第02讲 解二元一次方程（知识解读+题型专练）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版2024）

第02讲 解二元一次方程 【题型一 二元一次方程组的解法：代入消元法】 【题型二 二元一次方程组的解法：加减消元法】 【题型三 二元一次方程组的特殊解】 【题型四 同解型】 【题型五 错解型】 【题型六 方程组的含参数问题】 知识点1 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【题型一 二元一次方程组的解法：代入消元法】 【典例1】 （代入法） 【变式1-1】用代入法解二元一次方程组． 【变式1-2】用代入法解方程组：． 【变式1-3】用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【题型二 二元一次方程组的解法：加减消元法】 【典例2】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式2-1】用加减消元法解方程组 【变式2-2】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【变式2-3】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【题型三 二元一次方程组的特殊解】 【典例3】阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【变式3-1】【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； 【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ 【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值． 【变式3-2】阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得．把代入，，得，解得．∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______________． 【变式3-3】阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【题型四 同解型】 【典例4】已知方程组和方程组的解相同，求，的值． 【变式4-1】已知关于的方程组和的解相同．求的值． 【变式4-2】已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 【变式4-3】已知关于，的方程组和关于，的方程组的解相同，求的值． 【题型五 错解型】 【典例5】小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值． 【变式5-1】甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 【变式5-2】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 【变式5-3】甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 【题型六 方程组的含参数问题】 【典例6】二元一次方程组，它的解x和y值相等，求a的值． 【变式6-1】关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【变式6-2】已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【变式6-3】已知关于x，y的二元一次方程组． (1)用含有m的式子表示上述方程组的解； (2)若x与y互为相反数，求m的值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东湛江·期末）下列各组值中，是方程组的解的是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（   ） A．要消去y， 可以将 B．要消去x， 可以将 C．要消去y， 可以将 D．要消去x， 可以将 3．（22-23八年级下·四川成都·开学考试）已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）是下列哪个方程组的解（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆·开学考试）由方程组可得出x与y的关系式是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·全国·期末）若与的和是单项式，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知，则 ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）若方程组的解满足，则 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）按要求解下列方程组： (1)（用代入法） (2)（用加减法） 10．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 11．（23-24七年级下·全国·期末）王海和郭伟抄题“原方程组”，王海把方程①中的a抄错了，郭伟把方程②中的b抄错了，王海求得方程组的解为，郭伟求得方程组的解为 ，你能不能不去看老师抄的原题，把正确的a，b求出来？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解二元一次方程 【题型一 二元一次方程组的解法：代入消元法】 【题型二 二元一次方程组的解法：加减消元法】 【题型三 二元一次方程组的特殊解】 【题型四 同解型】 【题型五 错解型】 【题型六 方程组的含参数问题】 知识点1 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【题型一 二元一次方程组的解法：代入消元法】 【典例1】 （代入法） 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由①得， 把代入②得，， 解得， 把代入，得， 方程组的解为． 【变式1-1】用代入法解二元一次方程组． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， 把③代入①得，， 解得, ， 把代入③得， ∴． 【变式1-2】用代入法解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，先将②代入①，可求出x，再将x的值代入②，可得方程组的解． 【详解】， 将②代入①，得：， 解得. 把代入②，解得. ∴原方程组的解是． 【变式1-3】用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的方法是银题的关键． （1）应用代入消元法，求出方程组的解即可． （2）应用代入消元法，求出方程组的解即可． 【详解】（1）解：把②代入①，可得：， 解得， 把代入②，解得， 原方程组的解是． （2）解：由①，可得， 把代入②，可得：， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． 【题型二 二元一次方程组的解法：加减消元法】 【典例2】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ． ，得 ． ，得，即． 把代入，得， 解得． 所以原方程组的解为 （2），得 ． ，得 ． ，得，即． 把代入，得， 解得． 所以原方程组的解为 【变式2-1】用加减消元法解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了用加减消元法解方程组，根据加减消元法的步骤解方程组即可． 【详解】解：， 由①，得③． 由②，得④． 由，得． 解得：， 把代入①，得． 解得：， 所以这个方程组的解是． 【变式2-2】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用加减消元法，解得的值，再将的值代回原方程，即可解答； （）利用加减消元法，解得的值，再将的值代回原方程，即可解答； 本题考查了用加减消元法解二元一次方程，熟知解题步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得， ∴方程组的解为． 【变式2-3】用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，灵活运用解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）方程组运用加减消元法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ∴． 把代入①，得 ∴ 所以，方程组的解为：； （2）解： ，得 ． 把代入①，得 ∴． 所以，方程组的解为． 【题型三 二元一次方程组的特殊解】 【典例3】阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 【变式3-1】【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； 【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ 【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值． 【答案】[模仿应用]；[解决问题]30元；[拓展延伸] 【分析】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方法是解题关键． [模仿应用]根据方程组中两个方程的特点，由即可求出的值； [解决问题] 设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，列出方程组，由先求出，再求出，即可得出答案； [拓展延伸]根据题意得出方程组，由求出，即可求出的值． 【详解】[模仿应用]解： 由，得； [解决问题] 解：设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，根据题意，得 ，得，所以． 所以购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需要30元． [拓展延伸] 因为， 所以①，② ①②组成方程组得， ，得． 【变式3-2】阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得．把代入，，得，解得．∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 【变式3-3】阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用整体代换的方法进行求解即可； （2）结合题目所给的解答方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将②变形为：，即， 将①代入③得：， 解得：， 把代入①得， 故原方程组的解是：； （2）解：原方程组可化为：， 将①代入②得：， 解得：． 【题型四 同解型】 【典例4】已知方程组和方程组的解相同，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查同解二元一次方程组、解二元一次方程组，根据题意，解方程组，然后将解代入得到关于a、b的方程组，进而解方程组即可． 【详解】解：根据题意可得方程组， 解得， 将代入中， 得，即， 解得． 【变式4-1】已知关于的方程组和的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，将①与④组合可求出的值，再代入②与③组合的方程组中即可求解． 【详解】解：方程组与的解相同， ∴①与④组合得，， ①④得，， ∴， 把代入②与③组合的方程组中得， ， 把③代入②得，， ∴， ∴． 【变式4-2】已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【详解】依题意，有（1）（2） 解方程组（1），得代入（2），解得 所以． 【变式4-3】已知关于，的方程组和关于，的方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了方程组解的意义、方程组的解法和有理数的乘方运算，解决本题的关键是理解两个方程组解相同的意义，求出a、b的值．由解相同，可得一个含未知数x、y，一个含a、b与x、y的两个新方程组，求解只含未知数x、y的方程组，把解代入含a、b与x、y的方程组，求出a、b的值，计算出结果即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴方程组与的解相同， 解方程组得， 把代入得 ， ，得， ，得， ∴ ． 【题型五 错解型】 【典例5】小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．解题的关键是根据题意建立关于、的二元一次方程组．根据题意建立关于、的二元一次方程组，求得和的值． 【详解】解：根据题意可以知道： 是方程的解， 是方程的解， 分别代入得到方程组：， 解得：． 【变式5-1】甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组及二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于a、b的方程，求解即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即，． 故答案为：，． 【变式5-2】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 【详解】解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 【变式5-3】甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程， 正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：由题意，是的解 得， 解得． 又是的解 得，解得， ． 【题型六 方程组的含参数问题】 【典例6】二元一次方程组，它的解x和y值相等，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据x和y值相等进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 它的解x和y值相等， 解①得：， ， 将代入②，得， 解得． 【变式6-1】关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键．将②①，得到，再代入即可得到m的值． 【详解】解： ②①， ③ 把③代入中，得 则． 【变式6-2】已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解含有参数的二元一次方程组； （1）解方程组得，代入，解一元一次方程，即可求解； （2）解方程组得，代入，解一元一次方程，即可求解； 掌握含有参数的二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程组得， ， ， 解得； （2）解： ， ， ， 解得：． 【变式6-3】已知关于x，y的二元一次方程组． (1)用含有m的式子表示上述方程组的解； (2)若x与y互为相反数，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解决问题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）的结论以及相反数的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 把代入②得， ∴， 故方程组的解为； （2）∵x与y互为相反数， ∴， 解得：． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东湛江·期末）下列各组值中，是方程组的解的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，关键在于观察未知数的系数，再利用加减消元法求解．观察可知的系数互为相反数，故可以利用加减消元法中令方程两个方程组相加即得，故得，再将代入 得． 【详解】解： ，得， 解得， 将代入①，得， 所以二元一次方程组的解是 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（   ） A．要消去y， 可以将 B．要消去x， 可以将 C．要消去y， 可以将 D．要消去x， 可以将 【答案】B 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据加减消元法解二元一次方程组，观察字母系数，化为相同或者互为相反数再使用减法或者加法消元即可． 【详解】解：， 要消去y，可以将， 要消去x，可以将， 故选：B． 3．（22-23八年级下·四川成都·开学考试）已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减求出的值即可． 【详解】解：， ①②得：， 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）是下列哪个方程组的解（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 利用加减消元法解二元一次方程组计算各选项的解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，解得，，故A不符合要求； 解得，，故B符合要求； 解得，，故C不符合要求； 解得，，故D不符合要求； 故选：B． 5．（24-25八年级上·重庆·开学考试）由方程组可得出x与y的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程组两式相减即可得出关系式，整理得．本题考查加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握解方程组是关键． 【详解】解：方程组， ①②，得， 整理得． 故选：B． 6．（23-24七年级下·全国·期末）若与的和是单项式，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义及二元一次方程组的解法，根据同类项的定义可得方程组，解方程组即可求得a、b的值，即可求得的值． 【详解】解：由题意可得与是同类项， ∴， 解得， ∴． 故选C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了利用二元一次方程组求代数式的值，两个方程相加可得，从而可得答案．解题的关键是整体加减，使计算简便． 【详解】解： 由得：，即：， ∴， 故答案为：1． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）若方程组的解满足，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法得到，进一步得到，再由可得，则． 【详解】解： 得：， ∴， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）按要求解下列方程组： (1)（用代入法） (2)（用加减法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 10．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 11．（23-24七年级下·全国·期末）王海和郭伟抄题“原方程组”，王海把方程①中的a抄错了，郭伟把方程②中的b抄错了，王海求得方程组的解为，郭伟求得方程组的解为 ，你能不能不去看老师抄的原题，把正确的a，b求出来？ 【答案】， 【分析】抄错的将其解代入方程②，可以求出，得；抄错的将其解代入方程①，可以求出即可．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：依题意，将，代入方程②， 得到， 即； 将，代入方程①， 得， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$