7.3.1 离散型随机变量的均值 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.3离散型随机变量的数字特征 第七章 随机变量及其分步 课时1 离散型随机变量的均值 新知探究 探究一：离散型随机变量的均值 情境设置 问题：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表7.3-1所示. 如何比较他们射箭水平的高低呢? 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 乙射中的概率 【解析】假设甲射箭次,射中7环、8环、9环和10环的频率分别为.甲次射箭射中的平均环数为 当足够大时,频率稳定于概率,所以稳定于 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理,乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较,甲的射箭水平比乙高. 2 新知生成 知识点一 离散型随机变量的均值 设离散型随机变量𝑋 的分布列如下表： 则称 为随机变量𝑋 的均值或数学期望(简称期望). 注意：均值𝐸(𝑋)刻画的是𝑋取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量𝑋 取值的平均水平，是随机变量𝑋 的一个重要特征. … … 3 一、离散型随机变量的均值 P63例题2 抛郑一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值. 【解析】因为的分布列为 因此, 4 一、离散型随机变量的均值 例题1 一个袋子中装有6个黑球，2个白球，它们除颜色外其他完全相同.现每次从袋中不 放回地随机取出1个球，直到2个白球都被取出为止,以𝑋 表示袋中还剩下的黑球个数. (1) 记事件表示“第次取出的是白球”，,2, ,8，求 ； (2)求𝑋 的分布列和数学期望. 【解析】(1)依题意得， . 由条件概率公式可知， . (2)依题意， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6， ，， ， ，， ， ，所以𝑋 的分布列为 故数学期望 . 5 反思感悟 方法总结 求离散型随机变量𝜉的均值的步骤: (1)根据𝜉 的实际意义，写出𝜉 的全部取值； (2)求出𝜉 的每个值的概率； (3)写出𝜉的分布列； (4)利用定义求出均值. 其中第(1)(2)步是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率的相关知识. 6 新知运用 跟踪训练1 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3 人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数𝑋 的分布列和数学期望. 【解析】(1) 7名同学中，会法语的人数为5， 从7人中选派3人，共有种选法，其中恰有2人会法语共有 种选法， 在选派的3人中恰有2人会法语的概率 . (2) 由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3. ； ；； . 故的数学期望 . 的分布列为 0 1 2 3 7 新知探究 探究二：离散型随机变量的均值的性质与应用 情境设置 已知随机变量𝑋 的分布列如下： 问题1：求𝑚 的值. 问题2：求𝐸(𝑋) . 问题3：若𝑌=𝑎𝑋+𝑏，则𝐸(𝑋)与𝐸(𝑌) 之间有什么关系？ 0 1 2 8 新知生成 知识点二 离散型随机变量期望的性质与应用 期望(均值)的性质 (1)若𝑋为常数𝐶，则𝐸(𝑋)=𝐶 . (2)若𝑌=𝑎𝑋+𝑏，其中𝑎，𝑏为常数，则𝑌 也是随机变量，且 𝐸(𝑌)=𝐸(𝑎𝑋+𝑏)=𝑎𝐸(𝑋)+𝑏 . 设的分布列为 根据随机变量均值的定义, 9 二、离散型随机变量均值的性质： 例2 已知离散型随机变量𝑋 的分布列如下表： 则𝐸(−2𝑋+3)= ( ). A.1.88 B.1.72 C.1.56 D.1.4 【解析】由题意可得，解得或 . 当时，， ，不符合随机变量的性质，舍去， 所以 .所以 的分布列为 所以 ， 所以 .故选A. 0 1 2 0.64 A 0 1 2 0.64 0.16 0.2 10 反思感悟 方法总结 求线性关系的随机变量𝜂=𝑎𝜉+𝑏的均值方法 (1)定义法：先列出𝜂的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式𝐸(𝜂)=𝐸(𝑎𝜉+𝑏)=𝑎𝐸(𝜉)+𝑏，求解即可. 11 新知运用 跟踪训练2 已知𝑋 的分布列为 设𝑌=2𝑋+1，则𝑌的数学期望𝐸(𝑌) 的值是( ). A. B. C.1 D. 【解析】由题意可得，解得 ， 所以随机变量的期望 ， 由，得 . 0 1 B 12 三、均值的应用 例3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三 等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1 万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为𝑋 . (1)求𝑋 的分布列； (2)求1件产品的平均利润(𝑋 的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级（一等品、二等品、三等品、次品）的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70% ，若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】(1) 的所有可能取值为6,2,1， ， ， ， ， . 故 的分布列为 6 2 1 0.63 0.25 0.1 0.02 13 三、均值的应用 P65例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示. 规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 【解析】分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件,则A,B,C相互独立. P(X=0)=P(A)=0.2,P(X=1000)=P(AB)=0.8×0.4=0.32,P(X=3000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.6=0.288,P(X=6000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.4=0.192. X的分布列如表7.3-4所示. 的均值为. 歌曲 A B C 猜对的概率 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 14 三、均值的应用 P66例4 根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1运走设备,搬运费为3800元; 方案2建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;方案3不采取措施. 工地的领导该如何决策呢?   天气状况   大洪水 小洪水 没有洪水 概率 方案1 3800 3800 3800  总损失/元 方案2 62000 2000 2000   方案3 60000 10000 0 15 三、均值的应用 例3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三 等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1 万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为𝑋 . (1)求𝑋 的分布列； (2)求1件产品的平均利润(𝑋 的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级（一等品、二等品、三等品、次品）的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70% ，若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】(2) 由(1)可知， . (3)设技术革新后的三等品率为 ，则此时1件产品的平均利润 ，依题意，，即 ， 解得，所以三等品率最多为 . 16 反思感悟 方法总结 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：把实际问题转化为概率模型. (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值. (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断. 17 新知运用 跟踪训练3 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿 车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆，统计数据如下： 将频率作为概率，解答下列问题. (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取1辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率. (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产1辆甲品牌轿车的利润为万元，生产1辆 乙品牌轿车的利润为万元，分别求，的分布列. (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌 轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为该厂应该生产哪种品牌的轿车？请说明理由. 品牌 甲 乙 首次出现故障时间 年 轿车数量/辆 2 3 45 5 45 每辆利润/万元 1 2 3 1.8 2.9 18 新知生成 知识点三 两点分布的期望 一般地，如果随机变量𝑋服从两点分布， 那么 0 1 19 四、两点分布的均值 P63例题1 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 【解析】因为 所以 即该运动员罚球1次的得分的均值是. 20 四、两点分布的均值 例题4 已知离散型随机变量服从两点分布，满足 ，且，则 ( ). A. B. C. D. 【解析】因为随机变量服从两点分布，所以 ， 即，解得或 ， 又因为，所以，所以 ， 所以 .故选C. C 21 反思感悟 方法总结 两点分布的特点 (1)两点分布只有两个对应结果，且两个结果是对立的； (2)由对立事件的概率求法可知𝑃(𝑋=0)+𝑃(𝑋=1)=1. 22 新知运用 跟踪训练4 已知离散型随机变量𝑋服从两点分布，且𝑃(𝑋=0)=2𝑃(𝑋=1)+，求随 机变量𝑌=3𝑋−1 的期望. 【解析】因为随机变量服从两点分布，所以 ， 又，所以, ， 所以，故 . 23 随堂检测 1. 已知𝑌=4𝑋+7，𝐸(𝑌)=15，则𝐸(𝑋)= ( ). A.67 B.11 C.2 D.1 2.设随机变量的分布列为，，2，3，4，则的值为( ). A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2 3.已知随机变量的可能取值为0，1，若，则的均值为__. A C 24 随堂检测 4.马老师从课本上抄录的一个随机变量𝜉 的概率分布列如下表： 请小牛同学计算𝜉 的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案𝐸(𝜉)= ___. 【解析】 令“？”为，“！”为，则， ， . 2 1 2 3 ？ ！ ？ 25 课堂小结 1.知识清单： (1)离散型随机变量的均值； (2)离散型随机变量均值的性质与应用； (3)两点分布的期望. 26 $$