7.1.2 全概率公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.1条件概率与全概率公式 第七章 随机变量及其分步 课时2 全概率公式 新知探究 探究一：乘法公式 情境设置 问题1：在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率. 【解析】(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道,试验的样本空间包含20个等可能的样本点,即 因为,所以 (2)“在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是事件发生的条件下，事件发生的概率.显然.利用条件概率公式,得 解法2：在缩小的样本空间上求.已知第1次抽到代数题,这时还余下4道试题,其中代数题和几何题各2道.因此,事件发生的条件下,事件发生的概率为 又,利用乘法公式可得 2 新知探究 探究一：乘法公式 情境设置 问题2：已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 【解析】两用分别表示甲、乙、丙中奖的事件,则. . 因为,所以中奖的概率与抽奖的次序无关. 事实上,在抽奖问题中,无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取,中奖的概率都与抽奖的次序无关. 3 新知探究 探究一：乘法公式 情境设置 问题3：银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字.求: (1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率. 【解析】(1)设“第次按对密码”(次就按对密码”可表示为 事件与事件互斥,由概的加法公式及乘法公式,得 因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率为. (2)设最后1位密码为偶数”，则 因此,如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率为. 4 新知生成 知识点一 乘法公式 1.乘法公式 若,则，这就是说，根据事件𝐴 发生的概率，以及在已知事件𝐴发生的条件下，事件𝐵发生的概率，可以求出事件𝐴与𝐵 同时发生的概率.一般地，这个结论称为概率的乘法公式. 2.乘法公式的拓展 假设表示事件，,2,3，且, ，则.其中表示已知与都发生时发生的概率，而表示，，同时发生的概率. 5 一、乘法公式 例题1 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75 ，且在第一 天的空气质量为优良的情况下，第二天的空气质量为优良的概率是0.8.求连续两天空气质量为优良的概率. 【解析】记“第一天的空气质量为优良”为事件𝐴，“第二天的空气质量为优良”为事件𝐵 ， 则𝑃(𝐵|𝐴)=0.8，𝑃(𝐴)=0.75 ，由乘法公式得 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)=0.75×0.8=0.6 ,即连续两天空气质量为优良的概率为0.6. 6 反思感悟 方法总结 在不好直接求得𝑃(𝐴𝐵)的情况下，先求出方便计算的𝑃(𝐴)和𝑃(𝐵|𝐴)，再求𝑃(𝐴𝐵). 7 新知运用 跟踪训练1 已知某品牌的玉手镯从1 m高的地方掉落时，第一次未碎掉的概率为0.7 ，且当第一次未碎掉时，第二次也未碎掉的概率为0.4.试求这款玉手镯从1 m 高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率. 【解析】设事件表示“这款玉手镯第次掉落后没有碎掉”， ，2，则由已知可得 ， ，因此由概率的乘法公式可得 ， 即这款玉手镯从1 m 高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率为0.28. 8 新知探究 探究二：全概率公式 情境设置 问题1：从有个红球和个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢? 9 新知探究 探究二：全概率公式 情境设置 问题2：某学校有两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅,那么第2天去餐厅的概率为;如果第1天去餐厅,那么第2天去餐厅的概率为.计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. 【解析】设第1天去餐厅用餐”,第1天去餐厅用餐”,第2天去餐厅用餐”,则,且与互斥.根据题意得 由全概率公式,得 因此,王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 10 新知生成 知识点二 全概率公式 一般地，设,, ,是一组两两互斥的事件, ,且，,2, ,,则对任意的事件 ,有 ，这称为全概率公式. 特别提醒：在样本空间Ω 中，每种原因都可能导致𝐵发生，故𝐵 发生的概率是各种原因引起𝐵 发生概率的总和.由此可以形象地把全概率公式看成由原因推结果，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了因果之间的关系. 11 二、两个事件的全概率问题 例2 某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动 的甲、乙两班的人数之比为5:3，且甲班中女生占，乙班中女生占 .求该社区居民遇 到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 【解析】设事件表示“社区居民所遇到的一位同学是甲班的”，事件表示“社区居民 所遇到的一位同学是乙班的”，事件 表示“社区居民所遇到的同学是女生”，则 ，且，互斥， . 由题意可知， ， 且， . 由全概率公式可知 . 12 反思感悟 方法总结 两个事件的全概率问题的求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分,如，（或与）. (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率. 13 新知运用 跟踪训练2 某商店收购甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱.已知甲厂每箱装100个，废品率为0.06；乙厂每箱装120个，废品率为0.05. (1)任取一个产品，求它是废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 【解析】记事件为“抽取的产品来自甲厂”，事件为“抽取的产品来自乙厂”，事件 为 “抽取的产品为废品”，则，且， 互斥. (1)由题意，得， ，， . 由全概率公式，得 . (2) ， ， ， .由全概率公式，得 . 14 三、多个事件的全概率问题 例3 受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步 统计，这三个市分别有8%,6%,4% 的人感染了支原体肺炎病毒.已知这三个市的人数之比为4:6:10 ，现从这三个市中任意选取一个人，求这个人感染支原体肺炎病毒的概率. 【解析】记事件𝐷为“选取的这个人感染了支原体肺炎病毒”,记事件𝐸 为“此人来自甲市”, 记事件𝐹为“此人来自乙市”,记事件𝐺 为“此人来自丙市”， 则Ω=𝐸∪𝐹∪𝐺,且𝐸,𝐹,𝐺 彼此互斥, 依题意，,, , ,, , 由全概率公式得 ， 所以从这三个市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. 15 反思感悟 方法总结 “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图， . (2) 已知事件的发生有各种可能的情形，则事件发生的可能性，就是各种可能情形发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和. 16 新知运用 跟踪训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【解析】(1) 从甲箱中任取2个产品的事件数为 ，这2个产品都是次品的 事件数为 ， 这2个产品都是次品的概率为 . (2) 设事件为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件为“从甲箱中取出的2个产 品都是正品”，事件为“从甲箱中取出的2个产品是1个正品和1个次品”，事件 为 “从甲箱中取出的2个产品都是次品”，则事件、事件、事件 彼此互斥. ，， ， ，， ， . 17 新知探究 探究三：贝叶斯公式 情境设置 问题：有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为,第2,3台加工的次品率均为,加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率; (2)如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率. 【解析】设“任取一个零件为次品”,“零件为第台车床加工”,则,且, (1)由全概率公式,得 (2)“如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率”,就是计算在发生的条件下,事件发生的概率. 类似地,可得 设B=“任取一个零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则Ω=A1∪A2∪A3,且A1, 18 新知生成 知识点三 贝叶斯公式 若样本空间Ω 中的事件，， ，满足： (1)任意两个事件均互斥，即 ，，，2， ，，且 ； (2 ； (3) ，，2， ， . 则对 中的概率非零的任意事件 ，有 .上述公式称为贝叶斯公式. 特别提醒：全概率公式就是已知第一阶段求第二阶段，而贝叶斯公式就是已知第 二阶段反推第一阶段. 19 四、贝叶斯公式 例4 某次某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.在除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5:7:8 ，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6，0.5，0.4 . (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 【解析】记事件为“小明获胜”，记事件为“小明与第 类棋手比赛”， 由题意可得，，， ， ，， .由全概率公式可知 . (2)由条件概率公式可得 .即小明获胜，对手为一类棋手的概率为 . 20 反思感悟 方法总结 若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果未知，第二个阶段的结果已知，要求该试验结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,则一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率.熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以选择准确的方法进行计算，快速解题. 21 新知运用 跟踪训练4 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别 为0.95，0.90，0.80，三家产品数量之比为2:3:5 ，将三家产品混合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，则它由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？ 【解析】设事件表示“取到的产品为正品”，，，分别表示“取到的产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知得，， ， ，， . (1) 由全概率公式得 . (2)由贝叶斯公式得 ， ， . 比较以上3个数，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大. 22 随堂检测 1. 李老师家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3.已知邻居记得浇水的概率为0.6 ，忘记浇水的概率为0.4 ，那么李老师回来后发现花还存活的概率为( ). A.0.45 B.0.5 C.0.6 D.0.72 2.设10件产品中有3件不合格品，从中不放回地取两次，每次取一件，则取出的第二件 为不合格品的概率为( ). A. B. C. D. 3.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有3个白球和4个 红球.若先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，则该球为红球的概率是___. C C 23 随堂检测 4. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20% ，各厂的产品 的次品率分别为4%，2%，5% ，现从中任取一件. (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率. 【解析】记事件为“该产品为甲厂生产的”，事件为“该产品为乙厂生产的”，事件 为“该产品为丙厂生产的”，事件为“该产品是次品”,则，且， ， 两两互斥.由题意知，，， ， ， . (1)由全概率公式得 . (2)由贝叶斯公式（或条件概率定义）得 . 24 课堂小结 1.知识清单： (1)乘法公式； (2)全概率公式； (3)贝叶斯公式. 25 $$