7.1.1条件概率 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.1条件概率与全概率公式 第七章 随机变量及其分步 课时1 条件概率 新知探究 探究一：条件概率的概念 情境设置 问题1：某个班级有45名学生,其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示. 在班级里随机选择一人做代表. (1)选到男生的概率是多少? (2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?   团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 【解析】随机选择一人做代表,则样本空间包含45个等可能的样本点.用表示事件“选到团员”,表示事件“选到男生”,根据表7.1-1中的数据可以得出,,. (1)根据古典概型知识可知,选到男生的概率 (2)“在选到团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件发生的条件下,事件发生”的概率,记为.此时相当于以为样本空间来考虑事件发生的概率,而在新的样本空间中事件就是积事件,包含的样本点数.根据古典概型知识可知, 2 新知探究 探究一：条件概率的概念 情境设置 问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大? (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大? 【解析】观察两个小孩的性别,用表示男孩,表示女孩,则样本空间,且所有样本点是等可能的.用表示事件“选择的家庭中有女孩”,表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”,则. (1)根据古典概型知识可知,该家庭中两个小孩都是女孩的概率 (2)“在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下,事件发生"的概率,记为.此时成为样本空间,事件就是积事件.根据古典概型知识可知, 3 新知生成 知识点一 条件概率的概念 设，是两个随机事件，且，则称为在事件𝐴 发生的条 件下，事件𝐵 发生的条件概率，简称条件概率. 这个结论对于一般的古典概型仍然成立. 若已知事件发生,则成为样本空间.此时,事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值,即 且. 古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等； 4 一、利用定义求条件概率 例题1 现有6个节目，其中4个舞蹈类节目，2个语言类节目，若不放回地依次抽取2个节 目，求： (1)第1次抽到舞蹈类节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈类节目的条件下，第2次抽到舞蹈类节目的概率. 【解析】设“第1次抽到舞蹈类节目”为事件，“第2次抽到舞蹈类节目”为事件 ，则“第1 次和第2次都抽到舞蹈类节目”为事件 . (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，得 .根据分步乘法计数原理，得 ，所以 . (2)因为，所以 . (3)(法一)由 可知，在第1次抽到舞蹈类节目的条件下，第2次抽到舞蹈类节目的概率 . (法二)因为𝑛， ， 所以 . 5 反思感悟 方法总结 求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求和，得，这是求条件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件𝐴与 事件𝐵的交事件中包含的基本事件数，得. 6 新知运用 跟踪训练1 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两个球，每次取一个球，记第一次取出的球的数字是𝑥 ，第二次取出的球的数字是𝑦.若事件𝐴为“𝑥+𝑦为偶数”，事件𝐵为“𝑥，𝑦中有偶数且𝑥≠𝑦 ”，则𝑃(𝐴|𝐵)= ( ). A. B. C. D. 【解析】因为是有放回地随机取两个球，所以𝑛(Ω)=36 . 因为事件B为“𝑥，𝑦中有偶数且𝑥≠𝑦”，所以𝑛(𝐵)=36−3×3−3=24 . 因为事件A为“𝑥+𝑦为偶数”，事件B为“𝑥，𝑦中有偶数且𝑥≠𝑦 ”， 所以事件𝐴𝐵为“𝑥，𝑦均为偶数且𝑥≠𝑦”，所以𝑛 ， 所以𝑃 . C 7 二、缩小样本空间求条件概率 例题2 已知集合𝐴={1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从𝐴 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，求在甲抽到奇数的条件下，乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 【解析】设甲抽到数字𝑎，乙抽到数字𝑏记作(𝑎,𝑏) ，在甲抽到奇数的条件下，乙抽到的 数比甲抽到的数大的概率为𝑃，则甲抽到奇数的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5) ， (1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6) ，共15 种.在这15种情况中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5) ， (1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6) ，共9种，所以在甲抽到奇数的条件下，乙抽到的数 比甲抽到的数大的概率𝑃 . 8 二、缩小样本空间求条件概率 变式 若甲先取（取后放回），乙后取，记“甲抽到的数大于4”为事件𝐴 ，“甲、 乙抽到的两数之和等于7”为事件𝐵，求𝑃(𝐵|𝐴) . 【解析】甲抽到的数大于4的情况有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1) ， (6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6) ，共12种，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情况 有(5,2)，(6,1)，共2种，所以 . 9 反思感悟 方法总结 利用缩小样本空间法求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件𝐴，原来的事件𝐵缩小为事件𝐴𝐵. (2)数：数出事件𝐴中事件𝐴𝐵所包含的基本事件. (3)算：利用求得结果. 10 新知运用 跟踪训练2 抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面的点数，记事件𝐴 表示“蓝 色骰子的点数为4或6”，事件𝐵 表示“两枚骰子的点数之和大于8”.求： (1)在事件𝐴发生的条件下，事件𝐵 发生的概率； (2)在事件𝐵发生的条件下，事件𝐴 发生的概率. 【解析】由题意可知， . 由,, , 知，其中 . ( . (2) . 11 新知探究 探究二：条件概率的性质 情境设置 问题1：先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？ 【解析】设“第一枚出现4点”为事件𝐴，“第二枚出现5点”为事件𝐵 ，“第二枚出现6点”为事件𝐶，则所求事件为，所以 . 12 新知生成 知识点二 条件概率的性质 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 .设 ，有下列结论： (1) ； (2) 如果和是两个互斥事件，那么 ； (3) 设和互为对立事件，则 . 13 三、条件概率的性质 例3 在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸出2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，摸出的第二个球是黄球或黑球的概率. 【解析】设“摸出的第一个球是红球”为事件𝐴，“摸出的第二个球是黄球”为事件𝐵 ，“摸出的第二个球是黑球”为事件𝐶 . （法一），， ， ， ， ，即所求的概率为 . （法二），， ，即所求的概率为 . 14 反思感悟 方法总结 利用条件概率性质解题的策略 (1)分析条件，选择公式：首先看事件𝐵，𝐶是否互斥，若互斥，则选择公式 𝑃(𝐵∪𝐶|𝐴)=𝑃(𝐵|𝐴)+𝑃(𝐶|𝐴). (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件，然后求出这些简单事件的概率，最后利用加法公式即得所求的复杂事件的概率. 15 新知运用 跟踪训练3 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题.已知答对其中的4道题即可 通过考试；答对其中的5道题就能获得优秀.某考生能答对其中的10道题，并且知道他 在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 【解析】设“该考生6道题全答对”为事件𝐴，“该考生恰好答对了5道题”为事件𝐵 ，“该考生恰好答对了4道题”为事件𝐶，“该考生在这次考试中通过”为事件𝐷 ，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件𝐸，则𝐷=𝐴∪𝐵∪𝐶，𝐸=𝐴∪𝐵，且𝐴，𝐵，𝐶 两两互斥. 由古典概型的概率公式知， ，又， ，所以 .故所求概率为 . 16 随堂检测 1.若某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，超过2年的概率为0.3 ，则已经使用了1 年的该种元件使用寿命超过2年的概率为( ). A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1 2. (多选题)设𝐴，𝐵为两个随机事件，且𝑃(𝐴)>0，𝑃(𝐵)>0 ,则下列说法一定正确的是( ). A.𝑃(𝐵|𝐴)=−0.2 B.𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵) C.𝑃(𝐵|𝐴)=0，说明事件𝐴与事件𝐵 不能同时发生 D.𝑃(𝐵|𝐴)与𝑃(𝐵) 有可能相等 3.已知一个盒子内装有形状、大小完全相同的5个球，其中3个红球，2个白球.如果不放 回地依次抽取3个球，那么在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为__. CD B 0.5 17 随堂检测 4. 已知盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球.玻璃球中有2个是红色的， 4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是 蓝球，则该球是玻璃球的概率是多少？ 【解析】由题意得球的分布如下：设取得蓝球，取得玻璃球 ， ，， . 玻璃球 木质球 合计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 合计 6 10 16 18 课堂小结 1.知识清单： (1)条件概率的概念； (2)条件概率的性质. 19 $$