精品解析：河南省驻马店市西平县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期期中素质测试 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 5，12，14 D. 7，24，29 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 5. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 6. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 8. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 9. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中偏度值”为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平行四边形中，，则______． 12. 实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是______． 13. 如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，②的面积分别为4，3，则图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 15. 如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算． （1）； （2）． 17. 如图，内部有一点D，且． （1）判断的形状； （2）求四边形的面积． 18. 如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．说明得到的过程． 19. 已知a、b、c满足 （1）求a、b、c的值； （2）以a、b、c为边能否构成一个三角形，如果能构成，请判断三角形的形状． 20. 下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成任务． 解： ………第一步 …………第二步 ……………………………第三步 ………………………………………第四步 任务： （1）从第二步到第三步运用的乘法公式是__________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）上述解题过程中，最开始出现错误的步骤是第__________步； （3）请写出正确的解题过程． 21. 已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点． （1）求证：； （2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论． 22. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 23. 如图，点E，F分别在正方形的边，上，且，点P在射线上（点P不与点F重合）．将线段绕点E顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线，垂足为点H，交射线于点Q． （1）如图1，若点E是的中点，点P在线段上，线段，，的数量关系为________． （2）如图2，若点E不是的中点，点P在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中素质测试 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 5，12，14 D. 7，24，29 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个数叫做勾股数，进行判断即可．熟记常见的勾股数，可以快速解题． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选A． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，正确，故本选项不符合题意； B、，正确，故本选项不符合题意； C、，正确，故本选项不符合题意； D、，原计算错误，故本选项符合题意； 故选：D 3. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出的取值范围，继而得出答案． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得， 在四个选项中符合的是2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 4. 一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的三边长为，为斜边，利用勾股定理可得，据此解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的三边长为，为斜边， 由勾股定理得，， ∵一个直角三角形的三边长的平方和为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即斜边长为， 故选：． 5. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里， ∴OM2+ON2=MN2， ∴∠MON=90°， ∵∠EOM=20°， ∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°． 故选C． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键． 6. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 7. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，再判断即可． 【详解】解：， 即是型无理数， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则，正确理解型无理数是解此题的关键． 8. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 9. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中偏度值”为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考察了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：作于点D，为的中线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为斜边上的中线，， ∴， ∴， 即点到的距离为， ∴中边的“中偏度值”为：， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，为的长，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∴点在线段上时，的值最小，为的长， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∴的最小值为； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平行四边形中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行结合平行线的性质得到，则，再根据已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 13. 如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，②的面积分别为4，3，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，二次根式的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵正方形①，②的面积分别为4，3， ∴正方形①，②的边长分别为， ∴长方形的长为，宽为2，正方形3的边长为， ∴阴影部分的面积为： ； 故答案为：． 14. 如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意取的中点F，连接，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出即可． 本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用． 【详解】解：取的中点F，连接， ， 点M是的中点， 是的中位线， ，， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 15. 如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质结合勾股定理分别求解即可． 【详解】解：如图中，当时， ， ， ∴，，共线， ∵是的中点， ∴， ∵， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ； 如图中，当时，， ∴根据折叠可知：， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式的运算是解题的关键. （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先计算二次根式的除法与乘法，再合并同类二次根式即可得到答案. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，内部有一点D，且． （1）判断的形状； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）直角三角形 （2）24 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证得； （2）根据求面积． 【小问1详解】 ∵. 在中，根据勾股定理得： 则， ∵ ∴ 则是直角三角形； 【小问2详解】 则四边形面积为24． 18. 如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．说明得到的过程． 【答案】△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质证明△EBC≌△DAC，即可得到△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的． 【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ECD=60°=∠ACB=60°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECD=∠ACD， ∴△EBC≌△DAC（SAS）， ∴AD=BE， ∴△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的． 【点睛】本题主要考查了旋转设计图案，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 19. 已知a、b、c满足 （1）求a、b、c的值； （2）以a、b、c为边能否构成一个三角形，如果能构成，请判断三角形的形状． 【答案】（1），， （2）能构成，直角三角形 【解析】 【分析】本题考查非负性，勾股定理逆定理，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键： （1）根据非负性求出的值即可； （2）利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，，， ，，； 【小问2详解】 以a、b、c为边能构成一个三角形． 、b、c为边的三角形是直角三角形． 20. 下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成任务． 解： ………第一步 …………第二步 ……………………………第三步 ………………………………………第四步 任务： （1）从第二步到第三步运用的乘法公式是__________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）上述解题过程中，最开始出现错误的步骤是第__________步； （3）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）平方差公式 （2）三 （3） ． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算. （1）利用平方差公式进行计算； （2）第三步，计算错误； （3）利用乘法公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：从第二步到第三步运用的乘法公式是平方差公式； 故答案为：平方差公式； 【小问2详解】 第三步，的平方计算错误； 故答案为：三； 【小问3详解】 略 21. 已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点． （1）求证：； （2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵M是的中点， ∴， 在和中，， ∴； （2） 解：四边形是菱形；理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵E、F分别是线段的中点， ∴，， ∴， 又∵N是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，再由M是的中点，根据即可证明； （2）先由（1）得出，再由已知条件证出，是的中位线，即可证出，得出四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 22. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，熟知菱形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行，平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直平分得到，再利用勾股定理求出，接着证明四边形是矩形，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 23. 如图，点E，F分别在正方形的边，上，且，点P在射线上（点P不与点F重合）．将线段绕点E顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线，垂足为点H，交射线于点Q． （1）如图1，若点E是的中点，点P在线段上，线段，，的数量关系为________． （2）如图2，若点E不是的中点，点P在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） （1）中的结论仍然成立．理由如下： 由题意得，，， ，， 四边形是正方形 ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． （1）证明，得到，根据中点的定义结合线段的和差关系即可得出结论； （2）证明，得到，根据线段的和差关系，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由旋转可知：，， ，， 四边形是正方形 ， 在和中 ， ， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $