，b满足，则的值为_____． 三．解答题（共8小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 解方程组： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． （1）在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），线段扫过图形的面积为 ； （2）在图（2）中画出将绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），线段与线段的位置关系为 ． 24. 如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． （1）作边的中点D； （2）作的平分线，交边于点E； （3）作点C关于直线的对称点F； （4）直接写出的长为 ． 25. 某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没． 第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至． 第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至． （1）求每个A型物体和B型物体的体积； （2）若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深． 26. 在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． （1）已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求值． （2）对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期中考试 初一数学试卷 （满分120，考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列哪个图形是由左图平移得到的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的定义直接判断即可． 【详解】由平移知，C选项可以通过平移得到，其余选项都不可以通过平移得到， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的定义，解题关键是平移前后图形的形状和大小不发生改变，同时图形的摆放角度也不发生改变． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算结果错误，不符合题意； B、，原运算结果正确，符合题意； C、，原运算结果错误，不符合题意； D、，原运算结果错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 根据平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：A、不可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，符合题意； C、不可以用平方差公式计算，不符合题意； D、不可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 4. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】把代入选项A第2个方程不成立，故错误； 把代入选项B第2个方程不成立，故错误； 把代入选项C第1个方程不成立，故错误； 把代入选项D两个方程均成立，故正确； 故选D. 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 6. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（　 　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的乘方法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的法则是解决问题的关键． 7. 若中不含项，则，满足的数量关系是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含项，即可求出a与b的值． 【详解】 ∵不含项， 故选：C． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设客人为x人，银子为y两，根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设客人x人，银子为y两，根据题意，得, 故选：A． 9. 如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为，，， ， 两个阴影部分都是正方形且面积和为60， 重叠部分的面积为 故选A． 10. 在1，2，3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ） A. 7 B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据不能被2整除也不能被5整除的数的尾数为1，3，7，9，分为10组，进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：不能被2整除也不能被5整除的数的尾数为1，3，7，9，共分为10组， ∵， ∴每组乘积的个位数字为9， ∵，共有5个相乘， 故尾数为1； 故选：B． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺．7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 已知2，3，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，根据相应的运算法则求解即可． 【详解】， 故答案为：． 13. 在方程中，用的代数式表示，得_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为“”，得， 故答案为：． 14. 如果，那么_____ ． 【答案】729 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，将转化为，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：729． 15. 若是关于x的完全平方式，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，结合完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 16. 一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了方程的应用，解题的关键是正确设出未知数，列出方程．设原来正方形的边长为acm，根据题意列出方程解答即可， 【详解】解：设原来正方形的边长为acm，则现在边长为， 根据题意可得：， 解得： ∴原来这个正方形的边长为5cm． 故答案为：5． 17. 如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有_____种． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种； 故答案为：8． 18. 若a，b满足，则的值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，非负性，将等式左边化为两个完全平方式的和的性质，根据非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 三．解答题（共8小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）进行零指数幂，负整数指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可； （2）进行同底数幂的乘法，积的乘方和同底数幂的除法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式． 20 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，熟练相关相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 21. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②，得：，解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：， ∴方程组的解为：． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【解析】 【分析】先提取公因式，再整理即可化简．将，代入化简后的式子求值即可． 【详解】 ， 将，代入，得：． 【点睛】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键． 23. 如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． （1）在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），线段扫过图形的面积为 ； （2）在图（2）中画出将绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），线段与线段的位置关系为 ． 【答案】（1）图见解析，14 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移的性质，旋转的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，画出平移后的图形，根据分割法求出线段扫过图形的面积即可； （2）根据旋转的性质，画出，判断线段与线段的位置关系即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知：线段扫过图形的面积为：； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由图可知：， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． （1）作边的中点D； （2）作的平分线，交边于点E； （3）作点C关于直线的对称点F； （4）直接写出的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点定义，线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，点即为所求； 【小问4详解】 由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 25. 某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没． 第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至． 第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至． （1）求每个A型物体和B型物体的体积； （2）若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深． 【答案】（1）每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为 （2）此时容器内的水深为 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）先求得第一和第二次实验浸没物体总体积，再列二元一次方程组，求解即可； （2）根据第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：第一次实验：浸没物体总体积， 第二次实验：浸没物体总体积． 列方程组， 解得：， 答：每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为； 【小问2详解】 解：， 答：此时容器内的水深为． 26. 在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． （1）已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． （2）对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$