第16章 二次根式（思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题）-2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末培优知识讲练

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第16章 二次根式 （思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：二次根式的定义 2 知识点梳理02：二次根式的主要性质 3 知识点梳理03：最简二次根式 3 易错考点点拨汇总 3 易错知识点01：二次根式定义条件 3 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 3 易错知识点03：误判“同类二次根式” 4 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 4 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 4 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 4 易错知识点07：隐含条件忽视 4 易错知识点08：符号与变形错误 4 易错知识点09：应用场景误区 5 期末真题考点汇编讲练 5 期末考向一：二次根式 5 重点考点讲练01：求二次根式的值 5 重点考点讲练02：求二次根式中的参数 6 重点考点讲练03：利用二次根式的性质化简 7 重点考点讲练04：复合二次根式的化简 8 期末考向二：二次根式的乘除 9 重点考点讲练05：二次根式的乘除混合运算 9 重点考点讲练06：化为最简二次根式 10 重点考点讲练07：已知最简二次根式求参数 11 期末考向三：二次根式的加减 13 重点考点讲练08：二次根式的加减运算 13 重点考点讲练09：二次根式的混合运算 14 重点考点讲练10：分母有理化 15 重点考点讲练11：已知字母的值，化简求值 16 重点考点讲练12：已知条件式，化简求值 17 重点考点讲练13：比较二次根式的大小 19 重点考点讲练14：二次根式的应用 20 优选真题难度分层练 22 中档题—夯实基础能力 22 压轴题—强化解题技能 27 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二次根式的定义 形如的代数式叫二次根式 （1） 式子中含有二次根号“”； （2） 可以表示数也可以表示代数式 （3） 二次根式表示非负数的算术平方根，，即二次根式的两个非负性 知识点梳理02：二次根式的主要性质 （1） （2） （3） （4） 二次根式的性质是根式化简的依据。 知识点梳理03：最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 易错知识点01：二次根式定义条件 学生容易忽略被开方数必须是非负数这一核心条件。例如，题目中出现类似“”的式子时，未意识到隐含条件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 最简二次根式需满足三个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开方的因数； 分母中不含根号。 常见错误如未将化简为，或未对分母进行有理化处理。 易错知识点03：误判“同类二次根式” 同类二次根式需先化简为最简形式后，再看被开方数是否相同。例如，和化简为和才可合并，但学生可能因未化简而误以为不能合并 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 乘法时未正确应用（需a,b≥0）； 除法中未注意分母有理化，或误将拆分为但忽略分母限制 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 错误将根号与加减法结合，如，或，此类错误常因对根号性质理解不透导致 易错知识点07：隐含条件忽视 1. 双重非负性忽略 二次根式的结果和被开方数均非负，但学生可能在涉及代数式时未考虑符号。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意题目中隐含的变量取值范围 2. 分母有理化不彻底 有理化时需找到正确的有理化因式，如对​，应乘以而非仅处理分母中的单项根式。学生可能仅处理部分项，导致分母仍含根号 易错知识点08：符号与变形错误 1. 变形时符号处理不当 例如，将直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为∣a−2∣ 2. 综合运算顺序混乱 混合运算时未遵循先乘除后加减、先括号内后外的规则，或因跳步过多导致符号错误。例如，在计算“”时，可能漏乘括号内的第二项 易错知识点09：应用场景误区 1. 实际问题建模错误 例如，用勾股定理求斜边时，若已知两直角边为和，学生可能直接相加而非平方后求和再开方 2. 与数轴结合时符号误判 当二次根式与数轴上的点结合时，未根据点的位置判断被开方数的正负性，导致结果错 期末考向一：二次根式 重点考点讲练01：求二次根式的值 【母题精讲】（22-23八年级下·山东烟台·期末）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案． 【规范解答】根据二次根式的定义可得中得被开方数a无论为何值都是非负数， 故选C． 【训练1】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知a＝﹣2，则+a＝ ． 【答案】0． 【思路点拨】根据二次根式的性质即可求出答案． 【规范解答】当a＝﹣2时， 原式＝|a|+a ＝﹣a+a ＝0； 故答案为0 【训练2】（21-22八年级下·云南昆明·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据二次根式的定义判断即可； 【规范解答】A.，无意义，故A错误； B.是二次根式，故B正确； C.是三次根式，故C错误； D.没有说明a的取值范围，故D错误； 故选B． 重点考点讲练02：求二次根式中的参数 【母题精讲】（19-20八年级下·河北承德·期末）若有意义，则m能取的最小整数值是（    ） A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3 【答案】B 【思路点拨】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【规范解答】解：若有意义，则， 解得， 所以，m能取的最小整数值是1． 故选：B． 【训练1】（22-23八年级上·陕西·阶段练习）当取最小值时，a的值是 . 【答案】- 【思路点拨】根据二次根式一定为非负数，既最小值为0求解. 【规范解答】≥0, ∴的最小值为0， ∴2a+3=0, ∴a=-. 【训练2】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【思路点拨】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 重点考点讲练03：利用二次根式的性质化简 【母题精讲】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知实数，满足，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识，先由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件求出的值，代入代数式求解即可得到答案． 【规范解答】解： ，且， ， 解得：或， ，即， ， ， ． 【训练1】（23-24八年级下·广西百色·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】先计算算术平方根、化简二次根式和绝对值，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【规范解答】解： ． 【训练2】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）当，时，代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】A 【思路点拨】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，将，代入代数式，利用平方差公式、二次根式性质计算即可得到答案，熟练掌握平方差公式、二次根式性质是解决问题的关键． 【规范解答】解： ，， ， 故选：A． 重点考点讲练04：复合二次根式的化简 【母题精讲】（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据，有意义可得，进而即可求解． 【规范解答】解：∵，有意义， ∴， ∴ ， 故选：D． 【训练1】（20-21八年级下·湖南湘西·期末）仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 【答案】 （n为正整数） 【思路点拨】（1）根据所给的式子进行解答即可； （2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可． 【规范解答】解：（1）根据题意，第4个式子是：， 故答案为：； （2）∵，整理得：， ，整理得：， ，整理得： … 则第n个式子为：． 故答案为：（n为正整数）． 【训练2】（20-21八年级上·四川雅安·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝，则a±2将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使得以化简．例如，因为5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2，所以＝． 请仿照上面的例子化简下列根式： (1)       (2) 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】（1）把4分成1和3，可以把根号里面的数凑成完全平方的形式； （2）把9分成4和5，可以把根号里面的数凑成完全平方的形式． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式． 期末考向二：二次根式的乘除 重点考点讲练05：二次根式的乘除混合运算 【母题精讲】（23-24八年级下·北京海淀·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】根据二次根式的化简，乘除混合运算法则计算即可，本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：原式 =． 【训练1】（21-22八年级下·吉林白城·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】根据二次根式的乘除、化简法则即可解得． 【规范解答】解：原式=                                         =                                                     = =． 【训练2】（20-21八年级下·北京丰台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算． 【规范解答】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、 与合并，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项符合题意； 故选：D． 重点考点讲练06：化为最简二次根式 【母题精讲】（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式具备的条件(被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式)是解题的关键． 根据最简二次根式具备的条件逐项判断即可． 【规范解答】A. 符合最简二次根式的条件，是最简二次根式，故符合题意； B.不是最简二次根式，故不符合题意； C.不是最简二次根式，故不符合题意； D.，不是最简二次根式，故不符合题意. 故选：A． 【训练1】（23-24八年级上·上海普陀·期末）化简： ． 【答案】 【思路点拨】根据题意知，然后根据平方根的 性质化简． 本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键． 【规范解答】由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【训练2】（20-21八年级下·浙江宁波·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，逐一解答判断即可． 【规范解答】解：A、，故不是 最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式， 不符合题意； D、，故不是最简二次根式， 不符合题意． 故选：B． 重点考点讲练07：已知最简二次根式求参数 【母题精讲】（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【规范解答】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【训练1】（20-21八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ． 【答案】2 【思路点拨】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【规范解答】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【训练2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【规范解答】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 期末考向三：二次根式的加减 重点考点讲练08：二次根式的加减运算 【母题精讲】（24-25九年级上·重庆·期末）设，则实数m的值应在（   ） A．7和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 【答案】B 【思路点拨】根据二次根式的性质化简，再计算，最后由无理数的估算的计算方法即可求解． 本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的加减运算是解题的关键． 【规范解答】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 【训练1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）（1）化简：． （2）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】（1）；（2）； 【思路点拨】本题考查二次根式混合运算、解一元一次不等式组的整数解等知识，熟练掌握二次根式混合运算、解一元一次不等式组的方法是解决问题的关键． （1）利用二次根式性质先化简，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案； （2）解出不等式组的每一个不等式，再由不等式组解集的求法得到答案，取出整数解求和即可得到答案． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为，则的整数为， 不等式组所有整数解的和为． 【训练2】（23-24八年级下·广西南宁·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值的化简等知识，先化简绝对值和二次根式，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ． 重点考点讲练09：二次根式的混合运算 【母题精讲】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知，，求． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，把的值代入代数式，根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【规范解答】解： ． 【训练1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握整式混合运算的法则．先根据平方差公式，完全平方公式，整式混合运算的顺序和法则进行化简，然后再将的值代入即可． 【规范解答】解：原式 ． 当时， 原式． 【训练2】（20-21八年级下·山东临沂·期末）对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得： ， 故答案为：2． 重点考点讲练10：分母有理化 【母题精讲】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会遇到形如的式子，可以将其化简： ；以上化简方法叫做做分母有理化． 请参照以上方法化简： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分母有理化，仿照题意利用平方差公式进行求解即可． 【规范解答】解： ． 【训练1】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）先化简，再求值，其中 【答案】； 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先将括号内通分，再用平方差公式和提取公因式进行因式分解，化除法为乘法，约分化简，最后计算，再代入即可． 【规范解答】解： 当时， 原式． 【训练2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查分式的化简求值、分母有理化，根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后代值求解即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 重点考点讲练11：已知字母的值，化简求值 【母题精讲】（23-24八年级下·广西钦州·期中）已知，，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出． ，再根据进行求解即可． 【规范解答】解：，， ． ． ． 【训练1】（21-22八年级下·广西柳州·期中）已知 ，，求的值． 【答案】14 【思路点拨】本题考查二次根式的化简求值，涉及完全平方公式应用，平方差公式应用． 根据题意将代数式变形，再将已知代入即可． 【规范解答】解：，将 ，代入上式得， 原式， ， ． 【训练2】（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，先求出，，再根据计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 重点考点讲练12：已知条件式，化简求值 【母题精讲】（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【答案】A 【思路点拨】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【训练1】（21-22八年级下·广东河源·期末）已知 ，且 为奇数，求的值． 【答案】 【思路点拨】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值． 【规范解答】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得， 解得，且为奇数， ∴， ∴原式 ． 【训练2】（22-23八年级下·四川凉山·期末）（1）计算 （2）已知为实数且，求代数式的值 【答案】（1）13；（2） 【思路点拨】（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可； （2）先依据二次根式有意义的条件，求得a、b、c的值，然后再代入计算即可． 【规范解答】（1） ； （2）根据二次根式有意义的条件可得： ∵， ∴，， ∴， ∴． 重点考点讲练13：比较二次根式的大小 【母题精讲】（22-23八年级下·广东肇庆·期末）比较大小： （在横线上填上<、>或=）． 【答案】 【思路点拨】把每个二次根式根号外的部分移到根号内，然后比较二次根式的被开方数的大小即可求解． 【规范解答】解：，， ∵， ∴， 故答案为： 【训练1】（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【训练2】（22-23八年级上·江西萍乡·期末）若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 【答案】a＜b＜c 【思路点拨】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【规范解答】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 重点考点讲练14：二次根式的应用 【母题精讲】（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【规范解答】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：D． 【训练1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板． (1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______； (2)求剩余木板的面积； (3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：） 【答案】(1)， (2) (3)2 【思路点拨】本题考查二次根式的应用； （1）由正方形的面积可得边长，再利用二次根式的性质化简，即可求解； （2）求出剩余的木料的长和宽，即可求面积； （3）求剩余的木料的长和宽，即可求解． 【规范解答】（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为，， 故答案为：，； （2）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为， ∴剩余的面积为； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为， ∵，， 能截出块这样的木条． 故答案为：2． 【训练2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分面积为    【答案】12 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的应用，利用面积公式先算出两个正方形的面积，再利用“阴影面积长方形的面积两个正方形的面积”得结论．利用二次根式的性质计算出两个正方形的边长是解决本题的关键． 【规范解答】解：图中两个正方形的面积分别为18和50， 图中两个正方形的边长分别为：和． 图中最大长方形的长为，宽为． 图中阴影部分面积为：． 故答案为：12． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，根据二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解． 【规范解答】解：A、中被开方数中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合意义； B、属于最简二次根式，符合题意； C、中被开方数的因数不是整数，故不是最简二次根式，不符合意义； D、中被开方数的因数不是整数，故不是最简二次根式，不符合意义； 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根的运算，熟练掌握二次根四则运算法则是解题的关键． 根据二次根四则运算法则计算并判定即可． 【规范解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、，计算错误，故选项不符合题意； C、，计算错误，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意． 故选：D． 4．（22-23八年级上·浙江金华·期末）已知，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【规范解答】解：， ，， ， 故答案为：1． 5．（24-25八年级上·山西运城·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【规范解答】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 7．（22-23八年级下·广东珠海·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 【规范解答】解 ． 8．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键． 首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可． 【规范解答】解：， ， ∴，， ． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【思路点拨】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【规范解答】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴将分母有理化得， 故答案为：，； （2） ； （3），理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 10．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小： ______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【规范解答】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24八年级下·云南昭通·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查幂的运算，二次根式的运算，根据相关运算法则，进行计算后判断即可． 【规范解答】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、无法合并，原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D． 12．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）估计的值在（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二次根式运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算大小方法是解题关键．首先解得，结合，即可获得答案． 【规范解答】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 13．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 14．（23-24八年级下·山东聊城·期末）若，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】解：由题意知，，， 解得，， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·山东临沂·期末）若代数式有意义，则满足的条件是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是掌握：二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于．据此列出不等式组求解即可． 【规范解答】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴， 解得：， ∴满足的条件是． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．根据已知得出，再把变成，再代入求出答案即可． 【规范解答】解：解法一：∵， ∴， ∴ 解法二：， ， 故答案为：2． 17．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）设，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1012 【思路点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． （1）把，代入计算即可得到答案； （2）求出，将原式变形后代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，则： 18．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）计算：； 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，再根据二次根式的加减法则运算，即可求解． 【规范解答】解： 19．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路点拨】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【规范解答】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 20．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【思路点拨】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第16章 二次根式 （思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：二次根式的定义 2 知识点梳理02：二次根式的主要性质 3 知识点梳理03：最简二次根式 3 易错考点点拨汇总 3 易错知识点01：二次根式定义条件 3 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 3 易错知识点03：误判“同类二次根式” 4 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 4 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 4 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 4 易错知识点07：隐含条件忽视 4 易错知识点08：符号与变形错误 4 易错知识点09：应用场景误区 5 期末真题考点汇编讲练 5 期末考向一：二次根式 5 重点考点讲练01：求二次根式的值 5 重点考点讲练02：求二次根式中的参数 5 重点考点讲练03：利用二次根式的性质化简 5 重点考点讲练04：复合二次根式的化简 6 期末考向二：二次根式的乘除 7 重点考点讲练05：二次根式的乘除混合运算 7 重点考点讲练06：化为最简二次根式 7 重点考点讲练07：已知最简二次根式求参数 7 期末考向三：二次根式的加减 7 重点考点讲练08：二次根式的加减运算 7 重点考点讲练09：二次根式的混合运算 8 重点考点讲练10：分母有理化 9 重点考点讲练11：已知字母的值，化简求值 9 重点考点讲练12：已知条件式，化简求值 10 重点考点讲练13：比较二次根式的大小 10 重点考点讲练14：二次根式的应用 11 优选真题难度分层练 12 中档题—夯实基础能力 12 压轴题—强化解题技能 13 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二次根式的定义 形如的代数式叫二次根式 （1） 式子中含有二次根号“”； （2） 可以表示数也可以表示代数式 （3） 二次根式表示非负数的算术平方根，，即二次根式的两个非负性 知识点梳理02：二次根式的主要性质 （1） （2） （3） （4） 二次根式的性质是根式化简的依据。 知识点梳理03：最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 易错知识点01：二次根式定义条件 学生容易忽略被开方数必须是非负数这一核心条件。例如，题目中出现类似“”的式子时，未意识到隐含条件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 最简二次根式需满足三个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开方的因数； 分母中不含根号。 常见错误如未将化简为，或未对分母进行有理化处理。 易错知识点03：误判“同类二次根式” 同类二次根式需先化简为最简形式后，再看被开方数是否相同。例如，和化简为和才可合并，但学生可能因未化简而误以为不能合并 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 乘法时未正确应用（需a,b≥0）； 除法中未注意分母有理化，或误将拆分为但忽略分母限制 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 错误将根号与加减法结合，如，或，此类错误常因对根号性质理解不透导致 易错知识点07：隐含条件忽视 1. 双重非负性忽略 二次根式的结果和被开方数均非负，但学生可能在涉及代数式时未考虑符号。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意题目中隐含的变量取值范围 2. 分母有理化不彻底 有理化时需找到正确的有理化因式，如对​，应乘以而非仅处理分母中的单项根式。学生可能仅处理部分项，导致分母仍含根号 易错知识点08：符号与变形错误 1. 变形时符号处理不当 例如，将直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为∣a−2∣ 2. 综合运算顺序混乱 混合运算时未遵循先乘除后加减、先括号内后外的规则，或因跳步过多导致符号错误。例如，在计算“”时，可能漏乘括号内的第二项 易错知识点09：应用场景误区 1. 实际问题建模错误 例如，用勾股定理求斜边时，若已知两直角边为和，学生可能直接相加而非平方后求和再开方 2. 与数轴结合时符号误判 当二次根式与数轴上的点结合时，未根据点的位置判断被开方数的正负性，导致结果错 期末考向一：二次根式 重点考点讲练01：求二次根式的值 【母题精讲】（22-23八年级下·山东烟台·期末）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【训练2】（21-22八年级下·云南昆明·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练02：求二次根式中的参数 【母题精讲】若有意义，则m能取的最小整数值是（    ） A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3 【训练1】（22-23八年级上·陕西·阶段练习）当取最小值时，a的值是 . 【训练2】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 重点考点讲练03：利用二次根式的性质化简 【母题精讲】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知实数，满足，求的值． 【训练1】（23-24八年级下·广西百色·期末）计算：． 【训练2】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）当，时，代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D．2 重点考点讲练04：复合二次根式的化简 【母题精讲】（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【训练1】（20-21八年级下·湖南湘西·期末）仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 【训练2】（20-21八年级上·四川雅安·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝，则a±2将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使得以化简．例如，因为5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2，所以＝． 请仿照上面的例子化简下列根式： (1)       (2) 期末考向二：二次根式的乘除 重点考点讲练05：二次根式的乘除混合运算 【母题精讲】（23-24八年级下·北京海淀·期中）计算：． 【训练2】（20-21八年级下·北京丰台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练06：化为最简二次根式 【母题精讲】（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24八年级上·上海普陀·期末）化简： ． 【训练2】（20-21八年级下·浙江宁波·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练07：已知最简二次根式求参数 【母题精讲】（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【训练1】（20-21八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ． 【训练2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 期末考向三：二次根式的加减 重点考点讲练08：二次根式的加减运算 【母题精讲】（24-25九年级上·重庆·期末）设，则实数m的值应在（   ） A．7和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 【训练1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）（1）化简：． （2） 解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【训练2】（23-24八年级下·广西南宁·期末）计算：． 重点考点讲练09：二次根式的混合运算 【母题精讲】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知，，求． 【训练1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 【训练2】（20-21八年级下·山东临沂·期末）对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 重点考点讲练10：分母有理化 【母题精讲】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会遇到形如的式子，可以将其化简： ；以上化简方法叫做做分母有理化． 请参照以上方法化简： 【训练1】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）先化简，再求值，其中 【训练2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先化简再求值：，其中． 重点考点讲练11：已知字母的值，化简求值 【母题精讲】（23-24八年级下·广西钦州·期中）已知，，求的值． 【训练1】（21-22八年级下·广西柳州·期中）已知 ，，求的值． 【训练2】（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ． 重点考点讲练12：已知条件式，化简求值 【母题精讲】（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【训练1】（21-22八年级下·广东河源·期末）已知 ，且 为奇数，求的值． 【训练2】（22-23八年级下·四川凉山·期末）（1）计算 （3） 已知为实数且，求代数式的值 重点考点讲练13：比较二次根式的大小 【母题精讲】（22-23八年级下·广东肇庆·期末）比较大小： （在横线上填上<、>或=）． 【训练1】（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【训练2】（22-23八年级上·江西萍乡·期末）若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 重点考点讲练14：二次根式的应用 【母题精讲】（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 【训练1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板． (1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______； (2)求剩余木板的面积； (3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：） 【训练2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分面积为    中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·浙江金华·期末）已知，则 ．． 5．（24-25八年级上·山西运城·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 7．（22-23八年级下·广东珠海·期中）计算：． 8．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 10．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小： ______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24八年级下·云南昭通·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）估计的值在（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 13．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·山东聊城·期末）若，则的取值范围为 ． 15．（23-24八年级下·山东临沂·期末）若代数式有意义，则满足的条件是 ． 16．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，则 ． 17．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）设，． (1)求的值． (2)求的值． 18．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）计算：； 19．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 20．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$