广东省中山市杨仙逸中学2024-2025学年高二下学期期中考试(4月)数学试题

2024-2025年广东中山杨仙逸中学高二下学期数学期中考试(4月) 一、单选题 1.设三次函数f(x)的导函数为f’(x)，函数y=xf’(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是（    ） A．f(x)的极大值为f()，极小值为f() B．f(x)的极大值为f() ，极小值为f() C．f(x)的极大值为f(-3)，极小值为f(3) D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(-3) 2.设n∈，化简（    ） A． B． C． D． 3.某同学计划2023年高考结束后，在A,B,C,D,E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 4.若曲线在点(1,a)处的切线与直线l:2x-y+5=0垂直，则实数a=（    ） A． B．1 C． D．2 5.已知函数f(x)及其导函数f’(x)，若存在使得f()=f’()，则称是f(x)的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（    ） A．y=x B．y= C．y=cosx D．y= 6.设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f’(x)<g'(x)，则当x∈(a,b)时（    ） A．f(x)<g(x) B．f(x)>g(x) C．f(x)+g(a)<g(x)+f(a) D．f(x)+g(b)<g(x)+f(b) 7.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．72 B．56 C．48 D．36 8.已知a=，b=，c=，则a，b，c之间的大小关系为（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a 二、多选题 9.下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 10.已知函数f(x)=-ax+1的图象在x=2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（    ） A．a=3 B．f(x)在[-1,1]上单调递减 C． D．f(x)的图象关于原点中心对称 11.已知函数，则（       ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、填空题 12. 函数的最大值为_________． 13.圆周上有2n个等分点(n>1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_______ 14.函数有两个零点，则k的取值范围是________ 四、解答题 15.计算题 (1)计算： (2)已知，求x． 16.已知数列满足：，(n≥2)． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前n项和的表达式． 17.已知函数f(x)=-4x+2． (1)求函数f(x)在x=3处的切线方程； (2)求函数f(x)在[0,3]上的最大值与最小值． 18.设函数f(x)=In(2x+3)+ (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在区间的最大值和最小值． 19.已知函数f(x)=，其中a>0． (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线的方程； (2)试讨论函数f(x)的单调区间． 参考答案与试题解析 1.D 【解析】当x<-3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)<0， 当-3<x<3时，f'(x)0， 当x>3时，f'(x)<0， 所以f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(-3)． 2.B 【解析】因, 所以，则， 故， 故选：B． 3.B 【解析】在A,B,C,D,E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：， A大学恰好被选中的基本事件为：， 所以A大学恰好被选中的概率为：， 故选，B 4.C 【解析】【答案】C 【详解】由题得，f(x)=，x>0， 所以， 则曲线在点(1,a)处的切线的斜率为，k=， 又因曲线在点(1,a)处的切线与直线l垂直，直线l：2x-y+5=0的斜率是2， 所以(1-a)×2=-1，解得。 故选，C 5.D 【解析】【答案】D 【详解】对于A，f(x)=x，则f'(x)=1，令f(x)=f'(x)，则x=1，故有巧值点。 对于B，f(x)=，则f'(x)=，令f(x)=f'(x)，方程有解，故有巧值点。 方程有解，故有巧值点。 对于C，f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx，令f(x)=f'(x)，则sinx+cosx=0， 即，解得， 对于D，f(x)=的定义域为，则， 而f(x)>0，显然f(x)=f'(x)无根，故无巧值点。 故选，D 6.C 【解析】【答案】C 【详解】对于AB，设f(x)=-2x，g(x)=1，则f'(x)=-2，g(x)=0，满足题意， 若x=-1，则f(x)=2>1=g(x)，故A错误。 若x=0，则f(x)=0<1=g(x)，故B错误。 对于CD，因函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f’(x)<g'(x)， 令h(x)=f(x)-g(x)，则h'(x)=f'(x)-g'(x)<0，所以h(x)在R上单调递减， 因x∈(a,b)，所以h(b)<h(x)<h(a)， 由h(x)<h(a)得f(x)-g(x)<f(a)-g(a)，则f(x)+g(a)<g(x)+f(a)，故C正确。 同理得f(x)+g(b)>g(x)+f(b)，故D错误。 故选，C 7.C 【解析】将四个区域标记为ABCD，第一步涂A，有4种涂法。第二步涂B，有3种涂法。第三步涂C，有2种涂法。第四步涂D，有2种涂法。 根据分步乘法计算原理可得，共有4×3×2×2=48种着色方法， 故选，C 8.B 【解析】【答案】B 【详解】设，则， 令f'(x)>0得0<x<1，令f'(x)<0得x>1， 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减， 又因a==f(4)，b=，c==， 且，所以，即b>c>a， 故选，B 9.A,D 【解析】对于A，从6人中选2人分别去游泳和跳绳 ，选出的2人有分工不同，是排列问题； 对于B，从10人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题。 故选：AD 10.A,B,C 【解析】f(x)=-ax+1，则， 因函数f(x)d 图像在x=2处的切线斜率为9， 所以f'(2)=12-a=9，解得a=3，故A正确。 f(x)=-3x+1，，， 令f'(x)0，得，所以f(x)在[-1,1]上单调递减，故B正确。 由于，故C正确。 函数f(x)=-3x+1，，， 所以f(x)+f(-x)=2，则f(x)的图象关于点(0,1)中心对称，故D错误。 故选，ABC 11.A,C 【解析】在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故正确； 可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故错误， 故选． 12. 【解析】设， ， ， 为开口向下，对称轴为的二次函数， 在上单调递增，在上单调递减， 在时取得最大值． 13.2n(n-1) 【解析】由题得，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形， 因圆周上有2n个等分点，所以共有n条直径， 每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形， 所以可作2n-2个直角三角形， 根据分步乘法计数原理得共有n(2n-2)=2n(n-1)个。 14. 【解析】函数有两个零点， 有两个根，即方程有两根， 设g(x)=，则函数g(x)与y=的图像有两个交点， ， 当时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 当时，g'(x)<0，g(x)单调递减， 所以函数g(x)在x=e时，取最大值g(e)=， 又因当x→0时，g(x)→，当x→时，g(x)>0且g(x)→0， 故函数g(x)的大致图像如下所示： 由图得，所以。 15. (1)-5 【解析】【答案】-5 【详解】 (2)x=2或x=3 【解析】， 所以3x=2x+2或3x+2x+2=17 解得，x=2或x=3 16.(1)解答见详解 【解析】【详解】由题得，， ， 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列。 (2)解答见详解 【解析】【详解】由（1）得，，即， 所以前n项和 17. (1)解答见详解 【解析】【详解】因f(x)=-4x+2，所以， 则所求切线的斜率为f'(3)=5，且f(3)=-1， 故所求切线方程为y=5x-16。 (2)解答见详解 【解析】【详解】因f(x)=-4x+2，， 所以， 令f'(x)=0，得x=2或x=-2（舍去） 当，，函数f(x)单调递减， 当，，函数f(x)单调递增， 所以f(x)的极小值为f(2)=， 又f(0)=2，f(3)=-1， 所以f(x)的最大值为2，最小值为。 18. (1)解答见详解； 【解析】f(x)=In(2x+3)+，定义域为， 且， 当或时，f'(x)>0， 当时，f'(x)<0， 所以f(x)在区间上单调递增， 在区间上单调递减， (2)解答见详解 【解析】由 (1) 得，f(x)在区间的最小值为， 又， 所以f(x)在区间的最大值为。 19. (1)解答见详解 【解析】【详解】当a=1时，f(x)=，则， 所以f'(1)=0，又f(1)=， 所以f(x)在点(1，f(1))处切线的方程为y=。 (2)解答见详解 【解析】【详解】由题得，， 令f'(x)=0，解得x=a或x=， 若0<a<1，a<，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下： ， 所以f(x)的单调增区间为(0,a)和(,+)，单调递减区间为(a,)， 若a>1，<a，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下： ， 所以f(x)的单调增区间为(0,)和(a,+)，单调递减区间为(,a)， 若a=1，则f'(x)0，函数f(x)的单调增区间为， 综上，当0<a<1时，f(x)的单调增区间为(0,a)和(,+)，单调递减区间为(a,)， 当a>1时，f(x)的单调增区间为(0,)和(a,+)，单调递减区间为(,a)， 当a=1时，f(x)的单调增区间为， 第页(共页) 学科网（北京）股份有限公司 $$