圆锥曲线：定值问题——2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 圆锥曲线：定值问题 高频考点分析 1. 定值问题解题思路与策略 （1）定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数： ①在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程） ②可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）, ③也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好. 因此定值问题的解题思路是： ①设参数； ②用参数来表示要求定值的式子； ③消参数. （2）圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ①求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； ②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得； ③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 2. 与斜率有关的定值问题 与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.预备知识：、， 3. 与线段长度有关的定值问题 与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值 方法 公式 两点之间的距离公式 （1）已知点、，则. （2）当，则；当，则. 弦长公式 若点、在直线上 （1） （2） 若点、在直线上 （3） 圆的弦长 若直线与圆相交于、两点，则. 其中为圆的半径，为圆的圆心到直线的距离. 抛物线的焦点弦问题 已知抛物线于过抛物线焦点直线相交于、两点 （1）若抛物线开口向右或向左， . （2）若抛物线开口向上或向下， . 利用相似表示边长的比 （1）若，则. （2）若、、、四点共线，则 勾股定理与余弦定理表示边 已知中角、、所对的边分别为、、. （1）勾股定理：若，则. （2）余弦定理：；； . 4. 与面积有关的定值问题 与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 类型 求解方法 三角形的面积 公式法求面积：. 其中为的的边长，为顶点到底边的距离，可用点到直线的距离公式求出. 铅垂法求面积 ①过点作轴的垂线交于点，则. ②过点作轴的垂线交于点，则. 正弦定理求面积 由正弦定理得. 四边形的面积 割补法求面积：连接四边形对角线，将四边形分为两个三角形，进而利用三角形的面积进行求解. 特殊平行四边形的面积 ①矩形的面积=长×宽. ②菱形的面积=底×高=对角线长度×对角线长度. ③正方形面积=边长×边长=对角线长度×对角线长度. 对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度×对角线长度. 5. 与向量有关的定值问题 与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关 的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值. 预备知识：、， 6. 与代数式有关的定值问题 与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值 7. 与定值有关的结论 （1）若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则； （2）若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则. （3）设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值； （4）设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值； （5）设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值. （6）设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则. （7）点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值） （8）经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则. （9）过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. （10）点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 3．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 实战演练一：以斜率为背景的定值问题 1．（2025·河北保定·一模）已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为； 当外切矩形四边所在切线斜率都存在时， 则可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 由题可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 所以由对称性可得矩形面积为， 令，当且仅当即等号成立时， 所以， 则， 综上，矩形面积的取值范围为. （3）证明：设切线， 联立， 则 ， 此时，所以斜率， 同理可得，所以为定值. 2．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.     【答案】(1) (2)为定值 【详解】（1） 设过点的直线l的方程为， 令，，联立，得， 则，， 故， 又，， 由，则， 则，故抛物线C的方程为； （2）由，显然，过点的直线斜率不为0， 故设直线CD方程为，，， 由，得， ， 解得或， 则，， 故， ， 又，， 所以 ， 故为定值. 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程. (2)求证：为定值. (3)求面积的最小值. 【答案】(1)标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 (3)16 【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴， ∴抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）证明：设点P的坐标为，， 由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为k，则切线的方程为， 联立方程组，消去x，得， ∴得（*）， 又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 联立方程组整理得，， ∴，， ∵，∴， 整理得， 代入有， ∴，∴且， ∴AB：，故直线AB过定点. ∴，， ∴， 点P到直线AB的距离为， ∴， 因为函数在单调递增，而， ∴当时，， 所以面积的最小值为. 4．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q． ①证明：为定值； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【详解】（1） 在圆C的方程中，令，得，解得，即得 又 ，则， 于是，解得， 因，故 因此椭圆E的方程为． （2）①由题意设， 又，所以， 直线的方程为， 当时，，即 此时，， 因，则， 代入上式可得，，即为定值． ②设直线的方程为， 联立，得， 所以， 则， ， 由 ， 化简得，解得或（此时直线过点，不合题意，舍去）， 即直线的方程为，经过定点， 所以   ， 令，则，则， 因在上单调递增， 故时，即时，取得最小值为4，取得最大值为， 5．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求双曲线的标准方程. (2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值为. 【详解】（1）根据题意可得， 解得， 故双曲线的标准方程为. （2）是定值. 证明如下： 设，.因为直线过点，所以直线的斜率存在. 设直线：， 由得， 由题意得且，得，， ，. 因为为双曲线的左顶点，所以，，， 所以 ， 故是定值，该定值为. 6．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，， 所以，，其中为坐标原点， 所以， 所以圆以坐标原点为圆心，半径为的圆， 故圆的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，得， 由已知 设，，则，    所以 ， 即直线，的斜率之和是定值，该定值为. 实战演练二：以弦长为背景的定值问题 1．（24-25高二下·广西柳州·开学考试）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为． （2）由题可知． 在中，由余弦定理得 ， 则，即， 所以，故的面积是． （3）当l的斜率为0时，； 当l不与x轴重合时，设直线l的方程为， 联立，得，所以， 由韦达定理可得． ， 故为定值． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，且离心率为. (1)求C的方程. (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析； ②. 【详解】（1）由已知得， 因为，又由， 可解得， 所以椭圆方程为：. （2） ①设斜率不为0的直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，， ， 因此（为定值）． ②由于，又由于， 因此， 化简可得，设，由于，因此， 因此， 又由于当时，，因此， 因此， 所以面积的取值范围为． 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． (1)求直线在y轴上的截距之和； (2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； (3)若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）设两条平行线的方程分别为，， 由，得， 所以，即， 又． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线在y轴上的截距之和为0． （2）由四边形为菱形得，所以， 由（1）知关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称， 所以 ． 整理得，所以直线之间的距离， 所以直线之间的距离为定值． （3）由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，四边形的面积， 因为，且，故， 因为点O到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积. 4．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足. (1)求双曲线方程； (2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，， 故， 将代入， 故双曲线方程为. （2）设，则， 而，故. 设：代入椭圆方程得：， ， 其中， 过A作ST平行线交椭圆于G，H，由对称性可知：， 故将中的k换为，即得， 故， ∴. 原命题得证. 5．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. （2）根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 6．（2025·甘肃·模拟预测）已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. (1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. (2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)，曲线是抛物线 (2)①32；②存在， 【详解】（1）由题意，点到定点的距离与它到定直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即曲线是抛物线.由题意知，抛物线开口向右，且，所以 ， 所以抛物线的标准方程为. （2）①设. 由题意知，直线的倾斜角不为0，设直线的方程为. 由消去，化简得 . ，则， 所以 . 因为， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是32. ②假设存在直线满足题意.设以为直径的圆为圆，则 . 如图，过点作，垂足为. 设圆与直线的一个交点为，连接，则. 又，所以 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值. 因此存在直线满足题意 7．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，点P在C上，直线交C于点A，B． (1)点Q是椭圆平面外一点，且到椭圆所在平面距离为3，求三棱锥体积的最大值； (2)证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，且三棱锥的高为， ∴三棱锥的体积. 由椭圆方程得，， ∴， 当点位于椭圆的上下顶点时，的面积有最大值，最大值为， ∴三棱锥体积的最大值为. （2） 根据椭圆的对称性，不妨设，设，. 当时，直线斜率不存在，，， 把代入中，得，故， ∵，∴，故直线的方程为， 由得或，故， ∴，故. 当时，点为椭圆的右顶点， 此时，故. 当时，，直线的方程为， 由得， ∴， 由得，，同理可得， 由椭圆图象可知，当时，， ∴， 综上可得，为定值. 8．（2025·陕西咸阳·二模）已知，是椭圆：（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值； (3)求内切圆的面积的最大值. 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【详解】（1）由题意知，则，，则，∴， ∴椭圆C的方程：. （2）由题意可知， ①当直线斜率不存在时，即直线方程为，∴， 即； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：，，，假设， 则联立方程组整理得， ∴,, ,, ∴ ， 综上所述：是定值. （3）的周长， 设的内切圆的半径为，则， ∴当面积最大时，的内切圆的半径最大，即内切圆面积最大. ， 由（2）可知，①当直线斜率不存在时，， ②当直线斜率存在且不为0时， ， 令， ∴， 综上所述：，当直线斜率不存在时取得最大值， 此时圆的半径，圆的面积. 实战演练三：以面积为背景的定值问题 1．（2025·江西南昌·二模）己知抛物线，过点作斜率大于直线与曲线交于、两点.原点关于的对称点为记为点. (1)求证：： (2)当在抛物线上时，求三角形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设、， 由题意，设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程得，则， 由韦达定理可得，，， ，所以. （2）设关于直线的对称点，则， 解得，，即， 又因为点在抛物线上，则，解得 所以，，， 所以， 所以. 2．（2025·青海海南·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的左顶点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，在椭圆上取两点（点在轴上方，点在轴下方），直线交轴于点，设直线交椭圆于另一点（点在线段上），且直线的斜率小于零，的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由为椭圆的左顶点，知， 又，故，则，故椭圆的方程为． （2） 由题意可设直线的方程为， 由得， 故，又， 所以， 解得， 又直线的斜率小于零，所以，即直线 则有，解得或 从而有，故， 由对称性知点的坐标为，则 故的面积． 3．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为4. (1)求的方程； (2)若，过作与关于轴对称的直线交于C，D两点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设半焦距为，由，得， 当轴时，的值最小，将代入， 得，所以，解得，， 故的方程为：. （2）由题意得，直线的斜率不为0，设，联立， 整理得. 易知，设，，则， 由得， 代入（*），得，，解得. 由对称性可知，四边形为等腰梯形，其面积为： ， 所以四边形的面积为. 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点与抛物线交于两点，线段的长为8. (1)求的值； (2)在轴的正半轴上存在点使得求点的坐标及三角形的面积； (3)若直线与抛物线交于两点，与圆交于两个不同的点求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3)2 【详解】（1）解：由焦点，设直线，代入抛物线得：， 根据抛物线定义，， 所以，可得； （2）设，， 由，得， 联立和，所以，故得， 有，代入得， 解得或（舍去）． 所以点的坐标为， 又点到直线的距离， 所以三角形的面积． （3）如图所示： 结合几何性质，设的中点为， 则， 设圆心到直线的距离为，则， 所以， 设点，则， 所以当时，即时，最小值为． 5．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意，，则， 椭圆方程为： （2）如图， 设，则， 对，令， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或． （3）设， 则， 则． 又因为， 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 6．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，化简得， 所以点的轨迹方程为 （2）设， 由，得， 由，得， ， 所以， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 所以，解得，或（舍去）. 所以， 又原点到直线的距离为， 所以的面积. 实战演练四：以向量为背景的定值问题 1．（24-25高二上·福建福州·期末）如图，椭圆：过点，且的离心率为.直线：与交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点. (1)求的方程； (2)求的最大值； (3)证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意得，，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，，， 由，整理得， 所以，，，解得， 设的中点，则，， 所以的中垂线方程为：，即直线的方程为， 由，整理得，所以，， 所以 ， 又因为，所以当时，； （3）由（2）可知，，，， 所以 . 2．（2025·湖南·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点为，过作平行于轴的直线交于两点，若， (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线相切，切点为，与渐近线相交于两点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设直线与圆相切于点，若的长度为圆的直径，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或 【详解】（1）由题意得， 得， 又由勾股定理得 解得，所以， 故双曲线的标准方程为． （2） （ⅰ）①当与轴垂直时，，解得 ②当与轴不垂直时，设，设 与联立可得：， 且有， 故， 且． 将与联立可得：． ， ．综上所述，，所以得证． （ⅱ）由与圆相切可知：． 因为，所以． 由（ⅰ）可知，则．而． 消去可得：， 所以 故或 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点的直线与相交于，两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得恰好是线段的中点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线：交于点，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值0 【详解】（1）设的焦距为． 因为的离心率为2，所以， 即，所以：． 当直线的斜率为0时，：， 代入，得， 所以，解得， 所以的方程为． （2）假设存在直线满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为为线段的中点，所以，， 所以，所以，即直线的斜率为3， 所以直线的方程为． 联立，消去并整理得， ， 所以直线与无公共点，这与直线与交于，两点矛盾， 故不存在直线，使得恰好是线段的中点. （3）由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 联立得，，且， 解得，且， 由韦达定理得．① 设， 由在直线：上，得，即；② 由在直线上，得．③ 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ，故为定值0． 4．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知双曲线的左､右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3. (1)求双曲线的方程； (2)过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【详解】（1）由题意可得，则直线的斜率，直线的斜率. 因为直线的斜率之积为3，所以，解得. 因为点在双曲线上，所以，解得. 故双曲线的方程为. （2） 设直线. 联立，整理得 ，则，且所以. 所以为定值，定值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 圆锥曲线：定值问题 高频考点分析 1. 定值问题解题思路与策略 （1）定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数： ①在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程） ②可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）, ③也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好. 因此定值问题的解题思路是： ①设参数； ②用参数来表示要求定值的式子； ③消参数. （2）圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ①求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； ②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得； ③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 2. 与斜率有关的定值问题 与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.预备知识：、， 3. 与线段长度有关的定值问题 与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值 方法 公式 两点之间的距离公式 （1）已知点、，则. （2）当，则；当，则. 弦长公式 若点、在直线上 （1） （2） 若点、在直线上 （3） 圆的弦长 若直线与圆相交于、两点，则. 其中为圆的半径，为圆的圆心到直线的距离. 抛物线的焦点弦问题 已知抛物线于过抛物线焦点直线相交于、两点 （1）若抛物线开口向右或向左， . （2）若抛物线开口向上或向下， . 利用相似表示边长的比 （1）若，则. （2）若、、、四点共线，则 勾股定理与余弦定理表示边 已知中角、、所对的边分别为、、. （1）勾股定理：若，则. （2）余弦定理：；； . 4. 与面积有关的定值问题 与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 类型 求解方法 三角形的面积 公式法求面积：. 其中为的的边长，为顶点到底边的距离，可用点到直线的距离公式求出. 铅垂法求面积 ①过点作轴的垂线交于点，则. ②过点作轴的垂线交于点，则. 正弦定理求面积 由正弦定理得. 四边形的面积 割补法求面积：连接四边形对角线，将四边形分为两个三角形，进而利用三角形的面积进行求解. 特殊平行四边形的面积 ①矩形的面积=长×宽. ②菱形的面积=底×高=对角线长度×对角线长度. ③正方形面积=边长×边长=对角线长度×对角线长度. 对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度×对角线长度. 5. 与向量有关的定值问题 与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关 的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值. 预备知识：、， 6. 与代数式有关的定值问题 与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值 7. 与定值有关的结论 （1）若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则； （2）若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则. （3）设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值； （4）设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值； （5）设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值. （6）设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则. （7）点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值） （8）经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则. （9）过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. （10）点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 实战演练一：以斜率为背景的定值问题 1．（2025·河北保定·一模）已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 2．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.     3．（24-25高二下·湖北·期中）已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程. (2)求证：为定值. (3)求面积的最小值. 4．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q． ①证明：为定值； ②求面积的最大值． 5．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求双曲线的标准方程. (2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 6．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值. 实战演练二：以弦长为背景的定值问题 1．（24-25高二下·广西柳州·开学考试）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，且离心率为. (1)求C的方程. (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． (1)求直线在y轴上的截距之和； (2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； (3)若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 4．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足. (1)求双曲线方程； (2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值. 5．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 6．（2025·甘肃·模拟预测）已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. (1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. (2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 7．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，点P在C上，直线交C于点A，B． (1)点Q是椭圆平面外一点，且到椭圆所在平面距离为3，求三棱锥体积的最大值； (2)证明：为定值． 8．（2025·陕西咸阳·二模）已知，是椭圆：（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值； (3)求内切圆的面积的最大值. 实战演练三：以面积为背景的定值问题 1．（2025·江西南昌·二模）己知抛物线，过点作斜率大于直线与曲线交于、两点.原点关于的对称点为记为点. (1)求证：： (2)当在抛物线上时，求三角形的面积. 2．（2025·青海海南·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的左顶点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，在椭圆上取两点（点在轴上方，点在轴下方），直线交轴于点，设直线交椭圆于另一点（点在线段上），且直线的斜率小于零，的面积为，求的面积． 3．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为4. (1)求的方程； (2)若，过作与关于轴对称的直线交于C，D两点，求四边形的面积. 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点与抛物线交于两点，线段的长为8. (1)求的值； (2)在轴的正半轴上存在点使得求点的坐标及三角形的面积； (3)若直线与抛物线交于两点，与圆交于两个不同的点求的最小值. 5．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 6．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积． 实战演练四：以向量为背景的定值问题 1．（24-25高二上·福建福州·期末）如图，椭圆：过点，且的离心率为.直线：与交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点. (1)求的方程； (2)求的最大值； (3)证明：为定值. 2．（2025·湖南·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点为，过作平行于轴的直线交于两点，若， (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线相切，切点为，与渐近线相交于两点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设直线与圆相切于点，若的长度为圆的直径，求直线的方程． 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点的直线与相交于，两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得恰好是线段的中点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线：交于点，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 4．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知双曲线的左､右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3. (1)求双曲线的方程； (2)过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$