精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2025届高三下学期模拟预测数学试题

高三数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 5. 已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线夹角为，且点在上，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 或2 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上有2个零点 10. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ） A. B. 变量y与x的相关系数 C. 当时，残差为-1.5 D. 代谢约10小时后才需要补充药物 11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式，则__． 13. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 14. 三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 参加跳绳比赛 （1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关 （2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率． 附：其中． 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 17. 已知． （1）若在定义域上单调递增，求a的取值范围； （2）若有极大值m，求证： 18. 已知椭圆的一个焦点短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 19. 如果数列满足：存在实数，，使得对任意，有，则称数列有界，其中为的下界，为的上界． （1）写出数列无界的定义； （2）已知，，数列，的前项和分别为，，讨论数列，的有界性： （3）两个整数数列，满足方程：，，证明：存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解不等式化简集合，根据集合的基本运算可得结果. 【详解】由题意得，，， ∴. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 4. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项列式求出公比即可得解. 【详解】由，，成等差数列，得，则， 即，因此等比数列的公比， 所以. 故选：C 5. 已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线夹角为，且点在上，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线夹角得到渐近线方程，然后得到或，再设双曲线方程，根据进行取舍. 【详解】由双曲线的两条渐近线夹角为，可知的渐近线方程为或， 由（其中为渐近线的斜率），解得或， 若，如图，令，点不可能在双曲线上； 或设双曲线方程为：，则无解； 若，设双曲线方程为：，则， 此时双曲线方程为：. 故选：C． 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ， ． 故选：B. 7. 已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 8. 已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作函数的大致图像（实线），平移直线，数形结合得出实数k的取值范围. 【详解】如图，作函数的大致图像（实线），平移直线，由可得，，，故当时，直线与曲线相切；当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；当时，直线经过点，且与的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当时，的图像与直线有3个不同的交点． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上有2个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，因，即的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，当时，，因正弦函数在上单调递减， 故在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，由，得或， 解得或，即在上有2个零点，D正确. 故选：ACD 10. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ） A. B. 变量y与x的相关系数 C. 当时，残差为-1.5 D. 代谢约10小时后才需要补充药物 【答案】AC 【解析】 【分析】根据样本中心点计算求解判断A，根据单调性判断B，应用回归直线计算求解得出残差判断C，计算判断得出D. 【详解】因为样本中心点在直线上，所以，A选项正确； 血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数，B选项错误； 当时，，残差为，C选项正确； 令，解得，D选项错误； 综上所述，应选AC． 故选：AC. 11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数和即可依次分析判断ABC，由题设依次求出即可判断D. 【详解】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以 ，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是求出函数和是周期为6的函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出． 【详解】解：令得，①， 令得，② ①②得，． 故答案为：． 13. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】设，则， 设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， 所以，解得， 所以，所以， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键. 14. 三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由余弦定理得，在中，用正弦定理得，在中，得，利用切弦互化法即可得到结果. 【详解】 因为的三边长分别为1，1，，不妨设,如上图， 由余弦定理得,得， 故,在中,, 用正弦定理得,得到， 在中，, 用正弦定理得, 得到， 用差角的正弦公式得：， 得， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在中，用正弦定理得， 在中，得，两次转化后再利用切弦互化法即可得到结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 参加跳绳比赛 （1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关 （2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率． 附：其中． 【答案】（1）有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）利用分层抽样求出抽取的12人中参加与未参加跳绳的人数，再借助组合计数问题求出古典概率. 【小问1详解】 由表格中的数据，得， 所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关． 【小问2详解】 利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人， 老师甲从这人中随机选取人，记“至少有人参加跳绳比赛”为事件， 则， 所以至少有人参加跳绳比赛的概率是. 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO 可证明结论； （2）通过证明DE平面PBC，可得，结合可得平面； （3）由题意易知是平面与平面的夹角，且，分别求出的值，利用，即可求出答案. 【小问1详解】 连接AC，交BD于O，连接EO. 因O，E分别为中点，则， 又平面EDB，平面EDB， 则面； 【小问2详解】 因四边形ABCD是正方形，则BC， 又底面平面，则BC. 因平面，，则平面. 又平面，则， 因，E是PC的中点，则. 又平面，，则平面PBC， 因平面PBC，则，又，平面，， 则平面； 【小问3详解】 由（2）及平面可知， 故是平面与平面的夹角， 不妨设，∴， 在中，，，， 又面，∵面，∴, 在中，， ∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 17. 已知． （1）若在定义域上单调递增，求a的取值范围； （2）若有极大值m，求证： 【答案】（1） （2） 由（1）可知，当有两个不同的零点时，， 此时， 且时，时， 所以，则，，其中， 因为时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以为的极大值点，则， 且， 设，则， 所以在单调递增， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）先求，令，通过求导判断函数的单调性求解最小值，结合题意列不等式即可求解； （2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，，由，则，，判断的单调性，可得，通过求导即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为， 可得， 令， 所以， 因为时，，所以单调递减， 时，，所以单调递增， 所以， 因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以，即； 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的一个焦点短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质来确定方程参数； （2）（i）判断点与圆的位置关系通过向量的数量积来实现；（ii）利用直线与椭圆方程联立得到相关点的坐标关系，再结合等边三角形的性质建立等式求解直线方程. 【小问1详解】 由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 （i）由题意得，， 当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立， 设， 则 故在以为直径的圆外. （ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形， 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又，由（i）得， ，由于在直线上，所以 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则 解得，即， 故直线的方程为或. 19. 如果数列满足：存在实数，，使得对任意，有，则称数列有界，其中为的下界，为的上界． （1）写出数列无界的定义； （2）已知，，数列，的前项和分别为，，讨论数列，的有界性： （3）两个整数数列，满足方程：，，证明：存在，使得． 【答案】（1）见解析 （2）有界；无界 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据有界的含义可得无界的定义； （2）由题意结合有界的定义与无界的定义分别计算可判断，的有界性； （3）记点，则由条件得，分点重合与点不重合两种情况，结合向量的数量积讨论可得结论. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 对于数列，当时，， 当时，因为， 所以， 又，所以，所以有界； 对于数列，先证时，， 令，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 令，有，所以， 对于，取，表示不超过的最大整数， 所以，所以无界； 【小问3详解】 记点，则由条件得， ①若点重合，则，所以，所以； ②若点不重合，则点在以线段为直径的圆上， 所以是单调不增的数列，因为，所以， 当充分大时，要么，所以与重合，所以， 要么，所以充分大时，所有点均重合， 所以存在，使得． 【点睛】关键点点睛：关键在于理解有界与无界的定义，从而结合定义计算，可判断结论，证明无解，关键在于证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $