导数与零点问题综合讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

目录 导数与零点问题 1 【知识点梳理】 1 【知识点一：零点与零点存在性定理】 1 【知识点二：运用导数探究零点的方法】 1 【知识点四：隐零点问题】 1 【题型演练】 2 【题型一：证明零点个数】 2 【题型二：讨论零点个数】 3 【题型三：已知零点存在求参】 5 【题型四：已知零点个数求参】 6 【题型五：用比值代换求解双零点问题】 7 【题型六：隐零点问题】 9 1 学科网（北京）股份有限公司 导数与零点问题 【知识点梳理】 【知识点一：零点与零点存在性定理】 (1) 函数的零点： 对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点 (2)方程的解与函数的关系： 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标,所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. (3)函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 【知识点二：运用导数探究零点的方法】 (1)零点唯一性：如果函数在区间上的图象是连续不断且单调的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有唯一零点 (2)求零点问题的方法 ①参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数 的图象的交点问题. ※参变分离有完全参变分离与不完全参变分离两种形式，做题时选择合适的方法进行处理 ②直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后探究极值的正负，进而将问题转化为函数图象与轴的交点问题. 【知识点四：隐零点问题】 用隐零点处理问题时，先证明函数f(x)在某区上单调，然后用零点存在性定理(介值定理）说明只有一个零点．此时设出零点x0，则f′(x)＝0的根为x0，即有f′(x0)＝0．注意确定x0的合适范围，如果含参x0的范围往往和参数a的范围有关．这时就可以把超越式用代数式表示，同时根据x0的范围可进行适当的放缩．从而问题得以解决．基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算．用隐零点可解决导数压轴题中的不等式证明、恒成立能成立等问题． 隐零点问题求解三步曲 (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 【题型演练】 【题型一：证明零点个数】 1．已知函数. (1)记曲线在处的切线为，求证：与有且仅有1个公共点. 2．已知函数，，设，． (1)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； 3．已知，. (1)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 【题型二：讨论零点个数】 1．已知函数． (1)讨论在区间内的极值点个数； 2．若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 3．已知函数． (1)就实数的不同取值，讨论关于的方程的解的个数． 4．已知，是实数，1和是函数的两个极值点 (1)求，的值. (2)设其中求函数的零点个数. 【题型三：已知零点存在求参】 1．已知函数. (1)函数在区间上有零点，求的值； 2．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数. (1)若在区间上无零点，求的取值范围. 4．已知函数 (1)若函数在区间上无零点，求的取值范围. 【题型四：已知零点个数求参】 1． 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 2． 已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是 . 3． 对于，函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是 . 4．设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【题型五：用比值代换求解双零点问题】 1． 已知函数．若有两个零点，且，证明：． 2． 设，函数，若有两个相异零点，求证：. 3．设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点， ①求a的取值范围； ②证明：. 3． 已知函数分别是函数的两个零点，求证：. 【题型六：隐零点问题】 1． 已知函数.证明：函数在上有且只有一个零点. 2． 已知函数在上不单调，则的取值范围是 . 3.已知函数． （1）若，证明：； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． $$目录 导数与零点问题 1 【知识点梳理】 1 【知识点一:零点与零点存在性定理】 1 【知识点二:运用导数探究零点的方法】 1 【知识点四:隐零点问题】 1 【题型演练】 2 【题型一:证明零点个数】 2 【题型二:讨论零点个数】 4 【题型三:已知零点存在求参】 9 【题型四:已知零点个数求参】 13 【题型五:用比值代换求解双零点问题】 18 【题型六:隐零点问题】 21 1 学科网(北京)股份有限公司 导数与零点问题 【知识点梳理】 【知识点一:零点与零点存在性定理】 (1) 函数的零点: 对于一般函数,我们把使得的实数叫做函数的零点 (2)方程的解与函数的关系: 函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图像与轴的交点的横坐标,所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. (3)函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线,且,那么,函数在区间内至少有一个零点,即存在,使得,这个就是方程的解. 【知识点二:运用导数探究零点的方法】 (1)零点唯一性:如果函数在区间上的图象是连续不断且单调的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有唯一零点 (2)求零点问题的方法 ①参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数 的图象的交点问题. ※参变分离有完全参变分离与不完全参变分离两种形式,做题时选择合适的方法进行处理 ②直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后探究极值的正负,进而将问题转化为函数图象与轴的交点问题. 【知识点四:隐零点问题】 用隐零点处理问题时,先证明函数f(x)在某区上单调,然后用零点存在性定理(介值定理)说明只有一个零点.此时设出零点x0,则f′(x)=0的根为x0,即有f′(x0)=0.注意确定x0的合适范围,如果含参x0的范围往往和参数a的范围有关.这时就可以把超越式用代数式表示,同时根据x0的范围可进行适当的放缩.从而问题得以解决.基本解决思路是:形式上虚设,运算上代换,数值上估算.用隐零点可解决导数压轴题中的不等式证明、恒成立能成立等问题. 隐零点问题求解三步曲 (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程f′(x0)=0,并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围. (2)以零点为分界点,说明导函数f′(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式. (3)将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简证明,有时(1)中的零点范围还可以适当缩小. 【题型演练】 【题型一:证明零点个数】 1.已知函数. (1)记曲线在处的切线为,求证:与有且仅有1个公共点. 【答案】(1)证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义,结合导数的性质进行运算证明即可. 【详解】 (1)由(1)可知,所以曲线在处的切线的方程为:; 令,即,得或, 当时,,此时,与有公共点, 当时,设, 当时,单调递减, 当时,单调递增, 所以, 即,当且仅当时取等号, 所以由,即,此时与有公共点, 综上所述:与有唯一公共点. 2.已知函数,,设,. (1)证明:当函数经过点时函数有且仅有一个零点; 【答案】(1)证明见解析; 【分析】(1)由函数经过点可得,然后由单调性可完成证明; 【详解】 (1)证明:因函数经过点,则 .令,. 令;, 则在上递减,在上递增,则, 故由,可得. 则此时,,.令, 则在上递增, 注意到,结合在上递增, 则. 得在递减,在上递增,则. 即函数经过点时函数有且仅有一个零点1; 3.已知,. (1)记,证明:当时,函数有且仅有三个零点. 【答案】(1)证明见解析 【分析】(1)由题意,根据函数的单调性求出函数的极值,令,作出函数的图象,结合图象即可证明. 【详解】(1)由,得或,列表如下: 0 0 0 严格增 极大值 严格减 极小值 严格增 所以,. 令,因为,所以, 由函数的示意图(如图所示), 可得有三个不相等的实数解,,,其中,,, 根据函数的单调性,且, 则,,即和均有且只有一个实数解, 设为和,则; 又, 而,是上的严格增函数, 所以, 所以,所以有且只有一个实数解,记为,显然, 综上,当时,方程有且仅有三个不相等的实数根, 所以函数有且仅有三个零点. 【点睛】方法点睛:解决有关函数有零点(方程有根)问题常用的方法: 【题型二:讨论零点个数】 1.已知函数. (1)讨论在区间内的极值点个数; 【答案】;(1)答案见解析; 【分析】(1)针对导函数,分和两种情况讨论求解即可. 【详解】(1), (i)若,当时,恒成立,函数在上单调递增, 所以无极值点. (ii)若,当时,,函数在上单调递减, 当时,,函数在上单调递增, 因此为的极小值点,且无极大值点, 所以当时,在内的极值点个数为0; 当时,在内的极值点个数为1. 2.若平面直角坐标系内两点满足: (1)点都在的图象上; (2)点关于原点对称,则称点对是函数的一个“姊妹点对”,且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数,则的“姊妹点对”有 个. 【答案】2 【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数,先求出关于原点对称的函数,利用导数方法求出在解的个数,即可得出结论. 【详解】设是关于原点对称函数图象上的点, 则点P关于原点的对称点为在上, ,设,“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数, 于是,即,令, 由,得,即,于是只考虑即可, 求导得,显然函数在区间上单调递增, 而,,则存在使得, 当单调递减,单调递增, 而,,, 因此函数在区间,分别各有一个零点, 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为:2 【点睛】思路点睛:函数的新定义,等价转化为函数图象的交点,利用函数导数研究单调性,结合零点存在性定理是解题的关键. 3.已知函数. (1)就实数的不同取值,讨论关于的方程的解的个数. 【答案】 (1)答案见解析 【分析】 (1)转化为函数零点的个数问题,求导讨论单调性,再对k进行分类讨论即可. 【详解】 (1)令,则方程的解得个数可转化为函数的零点个数, 函数的定义域为, , 当时,,此时定义域为全体实数,有唯一实数根, 当时,有恒成立,故恒成立,所以在上单调递增, 而当时,,此时,同理当时,,此时, 由零点存在定理可知在有唯一实数根,即方程由唯一解; 当时,令,负根舍去, 所以当;当, 故在上单调递减,在上单调递增, 所以, 当,即时,函数无零点,即方程无解; 当时,方程有唯一解; 当时,方程有两个解; 综上所述: 当时,方程有一个解; 当时,方程无解; 当时,方程有两个解. 【点睛】 第三问转化为函数零点的个数问题,求导讨论单调性,再对k进行分类讨论即可. 4.已知,是实数,1和是函数的两个极值点 (1)求,的值. (2)设其中求函数的零点个数. 【答案】(1), (2)当时,函数有5个零点;当时,函数有9个零点. 【分析】(1)求出导函数,根据1和是函数的两个极值点代入方程组求解即可; (2)分和讨论关于方程的情况,再考虑函数的零点. 【详解】(1)由,得, 因为1和是函数的两个极值点, 所以,解得:,, 当,时,, 所以的单调增区间为,,单调减区间为, 所以经检验当,时,1和是函数的两个极值点. (2)令,则, 先讨论关于的方程根的情况:, 当时,由(2)可知的两个不同根为和,注意到为奇函数,。 所以的两个不同根为和, 当时,因为,, 所以,,,都不是的根, 由(1)知, ①当时,,则是单调增函数,从而,此时再上无实数根; ②当时,,则是单调减函数,因为,,则的图象不间断, 所以在内有唯一实根, 同理,在内有唯一实根 ③当时,,则是单调减函数,因为,,则的图象不间断, 所以在内有唯一实根, 因此,当时,有两个不同根,满足,, 当时,有三个不同的根,,,满足,,,, 先考虑函数的零点: (i)当时,有两个根,,满足; 而有三个不同的根,有两个不同的根,故函数有5个零点, (ii) 当时,有两个根,,,满足,,,; 而有三个不同的根,故函数有9个零点, 综上,当时,函数有5个零点; 当时,函数有9个零点. 【点睛】方法点睛:对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是: (1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域; (2)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与轴的交点情况进而求解. 【题型三:已知零点存在求参】 1.已知函数. (1)函数在区间上有零点,求的值; 【答案】 (2)或 【分析】(1)求出的导数,判断的单调性,利用零点存在性定理判断即可; (【详解】 (1),, 当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增, 所以的极小值为,, 在区间上存在一个零点,此时; 又,, 在区间上存在一个零点,此时, 综上,的值为或; 2.已知函数的图象上存在点,函数的图象上存在点,且点,关于原点对称,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点,即方程有解,即有解,令,利用导数法求出函数的值域,即可求得答案. 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称, 则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点, 即方程有解,即有解, 令,则, 当时,,函数在上递减; 当,,函数在上递增, 故, 由,, 故当时, 故的取值范围为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:函数的图象与函数的图象关于原点对称,则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点. 3.已知函数. (1)若在区间上无零点,求的取值范围. 【答案】 (1)或 【分析】 (1)根据题意,将问题转化为在上无解,构造函数,利用导数分析得其图象,再数形结合即可得解. 【详解】 (1)令,得, 因为在区间上无零点,所以在上无解, 令,则与的图象没有交点, 而,, 令,得;令,得; 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以,, 又当时,,则恒成立, 所以,则在上的大致图象如下, 数形结合可得或, 所以或. 【点睛】方法点睛:根据函数的零点个数求解参数范围,一般方法: (1)转化为函数最值问题,利用导数解决; (2)转化为函数图象的交点问题,数形结合解决问题; (3)参变分离法,结合函数最值或范围解决. 4.已知函数 (1)若函数在区间上无零点,求的取值范围. 【答案 (1) 【分析】(1)对分情况讨论,在时,,结合即可求解,在时,求导,结合零点存在性定理可得存在使得,进而结合导数即可求解. 【详解】 (1), 当时,, 故当时,在区间上恒成立,符合题意; 当时,, 令,则在区间上恒成立, 所以在单调递减,且, ①当时,此时在区问上恒成立, 所以在区间单调递减, 所以在上恒成立,符合题意, ②当时,此时,由于且, 所以, 所以,故存在使得, 故当时,,此时单调递增, 当时,,此时单调递减, 故时,取极大值也是最大值,故, 由,可得, 令,得,所以在上存在零点,不符合题意,舍去, 综上可知,的取值范围为. 【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下: (1)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数. 【题型四:已知零点个数求参】 1.已知函数有三个零点,则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时,令,得到有2个零点;当时,转化为,在有1解,令,可得,再令,得到,求得函数的单调性,得到,进而得到在上单调递减,得到不等式,即可求解. 【详解】当时,令,解得或,有2个零点; 当时,令,即,在有且仅有1解, 令,可得, 令,可得, 当时,可得;当时,可得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减, 所以, 所以时,恒成立,即,所以在上单调递减, 又由,,所以,解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为:. 2.已知,若函数恰有四个零点,则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】分离参数可得,判断的单调性,计算极值,作出的函数图象,根据直线与的图象有四个交点得出k的范围. 【详解】当时,, 令,可得:, 令, 则, 对于函数,对称轴为,所以函数在上单调递减,当时,. 所以,当时,,则在上单调递增; 当时,,则在上单调递减; 当时,,则在上单调递增; 当时,,则在上单调递减. 又因为当时,;当时,取得极小值; 当时,;当时,, 作出函数的大致图象如图所示: 因为函数恰有四个零点,所以直线与的图象有四个交点, 所以, 故答案为:. 3.对于,函数有且仅有一个零点,则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分离常数可得,构造函数,根据题意可得的值域为,且为单调函数,即可求导,结合或恒成立求解. 【详解】依题意,任意的均使得有且仅有一个零点,令0,得, 记函数,即与直线有且仅有一个交点, 若的值域不是,设的值域为,则,使得,矛盾, 所以的值域为,且为单调函数(否则与直线存在至少两个交点), 所以恒有或,易得, 当且时,有,所以恒有,得恒成立, 记,则, 当时,单调递增;当时,单调递减, 所以的最大值为, 故实数的取值范围是. 故答案为: 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 4.设,,.已知函数的极小值为1. (1)求的值; (2)若函数有两个零点,求的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】(1)求导之后,讨论单调性,再根据题设条件列式即可求解; (2)研究的单调性,极值的符号,再结合零点存在性定理的推论即可求解. 【详解】(1)的定义域为,. 当时,恒成立,在上单调递增,无极小值; 当时,令,;令,. 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以的极小值为,即. 综上,. (2). 当时,,在上单调递增,至多有一个零点. 当时,. 令,;令,. 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以的最小值为. 设,. 令,;令,. 所以在上单调递增,在上单调递减. 所以的最大值为. 当时,,只有一个零点; 当时,,又,. 所以有两个零点; 当时,, 由①知,当时,对,恒成立,又, 所以有两个零点; 综上:或 【点睛】方法点睛:用导数处理含参函数零点问题应从三方面入手,一是研究函数的单调性,二是极值(或最值)的符号,三是如果在区间端点处无定义或端点是无穷大趋向于端点时的变化趋势,此时通常要结合零点存在性定理来说明零点的个数 【题型五:用比值代换求解双零点问题】 1.已知函数.若有两个零点,且,证明:. 【答案】证明见解析 【详解】若有两个零点,则,得. ,令,则,故,则,, 令,则, 令,则, 在上单调递增,, ,则在上单调递增,,即, 故. 2.设,函数,若有两个相异零点,求证:. 【答案】证明见解析 【详解】由已知得,, 所以, 所以要证,即证, 即证, 设,令,, 则,所以在上单调递增, 所以,即,即,即 所以原题得证. 3.设函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若有两个零点, ①求a的取值范围; ②证明:. 【答案】(1)当时,在为增函数, 当时,在上是减函数,在上为增函数; (2);详见证明过程. 【详解】(1)的定义域为,且, 当时,成立,所以在为增函数, 当时, ①当时,,所以在上为增函数, ②当时,,所以在上为减函数; 综上:当时,在为增函数, 当时,在上是减函数,在上为增函数, (2)结合(1),当时,取得极小值, 又∵函数有两个零点,∴,可得, 综上所述,; 下面证明结论成立: 不妨设, 设,, 可得,, ∴在上单调递增, ∴,即,,, ∴当时, , 又∵,,∴, 又∵当时,单调递增, ∴,即, 设,,则,两式相比得, 即,∴, 又∵, 令,则, 令,则, 则在内单调递减,即,即, 故,故在上单调递减, ∴, ∴,即; 综上所述,. 4.已知函数分别是函数的两个零点,求证:. 【答案】证明见解析 【详解】因为, 分别是函数的两个零点, 所以 两式相减,得, 所以. 因为, 所以. 要证,即证. 因,故又只要证. 令,则即证明. 令,,则. 这说明函数在区间上单调递减,所以, 即成立. 由上述分析可知成立. 【题型六:隐零点问题】 1.已知函数.证明:函数在上有且只有一个零点. 【答案】证明见解析 【详解】证明:由,得,令,, 求导得,当且仅当时取等号, 因此函数在上单调递减, 而,,则, 由零点存在性定理可知,函数在上有且只有一个零点, 所以函数在上有且只有一个零点. 2.已知函数在上不单调,则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可知,, 令, 因为,所以,则在单调递减, 所以, 若,则恒成立,即恒成立, 则函数在上单调递减,不满足题意; 若,则, 因为,, 所以, 所以由零点的唯一性定理可知,在必定存在唯一的零点记为, 所以当时,即, 时,即, 所以在时单调递增,时单调递减,满足题意; 综上得, 故答案为: . 3.已知函数. (1)若,证明:; (2)若关于x的不等式恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析;(2). 【分析】(1)利用导数求出函数的单调区间,得到函数的最小值,即得证; (2)等价于恒成立;令,则只需,再利用导数求出即得解. 【详解】解:(1)当时,,则有 令,解得, ∴当时,,此时函数单调递增; 当时,,此时函数单调递减; ∴函数,即得. (2)根据题意,恒成立, 等价变形可得恒成立; 令,则只需 令,则有 在上单调递增, ∴存在,使得 取,所以 单调递增,所以, 所以 由此可得,在上单调递减,在上单调递增, 故有, 即实数a的取值范围为. 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是证明,要利用零点的性质和构造函数分析解答. $$