精品解析：上海市长征中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

长征中学2024学年第二学期高一年级期中考试试卷 数学学科 （时间90分钟，满分100分） 2025.04 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 终边在轴上的角的集合是_____________________． 2. 半径为3，圆心角等于的扇形的面积是______． 3. 中，且，则外接圆的半径是_____________． 4. 函数的最小正周期是______. 5. 函数的单调增区间是______. 6. 已知向量，，若，则______. 7. 若，则______. 8. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，，，则_____. 9. 已知向量，，则在方向上投影向量为____________． 10. 已知锐角，满足及，则______. 11. 已知向量，满足，，，则的值为______. 12. 函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题3分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得分，否则一律得零分. 13. 是等式成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（ ）. A B. C. D. 15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 已知菱形的边长为，点分别在边上，，.若，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与夹角. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，． （1）求的值； （2）若四边形是平行四边形，求点的坐标． 19. 若是关于x方程的两根. （1）求a； （2）求的值. 20. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求： (1)A处与D处的距离； (2)灯塔C与D处的距离． 21. 设常数，已知函数，其中. （1）当时，求在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的值； （3）若，求方程在区间上的解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长征中学2024学年第二学期高一年级期中考试试卷 数学学科 （时间90分钟，满分100分） 2025.04 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 终边在轴上的角的集合是_____________________． 【答案】 【解析】 【详解】由于终边在y轴的非负半轴上的角的集合为 而终边在y轴的非正半轴上的角的集合为， 终边在轴上的角的集合是， 所以，故答案为. 2. 半径为3，圆心角等于的扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】因为扇形所在圆的半径为，且圆心角为， 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为. 故答案为：. 3. 中，且，则外接圆的半径是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理的推论，可直接求得答案. 【详解】设外接圆的半径为， 则 ，即 ， 故 ， 故答案： 4. 函数的最小正周期是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求结论. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 5. 函数的单调增区间是______. 【答案】, . 【解析】 【分析】根据正弦函数性质求函数的单调增区间即可. 【详解】函数的单调增区间是, . 故答案为：, . 6. 已知向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故答案为：. 7. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，即可求解. 【详解】 则. 故答案为： 8. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，，，则_____. 【答案】5 【解析】 【分析】 将向量的数量积转化为基底，的运算. 【详解】平行四边形ABCD中，，， 则. 故答案为：5. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，求解时注意基底的选择. 9. 已知向量，，则在方向上的投影向量为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求出答案. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为：. 10. 已知锐角，满足及，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合角的范围根据同角关系求，，再根据两角差的正弦公式求. 【详解】由已知，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故答案为：. 11. 已知向量，满足，，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算性质和模的性质证明，代入已知条件可得结论. 【详解】因为， ， 所以， 又，，， 所以， 所以，故. 故答案为：. 12. 函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 【答案】， 【解析】 【分析】求函数的最小正周期，条件可转化为与关于对称，且，由此可求的值，的范围. 【详解】因为，所以函数的最小正周期， 所以函数在区间上的图象为一个周期的图象， 又函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，， 所以与关于对称，且， 所以，即， 故，所以， 故答案为：，. 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题3分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得分，否则一律得零分. 13. 是等式成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】当时，成立. 当时，或 所以由不能得出成立 所以是等式成立的充分不必要条件 故选：A 14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义求，结合诱导公式求. 【详解】因为角以为始边，终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 故选：B. 15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 16. 已知菱形的边长为，点分别在边上，，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算律可得，，解方程可求的值. 【详解】因为， 所以 ①， 又，②， 由①②解得． 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用向量的数量积的运算律计算可得的方程组，解方程组可求解. 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角. 【答案】（1） （2）向量与的夹角为 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算公式求，结合向量平行的坐标表示列方程求. （2）根据坐标运算公式求，再根据向量垂直的坐标表示列方程求，利用向量夹角公式求向量与的夹角余弦，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 【小问2详解】 因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 设向量与的夹角为， 则， 又， 所以. 所以向量与的夹角为. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，． （1）求的值； （2）若四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点，点，在单位圆上，，则，然后结合两角和的正切公式求解即可； （2）四边形是平行四边形，则，则，然后求解即可； 【小问1详解】 由点，点，在单位圆上，， 则， 则； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， 则，则， 即， 所以点的坐标为； 19. 若是关于x的方程的两根. （1）求a； （2）求的值. 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解； （2）切化弦后代入（1）中结论可得． 【小问1详解】 ，或． 由题意， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以． 【小问2详解】 由（1）， ． 20. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求： (1)A处与D处距离； (2)灯塔C与D处的距离． 【答案】（1）24；（2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长． （2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得． 【详解】(1) △ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45° 由正弦定理得 (2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=． 所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile． 【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中有关单位问题、近似计算的要求等. 21. 设常数，已知函数，其中. （1）当时，求在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的值； （3）若，求方程在区间上的解. 【答案】（1）； （2）； （3）或或或. 【解析】 分析】（1）结合二倍角公式化简函数解析式可得，结合正弦函数性质求结论； （2）根据函数的偶函数定义列关系式，结合三角形的函数的性质化简即可求出； （3）先求出的值，化简方程，结合特殊值的三角函数解方程可得结论． 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上的取值范围为， 【小问2详解】 因为， 所以， 因为为偶函数，所以， 所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，，或，， 所以，，或，， 因为， 所以或或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$