天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期高二年级期中考试 数学试卷(2025.04) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求. 1.设随机变量= ( ) A.0.65 B.0.7 C.0.35 D.0.25 2.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为( ) 3.在 的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为( ) A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 4.随机变量X的分布列如下，且 则( ) x -1 0 1 P a b 5.某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有( )种 A. 36 B. 40 C. 32 D. 42 6.多项式 的展开式中含x²项的系数为 ( ) A. - 2 B. - 4 C. 2 D. 4 7.下列命题正确的是 ( ) A. 已知随机变量X~B(), 若 则 B. 若随机变量X满足D(X)=2, 则D(3-X)=1 C. 已知随机变量 若E(2X+1)=9, 则=4 D.已知随机变量 则 8定义在R上的奇函数满足时, 成立，若 则a，b，c的大小关系是( ) A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a 9.已知函数若函数 有8个不同的零点，则a的取值范围是( ) B. (2 ,8) D. (2 ,3) 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11小题，共105分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题纸上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 10.已知在 的二项展开式中，所有项的系数和为M，所有项的二项式系数和为N，则M+N= . 11.袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是 ；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B, 则P(B|A)= . 12. 函数的最小值为 . 13.天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为 . 14.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为5%，4%，4%.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 . 15. 已知A是曲线.y=eˣ.上的点, B是曲线y= lnx上的点, |AB|≥a恒成立，则实数a的取值范围是 . 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分14分) 甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为 ，乙投篮一次命中的概率为 每人各投4个球，两人投篮是否命中互不影响. (I)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； (II)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数X的分布列和数学期望. (17) (本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD为直角梯形, BC//AD, CD⊥AD, 其中2BC = AD=4, CD=1, E是PD的中点, O是AD的中点. (Ⅰ) 求证: PO⊥平面ABCD; (II)求平面 PAB 与平面PBC夹角的余弦值; (III) 求点 E到平面 PAB 的距离. (18) (本小题满分15分) 已知等差数列 的公差d≠0，它的前n项和为 ，若 且a₁, a₇, a₃₇成等比数列. (I)求数列的通项公式； (II)中的第2项,第4项,第8项,…,第2"项,按原来的顺序排成一个新数列{bₙ},求{bₙ}的前n项和 . (III) 已知数列 若数列 的前n项和为T，，求证： (19) (本小题满分15分) 已知直线x=2经过椭圆 的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 (Ⅰ)求椭圆C的标准方程； (II)椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O: 相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为k₁， k₂，试探究当k₂≠0时,k₂是否为定值，并说明理由. (20) (本小题满分16分) 设函数 (I) 若曲线在点(1,0)处的切线方程为 求a的值; (II) 当x>1时 恒成立，求实数a的取值范围； (III) 证明: 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$