第4讲 转化单位“1”（一）(讲义+专练)-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第 4 讲 转化单位“1”（一） 强化训练 1．甲、乙、丙三人集邮，甲比乙多 40张，丙是甲的数量的 3 4 ，乙是三 人邮票总数的 1 4 ，问三人各有多少张邮票？ 2．某车间质检员质检一批零件，初检时不合格零件的个数是合格零件 个数的 1 19 。复检时又从合格零件中发现 2个不合格零件，这时不合格零 件的个数是合格零件个数的 3 47 。这批零件共有多少个？ 3．甲、乙、丙、丁四人去买电视机．甲带的钱是另外三人所带总钱数 的一半，乙带的钱是另外三人所带总钱数的 1 3 ，丙所带的钱是另外三人 所带总钱数的 1 4 ，丁带钱 910元．四人共带钱多少元？ 4．光明村计划修一条公路，由甲、乙两个工程队共同承包，甲工程队 先修完公路的 1 2 后，乙工程队再接着修完余下的公路，共用 40天完 成．已知乙工程队每天比甲工程队多修 8千米，后 20天比前 20天多 修了 120千米．求乙工程队共修路多少天？ 5．姐弟两人打一批稿件，姐姐单独打需要的时间是弟弟所需时间的 3 8 ．姐姐先打这批稿件的 2 5 后，接着由弟弟单独 24小时打完．姐姐打了 多少小时？ 6．一个水箱中的水是装满时的 5 6 ，用去 200升以后，剩余的水是装满 时的 3 4 ，这个水箱的容积是多少升？ 7．小明喝了一杯牛奶的 1 6 ，然后加满水，又喝了一杯的 1 3 ，再倒满水后 又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。小明喝的牛奶多，还 是水多？ 8．师徒俩人加工同样多的零件．当师傅完成了 1 2 时，徒弟完成了 120 个．当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4 5 ，这批零件共有多少个？ 9．一本书，第一天看了总页数的 1 5 少 10页，第二天看了总页数的 1 6 多 20页，还剩 180页没有看。这本书一共有多少页？ 10．甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是 86 元，在人民商场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的 4 9 ，乙买一件衬衫花 去了人民币 16元，这样，两人身上所剩的钱正好一样多，甲、乙两人 原先各带了多少钱？ 第4讲 转化单位“1”（一） 强化训练 1．甲、乙、丙三人集邮，甲比乙多40张，丙是甲的数量的，乙是三人邮票总数的，问三人各有多少张邮票？ 【分析】根据题意可知：丙和甲的邮票是三人邮票总数的，又知道丙是甲的数量的，由此可以求出甲的邮票是三人邮票总数的几分之几，据此解答即可． 【解答】解：1-= ×= 40÷（-）=224（张） 乙：224×=56（张） 甲：56+40=96（张） 丙：96×=72（张） 答：甲有邮票96张，乙有邮票56张，丙有邮票72张． 2．某车间质检员质检一批零件，初检时不合格零件的个数是合格零件个数的。复检时又从合格零件中发现2个不合格零件，这时不合格零件的个数是合格零件个数的。这批零件共有多少个？ 【答案】200个。 【分析】初检时不合格零件的个数是合格零件个数的，则初检时不合格零件的个数是这批零件总个数的，复检时又从合格零件中发现2个不合格零件，这时不合格零件的个数是合格零件个数的，则复检时不合格零件的个数是零件总数的，根据分数除法的意义，用2除以复检时不合格零件的个数是零件总数的几分之几减去初检时不合格零件的个数是这批零件总个数的几分之几即可解答。 【解答】解：2÷（-） =2÷ =200（个） 答：这批零件共有200个。 3．甲、乙、丙、丁四人去买电视机．甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半，乙带的钱是另外三人所带总钱数的，丙所带的钱是另外三人所带总钱数的，丁带钱910元．四人共带钱多少元？ 【分析】由于甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半即，则甲的钱数占总钱数的，同理，乙所带钱数是总钱数的，丙所带钱数是总钱数的．则丁带的钱数是总数的1---，已知丁带了910元，所以总钱数为910÷（1---）． 【解答】解：910÷（1---） =910÷（1---）， =910， =4200（元）； 答：四人共带4200元． 4．光明村计划修一条公路，由甲、乙两个工程队共同承包，甲工程队先修完公路的后，乙工程队再接着修完余下的公路，共用40天完成．已知乙工程队每天比甲工程队多修8千米，后20天比前20天多修了120千米．求乙工程队共修路多少天？ 【分析】由题意可知，甲、乙两个工程队均修公路的，且乙工程队每天比甲工程队多修8千米，所以甲工程队比乙工程队修公路的时间长，而甲、乙两个工程队修完公路共用40天，所以前20天中只有甲工程队修公路，而后20天中，甲工程队先修了若干天，乙工程队接着修完余下的公路．甲工程队的速度不变，所以用后20天多修的米数除以乙工程队每天比甲工程队多修8千米，就是乙工程队共修路多少天． 【解答】解：120÷8=15（天） 答：乙工程队共修路15天． 5．姐弟两人打一批稿件，姐姐单独打需要的时间是弟弟所需时间的．姐姐先打这批稿件的后，接着由弟弟单独24小时打完．姐姐打了多少小时？ 【分析】根据题意可知：弟弟24小时完成的工作量姐姐只需要24×=9小时，由此可以求出姐姐的工作效率，据此解答即可． 【解答】解：24×=9（小时） （1-）÷9= ÷=6（小时） 答：姐姐打了6小时． 6．一个水箱中的水是装满时的，用去200升以后，剩余的水是装满时的，这个水箱的容积是多少升？ 【分析】由题意，水箱装满时的水量是单位1，用去的200升水是装满水时的，所以水箱的容积是：（升）． 【解答】解：200÷（-） =200÷， =2400（升）． 答：这个水箱的容积是2400升． 7．小明喝了一杯牛奶的，然后加满水，又喝了一杯的，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。小明喝的牛奶多，还是水多？ 【答案】一样多。 【分析】由于这一过程中，始终没有加牛奶，即全部喝完后，小明正好喝了一杯牛奶。先喝了一杯牛奶的，然后加满水，又喝了一杯的，再倒满水后又喝了半杯整个杯子的，根据分数加法的意义，这一过程中，李林喝的水是整杯的++=1，即喝的水与牛奶一样多。 【解答】解：++=1， 答：小明喝的水与牛奶一样多。 8．师徒俩人加工同样多的零件．当师傅完成了时，徒弟完成了120个．当师傅完成了任务时，徒弟完成了，这批零件共有多少个？ 【分析】当师傅完成了任务时，徒弟完成了，即徒弟的工作效率是师傅工作效率的，由于加工的零件同样多，当师傅完成了时，则徒弟完成了×=，此时徒弟完成的个数为120个，所以师傅与徒弟分别加工了120=300个，则这批零件共有300×2=600个． 【解答】解：120÷（×）×2， =120×2， =600（个）． 答：这批零件共有600个． 9．一本书，第一天看了总页数的少10页，第二天看了总页数的多20页，还剩180页没有看。这本书一共有多少页？ 【答案】300页。 【分析】依据题意设这本书一共有x页，利用“总页数-第一天看的页数-第二天看的页数=剩下的页数”列方程计算。 【解答】解：设这本书一共有x页，由题意得： x-（x-10）-（x+20）=180， 解得：x=300。 答：这本书一共有300页。 10．甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元，在人民商场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的，乙买一件衬衫花去了人民币16元，这样，两人身上所剩的钱正好一样多，甲、乙两人原先各带了多少钱？ 【分析】设甲带了x元钱，那么乙就带了86-x元钱，先求出甲用自己的钱数的买了一双运动鞋剩余的钱为（x-x）元，再求出乙用了16元买了一件衬衫剩余的钱为（86-x-16）元，然后根据两人剩余的钱数一样多列方程，依据等式的性质求出甲带的钱数，最后根据乙带的钱数=86-甲带的钱数解答． 【解答】解：设甲带了x元钱， x-x=86-x-16， x=70-x, x+x=70-x+x, x÷=70÷， x=45； 86-45=41（元）； 答：甲带45元钱，乙带41元钱． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 转化单位“1”（一） 强化训练 1．甲、乙、丙三人集邮，甲比乙多40张，丙是甲的数量的，乙是三人邮票总数的，问三人各有多少张邮票？ 2． 某车间质检员质检一批零件，初检时不合格零件的个数是合格零件个数的。复检时又从合格零件中发现2个不合格零件，这时不合格零件的个数是合格零件个数的。这批零件共有多少个？ 3． 甲、乙、丙、丁四人去买电视机．甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半，乙带的钱是另外三人所带总钱数的，丙所带的钱是另外三人所带总钱数的，丁带钱910元．四人共带钱多少元？ 4． 光明村计划修一条公路，由甲、乙两个工程队共同承包，甲工程队先修完公路的后，乙工程队再接着修完余下的公路，共用40天完成．已知乙工程队每天比甲工程队多修8千米，后20天比前20天多修了120千米．求乙工程队共修路多少天？ 5． 姐弟两人打一批稿件，姐姐单独打需要的时间是弟弟所需时间的．姐姐先打这批稿件的后，接着由弟弟单独24小时打完．姐姐打了多少小时？ 6． 一个水箱中的水是装满时的，用去200升以后，剩余的水是装满时的，这个水箱的容积是多少升？ 7． 小明喝了一杯牛奶的，然后加满水，又喝了一杯的，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。小明喝的牛奶多，还是水多？ 8． 师徒俩人加工同样多的零件．当师傅完成了时，徒弟完成了120个．当师傅完成了任务时，徒弟完成了，这批零件共有多少个？ 9． 一本书，第一天看了总页数的少10页，第二天看了总页数的多20页，还剩180页没有看。这本书一共有多少页？ 10．甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元，在人民商场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的，乙买一件衬衫花去了人民币16元，这样，两人身上所剩的钱正好一样多，甲、乙两人原先各带了多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的" 举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要 点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性 的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 分数应用题是指用分数表示倍数关系的实际问题，通常会用 到单位"1"。在分析解答时，我们要弄清楚量率的对应关系。在 单位"1"确定后，建立已知条件与所求问题的量率对应关系，对 解题十分重要。 将不同的数量当成单位"1"，得到的分率可以在一定条件下 转化。比如： 1、如果甲是乙的 a b ，则乙是甲的 b a ； 2、如果甲的 a b 等于乙的 c d ，则甲是乙的 c d ÷ a b = bc ad ，乙是甲 转化单位“1”（一）第 4讲 专题概述 的 a b ÷ c d = ad bc ； 3、如果甲是乙的 a b ，乙是丙的 c d ，则甲是丙的 ac bd 。 【例 1】某学校举行大型体操表演活动，一共有 12000名学生参加， 分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别。已知，小学的两个 组共占总人数的 15 16 ，不是小学高年级组的占总人数的一半，那么 小学中年级组参赛人数是多少？ 【思维点拨】我们知道总人数，只要找到小学中年级组参赛人数占 总人数的比率，就可以算出小学中年级组参赛人数了。已知，小学 的两个组共占总人数的 15 16 ，不是小学高年级组的占总人数的 1 2 ， 那么 15 16 与 1 2 的"和"，就是小学高年级组与初中组加小学中年级 组的 2 倍，减去单位"1"，就是小学中年级组。所以，小学中年级 组参赛人数是： 12000 × 15 16 + 1 2 −1 = 12000 × 7 16 = 5250 (人) 答：小学中年级组参赛人数是 5250人。 重点例题 1、2 【例 2】小杜三天看完一本围棋书，第一天他看了全书的 1 4 ，第二 天看了余下的 2 5 ，第二天比第一天多看了 15 页。问：这本书共有 多少页？ 【思维点拨】我们知道，小杜第二天比第一天多看了 15 页，那么 只要找到这些页数所对应的占全书的比率，就可以求出这本围棋书 的总页数了。 根据已知条件， 1 4 是把全书总页数作为单位"1"的，而 2 5 是把第一天 看后所余下的页数作为单位"1"的，这两个单位"1"不统一，所以， 我们需要统一单位"1"才能解决这个问题。 我们把全书总页数作为单位"1"。根据"他看了全书的 1 4 ，第二天看 了余下的 2 5 "，可求出第二天看的页数占全书总页数的比率，即 1− 1 4 × 2 5 = 3 10 再根据题中条件"第二天比第一天多看了 15页"，用 15 ÷ 3 10 − 1 4 = 300 (页)，即可求出全书总页数。列式如下： 15 ÷ [ 1− 1 4 × 2 5 − 1 4 ] = 300 (页) 培优拔尖 1 1．有一个分数，如果分子加 1，这个分数就等于 1 2 ；如果分母加 1， 这个分数就等于 1 3 ．问原来的分数是多少？ 2．新华书店运进一批故事书，第一天卖出总数的 1 4 ，第二天卖出 450 本，第三天卖出前两天总和的 1 3 ，还剩 200本，新华书店运进多少本 故事书？ 3．兄弟俩共存钱 2300元，如果弟弟取出 1 3 ，还比哥哥多 200元，兄 弟俩各存钱多少元？ 【例 3】有甲、乙、丙、丁四个书商。这一天，他们一共卖了 60 本书。甲卖的本数是其余三人的 1 2 ，乙卖的本数是其余三人的 1 3 ， 丙卖的本数是其余三人的 1 4 。问：丁卖了多少本？ 【思维点拨】在本题中，多次出现"其余三人"，但我们不可将其视 为单位"1"，因为"其余三人"所含的对象是不同的。解答本题，最 好把四人卖出的总书数作为单位"1"。根据"甲卖的本数是其余三人 的 1 2 "，即甲是一份，其余三人是两份，故可推断出甲卖的本数占 总本数的 1 1 + 2 ，同理可求出乙、丙卖的本数分别占总书数的 1 1 + 3 和 1 1 + 4 。最后，丁卖的本数就是 60 本的 1− 1 3 − 1 4 + 1 5 。列式子 如下： 60 × 1− 1 1 + 2 − 1 1 + 3 − 1 1 + 4 = 60 × 1− 1 3 − 1 4 − 1 5 = 13(本) 答：丁卖了 13本书。 重点例题 3 培优拔尖 2 1．菜地里西红柿获得丰收，收下全部的 2 5 时，装满了 3筐还多 16千 克，收完其余部分时，又刚好装满 6筐，则共收得西红柿______千 克． 2．某铺路队第一天铺了一条路的 5 8 ，第二天铺路 6千米，第三天铺了 这条路的 1 8 ，刚好铺完。第三天铺路多少千米？ 3．水利工程队挖了一条水渠，第一天挖了全长的 1 4 ，第二天挖了余下 的 3 7 ，第三天挖了 60米，水渠正好挖完，求这条水渠有多长？ 【例 4】 一满杯水，溶有 40克糖，搅匀后喝去 3 5 ；加入 20克糖， 再加水搅匀，再喝去 3 5 ；再加入 20克糖，再加水搅匀，仍喝去 3 5 。 此时杯中所剩下的糖水中有糖多少克？ 【思维点拨】本题中，糖的总量处在不断的变化中，也就是说，单 位"1"是不固定的，但这种变化是有规律的，我们只要抓住这个规 律，就能很巧妙地解决这道题。只要弄清楚所求数量占单位"1"的 几分之几，再根据公式（单位"1"×对应分率=对应数量）求解即可 。 开始，杯中有 40 克糖，搅匀后喝去 3 5 ，再添入 20 克糖，这时杯中 糖的含量是40 × (1− 3 5 ) + 20克，第二次喝去以40 × (1− 3 5 ) + 20 为单位"1"的 3 5 ，第二次喝去后又加入 20 克糖，杯中含糖量为 [40 × (1− 3 5 ) + 20] × (1− 3 5 ) + 20克。以此类推，一共喝了 3次 ，前两次乘以 2 个(1− 3 5 )再加 20 克，最后一次只乘以(1− 3 5 )就可以 了。 解： [(40 × (1− 3 5 ) + 20) × (1− 3 5 ) + 20] × (1− 3 5 ) = [(40 × 2 5 +20) × 2 5 +20] × 2 5 重点例题 4 = [(16 + 20) × 2 5 +20] × 2 5 = 344 25 = 13 19 25 （克） 答：杯中所剩的糖水中含糖13 19 25 克。 1．某果园计划去年上半年栽果树 12000棵，结果上半年完成 3 8 ，下半 年完成 4 5 ，去年超额栽果树多少棵？ 2．小悦看一本 270页的书，第一天看了全书的 1 3 ，第二天看了余下的 4 9 ，第三天从第几页看起？ 4．某电器公司生产一种电子产品．由于改进技术，成本逐渐下降， 今年第二季度起成本都比前一季降低 1 10 ，已知第一季度成本是 1250 元，问第四季度成本是多少元？ 培优拔尖 3 【例 5】某工程队挖一条水渠，第一天挖了水渠总长度的 1 4 ，第二 天挖了剩下水渠长度的 5 21 ，第三天挖了未挖水渠长度的 1 2 ，第四 天挖完最后剩下的 100米水渠。请问：这条水渠长多少米？ 【思维点拨】本题可用倒推法，再结合单位“1”的概念来解。最 后剩下的 100米是第三天挖了未挖水渠长度的一半剩下的，为未挖 水渠长度的 1 2 ，以此类推，便可求出这条水渠的长度。 100 ÷ 1− 1 2 ÷ 1− 5 21 ÷ 1− 1 4 = 350 (米) 答：这条水渠长 350米。 【例 6】小红看一本故事书，第一天看了 26 页，没看的页数正好 占全书总页数的 13 15 。问：这本书共有多少页？ 【思维点拨】要求出本书的总页数，已知"第一天看了 26 页"，我 们只要找出这些页数所对应的分率就可以了。我们把这本故事书分 为两部分：看过的和没看过的。因为没看的部分占全书的 13 15 ，已 重点例题 5、6 经看的部分就占 1− 13 15 = 2 15 ，即 26 页对应的是全书的 2 15 。 列式如下： 26 ÷ (1− 13 15 ) = 26 ÷ 2 15 = 26 × 15 2 = 195(页) 答：这本书共有 195 页。 1．第二道题是：一个工人加工一批零件，第一天完成任务的 1 5 ，第二 天完成了剩下的 1 3 ，第二天比第一天多完成了 20个，问：这批零件共 有多少个？ 2．有一根竹竿倒过来插入水底，竹竿湿了 40厘米，然后将竹竿倒过 来再插入水底，这时竹竿湿的部分比它的 1 2 少 13厘米，竹竿长多少厘 米？ 培优拔尖 4 3．甲、乙、丙三人一共有 75元钱，甲用了自己钱数的 1 2 ，乙用了自 己钱数的 2 5 ，丙用了自己钱数的 1 4 ，这时他们剩下的钱一样多。求原来 甲、乙、丙各有多少钱。 【例 7】小美家菜地里的西红柿获得了丰收，当收下全部的 3 8 时， 装满了 4筐还多 36千克，收完其余部分时，又刚好装满 8筐。请 问：共收西红柿多少千克？ 【思维点拨】装满 4筐还多 36千克，即这 36千克不能装满 1筐。 它占总数的 3 8 − 4 12 = 1 16 。 共收西红柿的重量 重点例题 7、8 36 ÷ 1 16 = 576 (千克) 答：共收西红柿 576千克。 【例 8】在某个公共汽车站内，有 36 名乘客在等公共汽车，其中 女乘客占 4 9 。后来又有几名女乘客来等车，这时女乘客人数占所有 等车乘客人数的 9 19 。请问：后来又有几名女乘客来等车？ 【思维点拨】本题中，男乘客的人数自始至终没有发生变动，因此 我们可以根据男乘客人数不变的特点来解答这道题。最初，女乘客 占 4 9 ，则男乘客占 5 9 ，所以男乘客人数是 36 × 5 9 = 20(人)。后 来又有几名女乘客来车站，这时女乘客占所有乘客人数的 9 19 ，男 乘客人数占所有乘客人数的 10 19 ，这样就可以算出又来了几名女乘 客后乘客的总数。 解： 男乘客人数为 36 × (1− 4 9 ) = 36 × 5 9 = 20(人) 来了几名女乘客后所有乘车的乘客人数为 20 ÷ (1− 9 19 ) = 20 ÷ 10 19 = 38(人) 后来又来的女乘客人数为 38−36 = 2(人) 答： 后来又有 2 名女乘客来车站等车。 1．六年级选出男生的 1 11 和 12名女生参加数学竞赛．剩下的男生人数 是女生的 2倍．已知六年级共有学生 156人，其中男生有多少人？ 2．元旦文艺表演，上场的同学共 407人，其中未得奖的女同学占女 同学人数的 1 9 ，未得奖的男同学有 16人，得奖的男、女同学人数相 等．问演出的女同学有多少人？ 培优拔尖 5 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的"举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               转化单位“1”（一） 第4讲     专题概述 分数应用题是指用分数表示倍数关系的实际问题，通常会用到单位"1"。在分析解答时，我们要弄清楚量率的对应关系。在单位"1"确定后，建立已知条件与所求问题的量率对应关系，对解题十分重要。 将不同的数量当成单位"1"，得到的分率可以在一定条件下转化。比如： 1、如果甲是乙的 ，则乙是甲的 ； 2、如果甲的 等于乙的 ，则甲是乙的 = ，乙是甲的 = ； 3、如果甲是乙的 ，乙是丙的 ，则甲是丙的 。 重点例题1、2 【例1】某学校举行大型体操表演活动，一共有12000名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别。已知，小学的两个组共占总人数的 ，不是小学高年级组的占总人数的一半，那么小学中年级组参赛人数是多少？ 【思维点拨】我们知道总人数，只要找到小学中年级组参赛人数占总人数的比率，就可以算出小学中年级组参赛人数了。已知，小学的两个组共占总人数的 ，不是小学高年级组的占总人数的 ，那么 与 的"和"，就是小学高年级组与初中组加小学中年级组的2倍，减去单位"1"，就是小学中年级组。所以，小学中年级组参赛人数是： (人) 答：小学中年级组参赛人数是5250人。 【例2】小杜三天看完一本围棋书，第一天他看了全书的 ，第二天看了余下的 ，第二天比第一天多看了15页。问：这本书共有多少页？ 【思维点拨】我们知道，小杜第二天比第一天多看了15页，那么只要找到这些页数所对应的占全书的比率，就可以求出这本围棋书的总页数了。 根据已知条件，是把全书总页数作为单位"1"的，而是把第一天看后所余下的页数作为单位"1"的，这两个单位"1"不统一，所以，我们需要统一单位"1"才能解决这个问题。 我们把全书总页数作为单位"1"。根据"他看了全书的 ，第二天看了余下的 "，可求出第二天看的页数占全书总页数的比率，即 再根据题中条件"第二天比第一天多看了15页"，用 (页)，即可求出全书总页数。列式如下： (页) 培优拔尖1 1．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于；如果分母加1，这个分数就等于．问原来的分数是多少？ 2．新华书店运进一批故事书，第一天卖出总数的，第二天卖出450本，第三天卖出前两天总和的，还剩200本，新华书店运进多少本故事书？ 3． 兄弟俩共存钱2300元，如果弟弟取出，还比哥哥多200元，兄弟俩各存钱多少元？ 重点例题3 【例3】有甲、乙、丙、丁四个书商。这一天，他们一共卖了60本书。甲卖的本数是其余三人的 ，乙卖的本数是其余三人的 ，丙卖的本数是其余三人的 。问：丁卖了多少本？ 【思维点拨】在本题中，多次出现"其余三人"，但我们不可将其视为单位"1"，因为"其余三人"所含的对象是不同的。解答本题，最好把四人卖出的总书数作为单位"1"。根据"甲卖的本数是其余三人的 "，即甲是一份，其余三人是两份，故可推断出甲卖的本数占总本数的 ，同理可求出乙、丙卖的本数分别占总书数的 和 。最后，丁卖的本数就是60本的 。列式子如下： 答：丁卖了13本书。 培优拔尖2 1．菜地里西红柿获得丰收，收下全部的时，装满了3筐还多16千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，则共收得西红柿______千克． 2．某铺路队第一天铺了一条路的，第二天铺路6千米，第三天铺了这条路的，刚好铺完。第三天铺路多少千米？ 3．水利工程队挖了一条水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了余下的，第三天挖了60米，水渠正好挖完，求这条水渠有多长？ 重点例题4 【例4】 一满杯水，溶有40克糖，搅匀后喝去 ；加入20克糖，再加水搅匀，再喝去 ；再加入20克糖，再加水搅匀，仍喝去 。此时杯中所剩下的糖水中有糖多少克？ 【思维点拨】本题中，糖的总量处在不断的变化中，也就是说，单位"1"是不固定的，但这种变化是有规律的，我们只要抓住这个规律，就能很巧妙地解决这道题。只要弄清楚所求数量占单位"1"的几分之几，再根据公式（单位"1"×对应分率=对应数量）求解即可。 开始，杯中有40克糖，搅匀后喝去，再添入20克糖，这时杯中糖的含量是克，第二次喝去以为单位"1"的，第二次喝去后又加入20克糖，杯中含糖量为克。以此类推，一共喝了3次，前两次乘以2个再加20克，最后一次只乘以就可以了。 解： = = = = （克） 答：杯中所剩的糖水中含糖克。 培优拔尖3 1．某果园计划去年上半年栽果树12000棵，结果上半年完成，下半年完成，去年超额栽果树多少棵？ 2．小悦看一本270页的书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天从第几页看起？ 4． 某电器公司生产一种电子产品．由于改进技术，成本逐渐下降，今年第二季度起成本都比前一季降低，已知第一季度成本是1250元，问第四季度成本是多少元？ 重点例题5、6 【例5】某工程队挖一条水渠，第一天挖了水渠总长度的 ，第二天挖了剩下水渠长度的 ，第三天挖了未挖水渠长度的 ，第四天挖完最后剩下的100米水渠。请问：这条水渠长多少米？ 【思维点拨】本题可用倒推法，再结合单位“1”的概念来解。最后剩下的100米是第三天挖了未挖水渠长度的一半剩下的，为未挖水渠长度的 ，以此类推，便可求出这条水渠的长度。 (米) 答：这条水渠长350米。 【例6】小红看一本故事书，第一天看了26页，没看的页数正好占全书总页数的 。问：这本书共有多少页？ 【思维点拨】要求出本书的总页数，已知"第一天看了 26 页"，我们只要找出这些页数所对应的分率就可以了。我们把这本故事书分为两部分：看过的和没看过的。因为没看的部分占全书的 ，已经看的部分就占 ，即 26 页对应的是全书的 。 列式如下： 答：这本书共有 195 页。 培优拔尖4 1．第二道题是：一个工人加工一批零件，第一天完成任务的，第二天完成了剩下的，第二天比第一天多完成了20个，问：这批零件共有多少个？ 2．有一根竹竿倒过来插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒过来再插入水底，这时竹竿湿的部分比它的少13厘米，竹竿长多少厘米？ 3．甲、乙、丙三人一共有75元钱，甲用了自己钱数的，乙用了自己钱数的，丙用了自己钱数的，这时他们剩下的钱一样多。求原来甲、乙、丙各有多少钱。 重点例题7、8 【例7】小美家菜地里的西红柿获得了丰收，当收下全部的 时，装满了4筐还多36千克，收完其余部分时，又刚好装满8筐。请问：共收西红柿多少千克？ 【思维点拨】装满4筐还多36千克，即这36千克不能装满1筐。它占总数的 。 共收西红柿的重量 (千克) 答：共收西红柿576千克。 【例8】在某个公共汽车站内，有36名乘客在等公共汽车，其中女乘客占 。后来又有几名女乘客来等车，这时女乘客人数占所有等车乘客人数的 。请问：后来又有几名女乘客来等车？ 【思维点拨】本题中，男乘客的人数自始至终没有发生变动，因此我们可以根据男乘客人数不变的特点来解答这道题。最初，女乘客占 ，则男乘客占 ，所以男乘客人数是 。后来又有几名女乘客来车站，这时女乘客占所有乘客人数的 ，男乘客人数占所有乘客人数的 ，这样就可以算出又来了几名女乘客后乘客的总数。 解： 男乘客人数为 来了几名女乘客后所有乘车的乘客人数为 后来又来的女乘客人数为 答： 后来又有 2 名女乘客来车站等车。 培优拔尖5 1．六年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛．剩下的男生人数是女生的2倍．已知六年级共有学生156人，其中男生有多少人？ 2．元旦文艺表演，上场的同学共407人，其中未得奖的女同学占女同学人数的，未得奖的男同学有16人，得奖的男、女同学人数相等．问演出的女同学有多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的"举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               转化单位“1”（一） 第4讲     专题概述 分数应用题是指用分数表示倍数关系的实际问题，通常会用到单位"1"。在分析解答时，我们要弄清楚量率的对应关系。在单位"1"确定后，建立已知条件与所求问题的量率对应关系，对解题十分重要。 将不同的数量当成单位"1"，得到的分率可以在一定条件下转化。比如： 1、如果甲是乙的 ，则乙是甲的 ； 2、如果甲的 等于乙的 ，则甲是乙的 = ，乙是甲的 = ； 3、如果甲是乙的 ，乙是丙的 ，则甲是丙的 。 重点例题1、2 【例1】某学校举行大型体操表演活动，一共有12000名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别。已知，小学的两个组共占总人数的 ，不是小学高年级组的占总人数的一半，那么小学中年级组参赛人数是多少？ 【思维点拨】我们知道总人数，只要找到小学中年级组参赛人数占总人数的比率，就可以算出小学中年级组参赛人数了。已知，小学的两个组共占总人数的 ，不是小学高年级组的占总人数的 ，那么 与 的"和"，就是小学高年级组与初中组加小学中年级组的2倍，减去单位"1"，就是小学中年级组。所以，小学中年级组参赛人数是： (人) 答：小学中年级组参赛人数是5250人。 【例2】小杜三天看完一本围棋书，第一天他看了全书的 ，第二天看了余下的 ，第二天比第一天多看了15页。问：这本书共有多少页？ 【思维点拨】我们知道，小杜第二天比第一天多看了15页，那么只要找到这些页数所对应的占全书的比率，就可以求出这本围棋书的总页数了。 根据已知条件，是把全书总页数作为单位"1"的，而是把第一天看后所余下的页数作为单位"1"的，这两个单位"1"不统一，所以，我们需要统一单位"1"才能解决这个问题。 我们把全书总页数作为单位"1"。根据"他看了全书的 ，第二天看了余下的 "，可求出第二天看的页数占全书总页数的比率，即 再根据题中条件"第二天比第一天多看了15页"，用 (页)，即可求出全书总页数。列式如下： (页) 培优拔尖1 1．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于；如果分母加1，这个分数就等于．问原来的分数是多少？ 【解答】解：设原来的分数为， 则 整理得：3x-3=2x+1 得：x=4 则原来的分数为 2．新华书店运进一批故事书，第一天卖出总数的，第二天卖出450本，第三天卖出前两天总和的，还剩200本，新华书店运进多少本故事书？ 【答案】1200本。 【解答】解：（450+450×+200）÷（1--） =（450+150+200）÷（-） =800 =1200（本） 答：新华书店运进1200本故事书。 3．兄弟俩共存钱2300元，如果弟弟取出，还比哥哥多200元，兄弟俩各存钱多少元？ 【解答】解： （2300+200）÷（1-+1）=1500（元） 2300-1500=800（元） 答：哥哥存钱800元，弟弟存钱1500元． 重点例题3 【例3】有甲、乙、丙、丁四个书商。这一天，他们一共卖了60本书。甲卖的本数是其余三人的 ，乙卖的本数是其余三人的 ，丙卖的本数是其余三人的 。问：丁卖了多少本？ 【思维点拨】在本题中，多次出现"其余三人"，但我们不可将其视为单位"1"，因为"其余三人"所含的对象是不同的。解答本题，最好把四人卖出的总书数作为单位"1"。根据"甲卖的本数是其余三人的 "，即甲是一份，其余三人是两份，故可推断出甲卖的本数占总本数的 ，同理可求出乙、丙卖的本数分别占总书数的 和 。最后，丁卖的本数就是60本的 。列式子如下： 答：丁卖了13本书。 培优拔尖2 1．菜地里西红柿获得丰收，收下全部的时，装满了3筐还多16千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，则共收得西红柿______千克． 【解答】解：16×[6÷（1-）]， =16×10， =160（千克）． 答：共收得西红柿160千克． 故答案为：160． 2．某铺路队第一天铺了一条路的，第二天铺路6千米，第三天铺了这条路的，刚好铺完。第三天铺路多少千米？ 【答案】3千米。 【解答】解：6÷（1--） =6÷ =24（千米） 24×=3（千米） 答：第三天铺路3千米。 3．水利工程队挖了一条水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了余下的，第三天挖了60米，水渠正好挖完，求这条水渠有多长？ 【解答】解：60÷[1--（1-）×]， =60÷[-]， =60÷， =140（米）； 答：这条水渠全长有140米． 重点例题4 【例4】 一满杯水，溶有40克糖，搅匀后喝去 ；加入20克糖，再加水搅匀，再喝去 ；再加入20克糖，再加水搅匀，仍喝去 。此时杯中所剩下的糖水中有糖多少克？ 【思维点拨】本题中，糖的总量处在不断的变化中，也就是说，单位"1"是不固定的，但这种变化是有规律的，我们只要抓住这个规律，就能很巧妙地解决这道题。只要弄清楚所求数量占单位"1"的几分之几，再根据公式（单位"1"×对应分率=对应数量）求解即可。 开始，杯中有40克糖，搅匀后喝去，再添入20克糖，这时杯中糖的含量是克，第二次喝去以为单位"1"的，第二次喝去后又加入20克糖，杯中含糖量为克。以此类推，一共喝了3次，前两次乘以2个再加20克，最后一次只乘以就可以了。 解： = = = = （克） 答：杯中所剩的糖水中含糖克。 培优拔尖3 1．某果园计划去年上半年栽果树12000棵，结果上半年完成，下半年完成，去年超额栽果树多少棵？ 【解答】解：12000×（+-1）=2100（棵） 答：去年超额栽果树2100棵． 2．小悦看一本270页的书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天从第几页看起？ 【解答】解：（1-）×= 270÷（1--）=170（页） 170+1=171（页） 答：第三天从第171页看起． 3．某电器公司生产一种电子产品．由于改进技术，成本逐渐下降，今年第二季度起成本都比前一季降低，已知第一季度成本是1250元，问第四季度成本是多少元？ 【解答】解：1250×（1-）×（1-）×（1-）=911.25（元） 答：第四季度成本是911.25元． 重点例题5、6 【例5】某工程队挖一条水渠，第一天挖了水渠总长度的 ，第二天挖了剩下水渠长度的 ，第三天挖了未挖水渠长度的 ，第四天挖完最后剩下的100米水渠。请问：这条水渠长多少米？ 【思维点拨】本题可用倒推法，再结合单位“1”的概念来解。最后剩下的100米是第三天挖了未挖水渠长度的一半剩下的，为未挖水渠长度的 ，以此类推，便可求出这条水渠的长度。 (米) 答：这条水渠长350米。 【例6】小红看一本故事书，第一天看了26页，没看的页数正好占全书总页数的 。问：这本书共有多少页？ 【思维点拨】要求出本书的总页数，已知"第一天看了 26 页"，我们只要找出这些页数所对应的分率就可以了。我们把这本故事书分为两部分：看过的和没看过的。因为没看的部分占全书的 ，已经看的部分就占 ，即 26 页对应的是全书的 。 列式如下： 答：这本书共有 195 页。 培优拔尖4 1．第二道题是：一个工人加工一批零件，第一天完成任务的，第二天完成了剩下的，第二天比第一天多完成了20个，问：这批零件共有多少个？ 【答案】300个。 【分析】依据题意可知，把这批零件的个数看作单位“1”，第二天完成这批零件的[（1-）×]，第二天比第一天多完成个数=这批零件个数×[（1-）×-]，由此解答本题。 【解答】解：把这批零件的个数看作单位“1”， 20÷[（1-）×-] =20÷[] =20÷ =300（个） 答：这批零件300个。 2．有一根竹竿倒过来插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒过来再插入水底，这时竹竿湿的部分比它的少13厘米，竹竿长多少厘米？ 【答案】186厘米。 【分析】据题意可知，竹竿两头共湿了（40×2）米，而湿的部分比它的长少13厘米，也就是（40×2+13）厘米正好是竹竿的，由此可得竹竿的长度。 【解答】解：（40×2+13）÷ =93×2 =186（厘米） 答：竹竿长186厘米。 3．甲、乙、丙三人一共有75元钱，甲用了自己钱数的，乙用了自己钱数的，丙用了自己钱数的，这时他们剩下的钱一样多。求原来甲、乙、丙各有多少钱。 【答案】甲是30元、乙是25元、丙是20元。 【分析】依据题意“这时他们剩下的钱一样多”列出等式计算原来甲、乙、丙各自钱数的比，然后计算原来甲、乙、丙各有多少钱。 【解答】解：甲×（1-）=乙×（1-）=丙×（1-），则原来甲、乙、丙各自钱数的比=6：5：4， 甲的钱数：75÷（6+5+4）×6 =75÷15×6 =30（元）， 乙的钱数：75÷（6+5+4）×5 =75÷15×5 =25（元）， 丙的钱数：75÷（6+5+4）×4 =75÷15×4 =20（元）。 答：原来甲是30元、乙是25元、丙是20元。 重点例题7、8 【例7】小美家菜地里的西红柿获得了丰收，当收下全部的 时，装满了4筐还多36千克，收完其余部分时，又刚好装满8筐。请问：共收西红柿多少千克？ 【思维点拨】装满4筐还多36千克，即这36千克不能装满1筐。它占总数的 。 共收西红柿的重量 (千克) 答：共收西红柿576千克。 【例8】在某个公共汽车站内，有36名乘客在等公共汽车，其中女乘客占 。后来又有几名女乘客来等车，这时女乘客人数占所有等车乘客人数的 。请问：后来又有几名女乘客来等车？ 【思维点拨】本题中，男乘客的人数自始至终没有发生变动，因此我们可以根据男乘客人数不变的特点来解答这道题。最初，女乘客占 ，则男乘客占 ，所以男乘客人数是 。后来又有几名女乘客来车站，这时女乘客占所有乘客人数的 ，男乘客人数占所有乘客人数的 ，这样就可以算出又来了几名女乘客后乘客的总数。 解： 男乘客人数为 来了几名女乘客后所有乘车的乘客人数为 后来又来的女乘客人数为 答： 后来又有 2 名女乘客来车站等车。 培优拔尖5 1．六年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛．剩下的男生人数是女生的2倍．已知六年级共有学生156人，其中男生有多少人？ 【分析】由题意可知，选出男生的和12名女生后，男生的=女生×2，由此可以求出男生和女生的人数比，此时学生的总人数是156-12=144（人），据此解答即可． 【解答】解：男生的=女生×2，则男生：女生=2：=11：5 （156-12）×=99（人） 答：男生有99人． 2．元旦文艺表演，上场的同学共407人，其中未得奖的女同学占女同学人数的，未得奖的男同学有16人，得奖的男、女同学人数相等．问演出的女同学有多少人？ 【分析】演出的女同学、得奖的男同学：407-16=391（人），得奖的女同学为1-=，即得奖的男同学+得奖女同学×=391 得奖的男同学=得奖女同学，则得奖女同学为391÷（1+）=184（人），因此，演出的女同学为184×=207（人）． 【解答】解：（407-16）÷（1+1-）， =391÷， =391×， =207（人）； 答：演出的女同学有207人． 学科网（北京）股份有限公司 $$