高二数学月考卷01（人教A版2019选必二导数+选必三全部内容）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5章到第8章（导数+计数原理+随机变量及其分布+统计）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中，常数项等于（   ） A． B．15 C． D．20 2．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知变量x和变量y的一组成对样本数据（）的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B．当时， C．，时，成对样本数据（）的相关系数满足 D．时，成对样本数据（）的线性回归方程满足 参考公式： 5．已知函数在区间单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 7．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 8．已知，若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，且，则（   ） A． B． C． D． 10．甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，，则下列说法正确的有（    ） A．函数可能无零点 B．若，则函数可能存在最值 C．若函数存在两个极值点，则且 D．若是函数的极大值点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是 名. 附：若随机变量服从正态分布，则， 13．已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ． 14．某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； (3)从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 16．某流水线生产一批A产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． (1)若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为Y，求Y的数学期望与方差． 17．已知函数 (1)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且设，有两个零点，其中，求的取值范围. 18．已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 19．小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.小奥从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟两人都在一个房间，那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.设在第分钟时，小奥和小锐在0号房间的概率分别为. (1)求第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率； (2)求； (3)求在第几分钟时，小锐在0号房间的概率最大. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C A C A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1587 13． 0 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）如表，，，， 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 ，.................................................3分 有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联．.................................................4分 （2）按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为；.................................................7分 （3）由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知， 设，根据结论一，知．.................................................9分 再根据结论二，知．.................................................11分 由条件知， 所以，解得，所以正整数的最小值为11．.................................................13分 16．（15分） 【详解】（1）由题意可知抽取的10件产品中一等品有件，二等品有件，三等品有件，.................................................2分 所以的可能取值为1，2，3，则 ， ， ，.................................................5分 所以的分布列如下表 1 2 3 所以.................................................8分 （2）由题意得从这100件产品中取出1件是一等品的概率为，.................................................10分 则由题意可知，.................................................12分 所以.................................................15分 17．（15分） 【详解】（1）的定义域为，.................................................1分 ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立，.................................4分 又，当且仅当时等号成立， ∴；.................................................6分 （2）由题意， ∵有两个零点，易知有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， .................................................7分               ∵，∴， 又， 由对勾函数在的单调递减可知：，.................................................8分 ∴ ，.................................................10分 设（）， 则， ∴在``上单调递减，.................................................13分 又，``， ∴， 即的取值范围为..................................................15分 18．（17分） 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且，.................................................2分 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是；.................................................3分 所以函数的最小值为..................................................4分 （2）由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间；.................................................6分 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是；.................................................7分 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是..................................................8分 （3）当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立，.................................................10分 令， 则，.................................................11分 令，则， 所以在区间上单调递增，.................................................12分 因为，， 所以在区间内存在唯一零点，.................................................13分 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；.................................................15分 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是..................................................17分 19．（17分） 【详解】（1）第0分钟时，小奥在0号房间，小锐在1号房间. 设为第1分钟时，小奥在号房间，小锐在号房间的概率， 则，.................................................1分 ..................................................2分 设第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率为0.5..................................................4分 （2）证明：易知，且由（1）得. 当时，小奥在第分钟时位于0号房间包含2种情形： ①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为，.................................................5分 ②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 则由全概率公式，，.................................................7分 进而， 结合，故是首项为，公比为的等比数列， 即，注意到当时也满足题意， 因此..................................................8分 （3）小锐第分钟在0号房间包含3种情形： ①上一分钟小奥和小锐都在1号房间，小锐转移到0号房间的概率为， ②上一分钟小奥在0号房间，小锐在1号房间，小李转移到0号房间的概率为， ③上一分钟小奥在1号房间，小锐在0号房间，小锐转移到0号房间的概率为. 故由全概率公式，， 即..................................................10分 要证为等比数列，即证为等比数列， 而， 故，结合， 故为首项，公比为的等比数列，.................................................12分 即，注意到时也满足题意， 因此..................................................14分 故， 显然不是其最大值，设，.................................................15分 ①当为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为0； ②当为偶数且时，， 当时，，故最大值为， 因此的最大值为， 即在第2分钟时，小锐在0号房间概率最大..................................................17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5章到第8章（导数+计数原理+随机变量及其分布+统计）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中，常数项等于（   ） A． B．15 C． D．20 【答案】B 【详解】二项式的通项为，即 ，令，解得.可得常数项为.故选：B. 2．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则，则，所以切线方程为.故选：A. 3．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量服从超几何分布，所以.故选：A 4．已知变量x和变量y的一组成对样本数据（）的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B．当时， C．，时，成对样本数据（）的相关系数满足 D．时，成对样本数据（）的线性回归方程满足 参考公式： 【答案】A 【详解】对于A，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A错误； 对于B，当时，成对样本数据正相关，相关系数与符号相同，则，故B正确； 对于C，当，时，将这组数据添加后，不变， 故相关系数的表达式中的分子和分母均不变，故C正确； 对于D，当，时，将这组数据添加后，不变， 故线性回归方程中的斜率的表达式中的分子和分母均不变，所以，故D正确； 综上所述，正确的有B、C、D. 故选：A. 5．已知函数在区间单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，定义域为， 所以， 则函数在区间上单调递增， 即在上恒成立， 又，所以问题转化为在上恒成立， 设， 则， 所以在上单调递增， 则， 故，即， 所以的最小值为：. 故选：A. 6．某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 【答案】A 【详解】由题意，分以下六种情况： 第一种情况，甲单独一人执勤对练赛场馆，则剩下的四个人可以分成一个人和三个人两组,或分成每组两个人,所以共有（种）方案； 第二种情况，甲单独一人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的三个人分配到对练赛场馆，则有1种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 若乙和另外两人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案； 第三种情况，甲和另外一人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第四种情况，甲和另外一人执勤集体项目比赛场馆，若甲和乙执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 若甲和乙以外的一人执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 共有（种）方案； 第五种情况，甲和另外两人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第六种情况，甲和另外两人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的两个人分配到对练赛场馆，则有种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案. 所以一共有（种）不同的分配方案. 故选：A. 7．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 8．已知，若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为恒成立，所以和有两个相同正根.对于方程，两边同乘得. 由一元二次方程性质，有两个不同正根，则，且，.   由可得，可得. 根据对数运算法则，所以，即.   令，对求导，. 令，即，解得. 当时，，递增； 当时，，递减. 所以在处取最大值，.   综上， 的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，则，即，A对； 所以， 令，则，B对； 令，则，而， 两式作差，得，则，C错； 两式相加，得，则，D对. 故选：ABD 10．甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，为对立事件，故，故B错误； 对于C，，故， 故C错误； 对于D， ， 故D正确； 故选：AD. 11．已知函数，，，则下列说法正确的有（    ） A．函数可能无零点 B．若，则函数可能存在最值 C．若函数存在两个极值点，则且 D．若是函数的极大值点，则 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为，. 当时，在上无零点，A选项正确； 当时，在上恒成立， 所以在单调递增，函数无最值，B选项错误； 若函数存在两个极值点，则在上存在两个变号零点， 令，则需，，， 整理得且，C选项正确； 若是函数的极大值点，则由可得， 所以，所以，所以，D选项正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是 名. 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】1587 【详解】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布， 由题意可得． ，而 即，解得． 甲市学生在该次考试中成绩为76分，且， 又，即． 学生在甲市本次考试的大致名次为1587名． 故答案为：1587 13．已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ． 【答案】 0 【详解】因为有三个零点，且，所以有两个不相等的实数根，所以，解得，故a的取值范围为．由题得， 所以，同理，，故 ． 故答案为：，0． 14．某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种. 【答案】 【详解】将这个小球编号如下图所示： 分以下两种情况讨论： 第一种，第一步，先取、、号球，第二步，再取、、号球依次取个球， 最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种； 第二种，将、、视为三个整体， 前三个球从其中一个整体和每支不与号球相邻的小球中依次摸取，有种， 以、、为例，可依次为、、，共种， 剩余、、、号球，先从、号球中摸一个，有种情况， 比如先取号球，剩余三个相邻的小球，接下来从、号球中取一个，有种情况， 最后剩余两球摸取的先后顺序任意， 此时，不同的取法种数为. 综上所述，不同的取法种数为种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； (3)从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【详解】（1）如表，，，， 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 ，.................................................3分 有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联．.................................................4分 （2）按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为；.................................................7分 （3）由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知， 设，根据结论一，知．.................................................9分 再根据结论二，知．.................................................11分 由条件知， 所以，解得，所以正整数的最小值为11．.................................................13分 16．某流水线生产一批A产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． (1)若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为Y，求Y的数学期望与方差． 【详解】（1）由题意可知抽取的10件产品中一等品有件，二等品有件，三等品有件，.................................................2分 所以的可能取值为1，2，3，则 ， ， ，.................................................5分 所以的分布列如下表 1 2 3 所以.................................................8分 （2）由题意得从这100件产品中取出1件是一等品的概率为，.................................................10分 则由题意可知，.................................................12分 所以.................................................15分 17．已知函数 (1)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且设，有两个零点，其中，求的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，.................................................1分 ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立，.................................4分 又，当且仅当时等号成立， ∴；.................................................6分 （2）由题意， ∵有两个零点，易知有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， .................................................7分               ∵，∴， 又， 由对勾函数在的单调递减可知：，.................................................8分 ∴ ，.................................................10分 设（）， 则， ∴在``上单调递减，.................................................13分 又，``， ∴， 即的取值范围为..................................................15分 18．已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且，.................................................2分 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是；.................................................3分 所以函数的最小值为..................................................4分 （2）由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间；.................................................6分 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是；.................................................7分 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是..................................................8分 （3）当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立，.................................................10分 令， 则，.................................................11分 令，则， 所以在区间上单调递增，.................................................12分 因为，， 所以在区间内存在唯一零点，.................................................13分 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；.................................................15分 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是..................................................17分 19．小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.小奥从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟两人都在一个房间，那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.设在第分钟时，小奥和小锐在0号房间的概率分别为. (1)求第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率； (2)求； (3)求在第几分钟时，小锐在0号房间的概率最大. 【详解】（1）第0分钟时，小奥在0号房间，小锐在1号房间. 设为第1分钟时，小奥在号房间，小锐在号房间的概率， 则，.................................................1分 ..................................................2分 设第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率为0.5..................................................4分 （2）证明：易知，且由（1）得. 当时，小奥在第分钟时位于0号房间包含2种情形： ①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为，.................................................5分 ②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 则由全概率公式，，.................................................7分 进而， 结合，故是首项为，公比为的等比数列， 即，注意到当时也满足题意， 因此..................................................8分 （3）小锐第分钟在0号房间包含3种情形： ①上一分钟小奥和小锐都在1号房间，小锐转移到0号房间的概率为， ②上一分钟小奥在0号房间，小锐在1号房间，小李转移到0号房间的概率为， ③上一分钟小奥在1号房间，小锐在0号房间，小锐转移到0号房间的概率为. 故由全概率公式，， 即..................................................10分 要证为等比数列，即证为等比数列， 而， 故，结合， 故为首项，公比为的等比数列，.................................................12分 即，注意到时也满足题意， 因此..................................................14分 故， 显然不是其最大值，设，.................................................15分 ①当为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为0； ②当为偶数且时，， 当时，，故最大值为， 因此的最大值为， 即在第2分钟时，小锐在0号房间概率最大..................................................17分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5章到第8章（导数+计数原理+随机变量及其分布+统计）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中，常数项等于（   ） A． B．15 C． D．20 2．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知变量x和变量y的一组成对样本数据（）的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B．当时， C．，时，成对样本数据（）的相关系数满足 D．时，成对样本数据（）的线性回归方程满足 参考公式： 5．已知函数在区间单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 7．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 8．已知，若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，且，则（   ） A． B． C． D． 10．甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，，则下列说法正确的有（    ） A．函数可能无零点 B．若，则函数可能存在最值 C．若函数存在两个极值点，则且 D．若是函数的极大值点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是 名. 附：若随机变量服从正态分布，则， 13．已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ． 14．某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； (3)从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 16．某流水线生产一批A产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． (1)若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为Y，求Y的数学期望与方差． 17．已知函数 (1)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且设，有两个零点，其中，求的取值范围. 18．已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 19．小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.小奥从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟两人都在一个房间，那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.设在第分钟时，小奥和小锐在0号房间的概率分别为. (1)求第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率； (2)求； (3)求在第几分钟时，小锐在0号房间的概率最大. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$