八年级数学月考卷（北京专用，测试范围：人教版八年级下册第16～20章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第三次月考

………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级下册 第16章~第20章。 5．难度系数：0.85。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．8，12，13 B． C．3，4，5 D． 3．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．图是国家统计局公布的年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 7．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（    ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．众数，方差 D．平均数，方差 8．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 10．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为 ． 11．如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 12．一次函数与的图象如图，则不等式的解集是 13．如图，是平行四边形边上一点，且，连接，并延长与的延长线交于点，如果，那么的度数是 ． 14．已知是直线上的两点，若，则k的取值范围是 ． 15．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为 ． 16．如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），连结，设，完成下面问题： （1） °； （2）给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： 18．某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以格点为三角形的顶点，按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）． (1)请在图中画出，使，； (2)在（1）的条件下，的度数为 ； (3)在（1）的条件下，请在图中找出格点D，连接，使平分． 20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 21．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于8，直接写出的取值范围． 22．2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．目前，国际上通用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的标准为体质指数（以下简称），其换算公式为：（单位：），并规定： ：偏瘦；：正常；：超重；：肥胖． 某校为调查初三年级学生的胖瘦程度，在该年级中随机抽取了男女生各10人，测量他们的身高，体重，计算相应的BMI值，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．10名男生的身高（单位：m），体重（单位：kg）及（保留一位小数）数据如下表： 身高 体重 45 49 60 60 65 75 64 106 t b．10名女生的身高（单位：m）如下： 　   　    c．10名女生的指数条形图如下： (1)______（保留一位小数），男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； (2)设样本中男生身高的方差为，女生身高的方差为，则     （填“”，“”或“”）； (3)若该校初三年级共有学生350人，其中男生170人，女生180人，据此估计，该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数． 23．如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 24．有圆柱形1号瓶和圆台型2号瓶，两瓶不同形状的蜂蜜，每次舀出相同体积用来做蜂蜜水，记录水面的高度；当1号瓶和2号瓶舀出相同水时，小云分别记录了1号瓶的蜂蜜高度（单位：）和2号瓶的水面高度单位：），部分数据如下： 0 100 200 300 350 400 500 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 0 11.8 10.7 9.2 7.0 5.6 4.1 0 (1)补全表格：______（结果保留一位小数）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号瓶和2号瓶中都有蜂蜜时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为_____（结果保留一位小数）； ②当高度下降到时，_____瓶剩余的蜂蜜多． 25．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 26．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (2)化简：． 27．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 28．在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A D A C B A 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9． 10． 11．或 12．/ 13．/40度 14． 15． 16． 90 ②③④ 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17． 【详解】解： ………………………………3分 ．………………………………5分 18．(1)①垂直平分线的性质；②等边对等角 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴（依据：垂直平分线的性质）………………………………1分 ∴（依据：等边对等角）………………………………2分 （2）解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ，………………………………3分 ， ， ， ， ，………………………………4分 ， ．………………………………5分 小民的证明方法 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得………………………………3分 ∴ ∴ ∵① ∴②………………………………4分 ①+②得，，即 ∴．………………………………5分 19．(1)见详解 (2) (3)见详解 【详解】（1）解：如下图所示： ………………………………2分 （2）解：∵，， ∴， 由勾股定理的逆定理可知， 故答案为：………………………………3分 （3）解：如图，取格点D， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴………………………………4分 由（2）可知， ∴， ∴ ∴平分．………………………………5分 20．(1)见解析； (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，………………………………1分 又， 四边形是平行四边形，………………………………2分 ， 平行四边形是矩形；………………………………3分 （2）解：，， ， 四边形是矩形， ， ，………………………………4分 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 设，则，………………………………5分 在中，， ， 解得：， 的长为．………………………………6分 21．(1)， (2) 【详解】（1）解：把点和代入，得，………………………………1分 解得，………………………………1.5分 ∴该函数的解析式为，………………………………2分 ∵与过点且平行于轴的线交于点， ∴点的纵坐标为4，………………………………3分 ∴， 解得， ∴；………………………………4分 （2）解：当时，， 当时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于8， ∴， 解得．………………………………6分 22．(1)，， (2) (3)52人 【详解】（1）解：，………………………………1分 男生的体重从小到大排列后中间的两个数是、， 中位数是；………………………………2分 女生身高出现最多的数据是， 女生身高的众数是；………………………………3分 故答案为：，，；………………………………3分 （2）解：男生的平均身高为： ， 女生的平均身高为： ， ， ， ， 故答案为：；………………………………4分 （3）解：由题意得 （人）， 答：该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数人．………………………………5分 23．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 又， ，………………………………1分 ， ∴四边形是平行四边形，………………………………1.5分 ， ， ∴平行四边形是矩形；………………………………2分 （2）解：如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ，，，， ， ， ∴为的中位线，………………………………3分 ， ∵四边形是平行四边形，………………………………4分 ， ， 在中，由勾股定理得：，………………………………5分 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 24．(1) (2)见解析 (3)①；②1号 【详解】（1）解：由表格可得，和是一次函数关系 ∴设 ∴将，代入得， 解得 ∴ ∴将代入得，； 故答案为：3.8………………………………1分 （2）如图所示， ………………………………3分 （3）①当1号瓶和2号瓶中都有蜂蜜时， ∴舀出的体积为 ∴将代入 由图象得，当时， ∴ ∴2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为； 故答案为：2.3………………………………4分 ②当高度下降到时， ∴， ∴由图象可得，1号瓶舀出的蜂蜜比2号瓶舀出的蜂蜜少 ∴1号瓶剩余的蜂蜜比2号瓶剩余的蜂蜜多． 故答案为：1号………………………………5分 25．(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴，………………………………1分 ∴；………………………………2分 （2）解：∵，， ∴，…………………………4分 ∴………………………………5分 26．(1)28或12 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴．………………………………1分 ∵a、m、n均为正整数， ∴或，………………………………2分 当时，；………………………………2.5分 当时，．………………………………3分 ∴a的值为28或12； （2）解：令，………………………………4分 则 ………………………………4.5分 ………………………………5分 ………………………………5.5分 ∴．………………………………6分 27．(1)见解析 (2)的值为定值， 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ，………………………………2分 四边形为矩形， ， ，即，………………………………3分 是正方形对角线的交点， ， 在和中， ， ，………………………………3.5分 ， 矩形为正方形．………………………………4分 （2）解：的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ，………………………………5分 ， ，………………………………6分 是定值．………………………………7分 28．(1)1，； (2)或； (3)． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴点与线段的“近点距离”是，………………………………1分 ∵， ， ∴点与线段的“近点距离”是，………………………………2分 故答案为：1，；………………………………2分 （2）解：如图，当在左边时， 当时，两点间距离最小， ∵点与线段的“近点距离”为， ， ， ， ， ∴， 当在的右边时，如图中的， ， 过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为， ∵直线为， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：或；………………………………5分 （3）解：如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵一次函数， ， ， ∴设， ∴， 设直线为， ∴ 解得：， ∴直线为， ∴， 当时，， 过作轴于， ， ， ， ； 如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵由平移可得， 同理可得直线为， ∴， ， 当时，则， 过作轴于， ， ， ， ， ∴， 解得； ∴直线上存在点，使得点与四边形的“近点距离”小于或等于，的取值范围为．………………………………7分 【点睛】本题考查了新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解题的关键． 14/15 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级下册 第16章~第20章。 5．难度系数：0.85。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．8，12，13 B． C．3，4，5 D． 3．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．图是国家统计局公布的年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 7．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（    ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．众数，方差 D．平均数，方差 8．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 10．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为 ． 11．如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 12．一次函数与的图象如图，则不等式的解集是 13．如图，是平行四边形边上一点，且，连接，并延长与的延长线交于点，如果，那么的度数是 ． 14．已知是直线上的两点，若，则k的取值范围是 ． 15．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为 ． 16．如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），连结，设，完成下面问题： （1） °； （2）给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： 18．某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以格点为三角形的顶点，按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）． (1)请在图中画出，使，； (2)在（1）的条件下，的度数为 ； (3)在（1）的条件下，请在图中找出格点D，连接，使平分． 20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 21．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于8，直接写出的取值范围． 22．2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．目前，国际上通用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的标准为体质指数（以下简称），其换算公式为：（单位：），并规定： ：偏瘦；：正常；：超重；：肥胖． 某校为调查初三年级学生的胖瘦程度，在该年级中随机抽取了男女生各10人，测量他们的身高，体重，计算相应的BMI值，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．10名男生的身高（单位：m），体重（单位：kg）及（保留一位小数）数据如下表： 身高 体重 45 49 60 60 65 75 64 106 t b．10名女生的身高（单位：m）如下： 　   　    c．10名女生的指数条形图如下： (1)______（保留一位小数），男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； (2)设样本中男生身高的方差为，女生身高的方差为，则     （填“”，“”或“”）； (3)若该校初三年级共有学生350人，其中男生170人，女生180人，据此估计，该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数． 23．如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 24．有圆柱形1号瓶和圆台型2号瓶，两瓶不同形状的蜂蜜，每次舀出相同体积用来做蜂蜜水，记录水面的高度；当1号瓶和2号瓶舀出相同水时，小云分别记录了1号瓶的蜂蜜高度（单位：）和2号瓶的水面高度单位：），部分数据如下： 0 100 200 300 350 400 500 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 0 11.8 10.7 9.2 7.0 5.6 4.1 0 (1)补全表格：______（结果保留一位小数）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号瓶和2号瓶中都有蜂蜜时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为_____（结果保留一位小数）； ②当高度下降到时，_____瓶剩余的蜂蜜多． 25．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 26．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (2)化简：． 27．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 28．在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 4/9 5/9 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 9． ___________ ___ 1 0． ______________ 1 1． ______________ 12. 1 3． _____________ 14. 15. 16. 三、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 ．（5分） ) ( 18.（5分） 依据 ① ： 依据 ② ： 19.（5分） （ 2 ） （ 3 ） 20．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（6分） 22．（5分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23.（5分） 24. （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（5分） 26.（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 27．（7分） 28. （7分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级下册 第16章~第20章。 5．难度系数：0.85。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B．是最简二次根式，此选项符合题意； C．，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，此选项不符合题意； 故选：B． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．8，12，13 B． C．3，4，5 D． 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A．，所以不能构成直角三角形，故该选项符合题意； B．，所以能构成直角三角形，故该不选项符合题意； C．，所以能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D．，所以能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据对角相等得出，再结合平行线的性质，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据上加下减的原则平移求解即可． 本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为． 故选：D． 5．图是国家统计局公布的年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题考查了平均数，方差，利用平均数和方差公式计算即可求解，掌握平均数和方差计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵同比的数据为， ∴， ， ∵环比的数据为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 7．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（    ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．众数，方差 D．平均数，方差 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为14岁，中位数为：岁， 即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故选：B． 8．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以； 由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； 由中的结论可得； 由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为． 【详解】解：连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． 正确； 延长，交于，交于点， ， ． 由知：， ． ． ， ． ． 即：， ． 正确； 由知：． 即：． 正确； 点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由知：， 的最小值为， 错误． 综上所述，正确的结论为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题 （本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为 ． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， 根据勾股定理可列方程：， 故答案为：． 11．如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 【答案】或 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、矩形与折叠问题 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可得，由勾股定理可求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图，若点在线段上时，过点作， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， 四边形是矩形， ∵把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上 ； 如图，点在线段的延长线上，过点作， 同理可求得，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查翻折变、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 12．一次函数与的图象如图，则不等式的解集是 【答案】/ 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与不等式，直接根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 13．如图，是平行四边形边上一点，且，连接，并延长与的延长线交于点，如果，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由平行四边形中，可得，由等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：平行四边形中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．已知是直线上的两点，若，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 当时，，可知随着的增大而增大，即，计算求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴随着的增大而增大， ， 解得，， 故答案为：． 15．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点间的距离、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案． 【详解】如图当、、三点共线，距离最小， ∵，为的中点， ∴，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键． 16．如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），连结，设，完成下面问题： （1） °； （2）给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 90 ②③④ 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及全等三角形的对应角相等可得答案； （2）先说明四边形是正方形，根据勾股定理得，再结合三角形双边关系，以及勾股定理逐个判断，即可解题． 【详解】解：（1）， ，． ， ， ． 故答案为：90； （2）由（1）同理可得， ， 四边形是正方形， 根据勾股定理，得， 即， 解得． 由， 得， ， ， ， ，即， ①不正确； 根据三角形的三边关系可得． 所以②正确； ， ， ． 所以③正确； 由， 得， 即， 开方，得， ． 所以④正确． 综上所述，正确的有． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，正方形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，完全平方公式的应用，证明内部四边形是正方形是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据完全平方公式的单项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： ………………………………3分 ．………………………………5分 18．某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 【答案】(1)①垂直平分线的性质；②等边对等角 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可以证明结论成立； 根据小民的证明方法，根据勾股定理得出，根据平方差公式结合已知，即可到结论成立． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（依据：垂直平分线的性质）………………………………1分 ∴（依据：等边对等角）………………………………2分 （2）解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ，………………………………3分 ， ， ， ， ，………………………………4分 ， ．………………………………5分 小民的证明方法 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得………………………………3分 ∴ ∴ ∵① ∴②………………………………4分 ①+②得，，即 ∴．………………………………5分 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以格点为三角形的顶点，按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）． (1)请在图中画出，使，； (2)在（1）的条件下，的度数为 ； (3)在（1）的条件下，请在图中找出格点D，连接，使平分． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【知识点】二次根式的乘法、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了利用网格作图，勾股定理以及勾股逆定理的应用，等腰直角三角形的判定以及性质，角平分线的定义等知识， （1）利用网格分别画出，以及即可． （2）利用勾股定理逆定理求解即可． （3）取格点D，利用网格结合勾股定理得出为等腰直角三角形，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如下图所示： ………………………………2分 （2）解：∵，， ∴， 由勾股定理的逆定理可知， 故答案为：………………………………3分 （3）解：如图，取格点D， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴………………………………4分 由（2）可知， ∴， ∴ ∴平分．………………………………5分 20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质 ，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）先利用矩形的性质，求出，再证明四边形是菱形，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，………………………………1分 又， 四边形是平行四边形，………………………………2分 ， 平行四边形是矩形；………………………………3分 （2）解：，， ， 四边形是矩形， ， ，………………………………4分 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 设，则，………………………………5分 在中，， ， 解得：，………………………………6分 的长为． 21．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于8，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）把点和代入，求解即可； （2）分别求出当和时两个函数值，再根据题意列不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得，………………………………1分 解得，………………………………1.5分 ∴该函数的解析式为，………………………………2分 ∵与过点且平行于轴的线交于点， ∴点的纵坐标为4，………………………………3分 ∴， 解得， ∴；………………………………4分 （2）解：当时，， 当时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于8， ∴， 解得．………………………………6分 22．2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．目前，国际上通用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的标准为体质指数（以下简称），其换算公式为：（单位：），并规定： ：偏瘦；：正常；：超重；：肥胖． 某校为调查初三年级学生的胖瘦程度，在该年级中随机抽取了男女生各10人，测量他们的身高，体重，计算相应的BMI值，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．10名男生的身高（单位：m），体重（单位：kg）及（保留一位小数）数据如下表： 身高 体重 45 49 60 60 65 75 64 106 t b．10名女生的身高（单位：m）如下： 　   　    c．10名女生的指数条形图如下： (1)______（保留一位小数），男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； (2)设样本中男生身高的方差为，女生身高的方差为，则     （填“”，“”或“”）； (3)若该校初三年级共有学生350人，其中男生170人，女生180人，据此估计，该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数． 【答案】(1)，， (2) (3)52人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题考查了中位数，众数，方差，样本估计总体等； （1）由的定义代值计算即可，由男生的体重从小到大排列后中间的两个数是、，可求中位数；女生身高出现最多的数据是，可求众数； （2）由方差的定义先求出平均数，再由方差公式，即可求解； （3）男生体重超重或肥胖所占百分比女生体重超重或肥胖所占百分比，即可求解． 理解中位数，众数，会求方差，样本估计总体是解题的关键． 【详解】（1）解：，………………………………1分 男生的体重从小到大排列后中间的两个数是、， 中位数是；………………………………2分 女生身高出现最多的数据是， 女生身高的众数是；………………………………3分 故答案为：，，；………………………………3分 （2）解：男生的平均身高为： ， 女生的平均身高为： ， ， ， ， 故答案为：；………………………………4分 （3）解：由题意得 （人），………………………………5分 答：该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数人． 23．如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形 【分析】（1）先证明，继而可证明四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角三角形平行四边形是矩形证明即可； （2）过点O作于点F，根据矩形的性质结合三线合一可得为的中位线，则，由四边形是平行四边形，得到，那么，最后在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 又， ，………………………………1分 ， ∴四边形是平行四边形，………………………………1.5分 ， ， ∴平行四边形是矩形；………………………………2分 （2）解：如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ，，，， ， ， ∴为的中位线，………………………………3分 ， ∵四边形是平行四边形，………………………………4分 ， ， 在中，由勾股定理得：，………………………………5分 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 24．有圆柱形1号瓶和圆台型2号瓶，两瓶不同形状的蜂蜜，每次舀出相同体积用来做蜂蜜水，记录水面的高度；当1号瓶和2号瓶舀出相同水时，小云分别记录了1号瓶的蜂蜜高度（单位：）和2号瓶的水面高度单位：），部分数据如下： 0 100 200 300 350 400 500 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 0 11.8 10.7 9.2 7.0 5.6 4.1 0 (1)补全表格：______（结果保留一位小数）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号瓶和2号瓶中都有蜂蜜时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为_____（结果保留一位小数）； ②当高度下降到时，_____瓶剩余的蜂蜜多． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②1号 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）判断出和是一次函数关系，设，待定系数法求出，然后将代入求解即可； （2）描点，连线即可； （3）①首先求出舀出的体积为，然后带入，然后估算出，进而求解即可； ②根据题意求出，，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，和是一次函数关系 ∴设 ∴将，代入得， 解得 ∴ ∴将代入得，； 故答案为：3.8………………………………1分 （2）如图所示， ………………………………3分 （3）①当1号瓶和2号瓶中都有蜂蜜时， ∴舀出的体积为 ∴将代入 由图象得，当时， ∴ ∴2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为； 故答案为：2.3………………………………4分 ②当高度下降到时， ∴， ∴由图象可得，1号瓶舀出的蜂蜜比2号瓶舀出的蜂蜜少 ∴1号瓶剩余的蜂蜜比2号瓶剩余的蜂蜜多． 故答案为：1号………………………………5分 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 25．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算： （1）先计算，再把变形为，最后整体代入计算即可得到答案； （2）求出，把变形为，再整体代入计算即可得到答案 【详解】（1）解：∵，， ∴，………………………………1分 ∴；………………………………2分 （2）解：∵，， ∴，……………………………4分 ∴………………………………5分 26．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (2)化简：． 【答案】(1)28或12 (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到，，利用a、m、n均为正整数得到或，然后由分别计算即可； （2）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果． 本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴．………………………………1分 ∵a、m、n均为正整数， ∴或，………………………………2分 当时，；………………………………2.5分 当时，．………………………………3分 ∴a的值为28或12； （2）解：令，………………………………4分 则 ………………………………4.5分 ………………………………5分 ………………………………5.5分 ∴．………………………………6分 27．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的值为定值， 【知识点】根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质与判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等． （1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ，………………………………2分 四边形为矩形， ， ，即，………………………………3分 是正方形对角线的交点， ， 在和中， ， ，………………………………3.5分 ， 矩形为正方形．………………………………4分 （2）解：的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ，………………………………5分 ， ，………………………………6分 是定值．………………………………7分 28．在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)1，； (2)或； (3)． 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案； （2）画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可； （3）如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”，求解直线为，过作轴于，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”由平移可得，同理可得直线为，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴点与线段的“近点距离”是，………………………………1分 ∵， ， ∴点与线段的“近点距离”是，………………………………2分 故答案为：1，； （2）解：如图，当在左边时， 当时，两点间距离最小， ∵点与线段的“近点距离”为， ， ， ， ， ∴， 当在的右边时，如图中的， ， 过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为， ∵直线为， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：或；………………………………5分 （3）解：如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵一次函数， ， ， ∴设， ∴， 设直线为， ∴ 解得：， ∴直线为， ∴， 当时，， 过作轴于， ， ， ， ； 如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵由平移可得， 同理可得直线为， ∴， ， 当时，则， 过作轴于， ， ， ， ， ∴， 解得； ∴直线上存在点，使得点与四边形的“近点距离”小于或等于，的取值范围为．………………………………7分 【点睛】本题考查了新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解题的关键． 32/36 31/36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 1 页 第 2 页 第 3 页 2024-2025 学年八年级数学下学期第三次月考卷 答题卡 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9．______________ 10．______________ 11．______________ 12. 13．_____________ 14. 15. 16. 三、解答题（共 68 分，第 17-19 题每题 5 分，第 20-21 题每题 6 分，第 22-23 题每题 5 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5 分） 18.（5 分） （1） 依据①： 依据②： （2） 19.（5 分） （2） （3） 20．（6 分） 21．（6 分） 22．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（5 分） 24. （6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（5 分） 26.（6 分） 27．（7 分） 28. （7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！