精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

高二下学期半期考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 2. 与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解. 【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4， 所以所求圆的方程为. 故选：B 3. 若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 4. 设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的共面和空间基底的条件即可解答. 【详解】A选项，由于与任意两个向量共面，不能作为基底； B选项，，故三个向量共面，不能作基底； C选项，设， 向量，，不共面，上式显然不成立，即与不共面，符合题意； D选项，，故三个向量共面，不能作为基底； 故选：C. 5. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由已知得，可设，， 则，， 即， 故选：. 6. 已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理求得，再由求解. 【详解】解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以， 在中，由余弦定理得：， ， 解得 ， 所以 ， ， 解得， 故选：D 7. 已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由题可知.则由题有：.又因为点A，P在双曲线上，则，两式相减整理后可得答案. 【详解】设，，根据对称性，知， 所以． 因点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得， 所以，所以，所以，所以． 故选：D 8. 已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）． A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递减数列 D. 的前n项和 【答案】D 【解析】 【分析】由两边取倒数求得的通项公式，对各选项进行分析判断，即可得答案. 【详解】由两边取倒数：，即，又， 所以首项为4，公比为2的等比数列，A正确. ，即，B正确. 由通项公式知：为递减数列，C正确. 因为，所以 ，D错误. 故选：D 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，得出各点坐标，由向量的运算判断ABC三个选项，由向量的线性运算判断D． 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，，，， ， ，，，，A正确； ，，B错； ，，C正确； ，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：本题考查空间向量的数量积，考查空间向量的线性运算．解题方法建立空间直角坐标系，把空间向量的数量积用坐标进行运算，向量垂直用数量积进行表示，这样直接计算可减少证明．简化的解题过程． 10. 曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在处的切线方程，设直线的方程为，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 设直线的方程为，则，解得或， 直线的方程为或. 故选：AB. 11. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数大于2，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用分步乘法计数原理求出基本事件数，再求出符合条件的事件数，进而求解概率判断A，B，利用独立事件的乘法公式判断C，D即可. 【详解】由分步乘法计数原理得基本事件的总数为个， 事件包含基本事件为， ，共18个， 所以， 事件包含的基本事件为，共9个， 所以，故A正确; 事件包含的基本事件为， ， ，共有24个， 所以，故B正确， 而包含的基本事件为共有9个， 所以，而，故， 所以与不是相互独立事件，故C错误; 而包含的基本事件为，共有6个， 所以，而，故， 所以与是相互独立事件，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，，则______． 【答案】768 【解析】 【分析】结合题干条件求出公比，进而可计算结果. 【详解】，所以， . 故答案为：768 13. 已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答. 【详解】设椭圆C的右焦点为，依题意，，由椭圆的定义得：， 而，即，有， 因此，，当且仅当点P是线段的延长与椭圆C的交点时取“=”， 所以的最小值为4. 故答案为：4 14. 已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】连接，，设准线与轴交于点，进而证明四边形为平行四边形,四边形为矩形即可得答案. 【详解】解：如图所示，连接，，设准线与轴交于点， 由题意得，. ∵，分别为，的中点， ∴. ∵垂直于点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，则四边形为矩形， ∴， ∴. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求y＝x2在x＝1处的导数； (2)求y＝x2＋＋5在点处的导数. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求，然后计算的值，当无限趋于时，即可求出的值； （2）先求，然后计算，当无限趋于时，代入相关值计算即可得到答案． 【详解】解：(1)∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2， ∴＝＝2＋Δx， 当Δx无限趋近于0时，＝2＋Δx无限趋近于2， 所以f′(1)＝2. (2)∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－， ＝4Δx＋(Δx)2－， ∴＝4＋Δx－， ∴当Δx→0时，→4－ ＝，故f′(2)＝. 16. 已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）直接由前n项和与项的关系求解.（2）利用等差数列求和公式计算可得. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然时也满足， 所以． （2）因为， 所以数列为等差数列，其前项和． 17. 在①过点；②椭圆长半轴为a，短半轴为b，且；③长轴长为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，且_______. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点F的直线交椭圆于P，Q两点.当直线的倾斜角为时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别选择方案，根据离心率结合题目条件得到方程组，解得答案. （2）直线方程为，联立方程，得到根与系数的关系，计算，计算面积得到答案. 【小问1详解】 选择①时：，则，设椭圆方程为， 将点带入方程，得到，故椭圆方程为. 选择②时：，，解得，，则， 故椭圆方程为. 选择③时：长轴长为，，，，则， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 右焦点，倾斜角为，故直线斜率为，故直线方程为， ，故，，， 故，. 18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,, （1）求证:平面平面PBC; （2）试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由． 【答案】（1）证明见解析; （2）存在,. 【解析】 【分析】(1)先由长度之间关系证明,再证明平面,根据面面垂直判定定理即可证明结论; (2)先建立空间直角坐标,设,写出M点坐标,分别求出平面及平面的法向量,进而求出二面角大小的余弦值,使其为,解出的值,进而求出的值即可. 【小问1详解】 证明:, , , 四边行为平行四边形, , 又平面, , 而,且BD,PD含于面PBD 平面, 又平面, 平面平面; 【小问2详解】 由(1)知,,且平面ABCD, 故以D为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则, 假设在存在一点满足条件, 设, , , 即, 设为平面的法向量, 则, 即, 即, 令, 可得, 平面ABCD, 不妨令平面的法向量为, 由二面角的大小为, , 或（舍去）, 存在实数, 即, 解得,使得二面角的大小为． 19. 在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，一动圆M与圆内切、与圆外切. （1）求动圆圆心M的轨迹方程E； （2）是否存在一条过定点的动直线，与E交于A、B两点，并且满足？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，过定点 【解析】 【分析】（1）由题意得，则动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，可得，即可得出结果； （2）设直线，代入，并整理得，设，由题知，即，结合韦达定理求得，代入直线方程即可得出答案. 【小问1详解】 由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径， 设动圆的半径为， 动圆与圆内切，与圆外切，， ，且， 动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， ， 动圆圆心的轨迹方程E为：. 【小问2详解】 设直线为， 把代入，并整理得， ，即， 设，则， ，所以 ， 所以， ，，， ， ，即，解得或， 当时，直线为，过，不合题意，舍去； 当时，直线为，过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期半期考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 4. 设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A B. C. D. 6. 已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（ ） A B. C. D. 7. 已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）． A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递减数列 D. 的前n项和 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数大于2，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，，则______． 13. 已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为___________. 14. 已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求y＝x2在x＝1处的导数； (2)求y＝x2＋＋5在点处的导数. 16. 已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）求数列前项和． 17. 在①过点；②椭圆长半轴为a，短半轴为b，且；③长轴长为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，且_______. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点F直线交椭圆于P，Q两点.当直线的倾斜角为时，求的面积. 18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,, （1）求证:平面平面PBC; （2）试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，一动圆M与圆内切、与圆外切. （1）求动圆圆心M的轨迹方程E； （2）是否存在一条过定点的动直线，与E交于A、B两点，并且满足？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$