4.3二倍角的三角函数公式（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

4.3二倍角的三角函数公式 题型一 正弦二倍角公式 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知条件等式两边平方，结合同角间的三角函数关系和二倍角公式，即可求解. 【详解】两边平方得， ， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖北·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角正弦公式和同角三角函数的关系化简可得结果. 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高一下·四川达州·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数定义，及正弦二倍角公式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 所以， 故选：B 4．（24-25高一下·四川巴中·阶段练习）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两角和的正弦公式展开，再两边同时平方结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】∵，∴，， 即， 两边同时平方可得，， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可求出的最小正周期. 【详解】因为， 设的周期为，则，即， ，，即， 所以的最小正周期为. 故选：C. 题型二 正弦二倍角公式的逆用 1．（2022高三·北京·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式即得. 【详解】由二倍角公式可得， . 故选：A. 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合降次公式化简函数解析式，再根据正弦函数图像性质，即可求解. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，即， 故函数值域为. 故选：B. 3．（2021·四川遂宁·模拟预测）=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系，以及降幂公式即可求得答案. 【详解】原式=. 故选：D. 4．（20-21高一下·安徽蚌埠·期末）求值： ． 【答案】 【分析】由于，所以原式可化为，乘进去后再利用降幂公式化简可得，再逆用两角和的正弦公式可得答案 【详解】解： ， 故答案为： 5．（20-21高二下·广东汕头·期中）sin195°sin465°＝ 【答案】 【分析】结合诱导公式及降幂公式化简整理即可求出结果. 【详解】 ， 故答案为：. 题型三 余弦二倍角公式 1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：A 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦和余弦的二倍角公式进行化简计算. 【详解】因为，所以，故，， 又因为， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）的值等于（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先利用二倍角公式化简以及，再利用诱导公式化简即可代入化简. 【详解】， ， 因，则， 则. 故选：A. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】平方后得到，再利用倍角公式即可求得. 【详解】因为，两边同时平方有，则， 又因为， 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故答案为： 题型四 余弦二倍角公式的逆用 1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 2．（22-23高一下·广东深圳·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据降幂公式计算，即可得答案. 【详解】， 故选：A 3．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】根据题意利用降幂公式结合诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 4．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化简为，令，即在上恰有7个不相等的实根，由的性质可得解 【详解】，令， ， ， 由题意在上恰有7个零点，即在上恰有7个不相等的实根， 即，或，， 当时，， … 当，. 由的性质可得， 解得． 故答案为： 5．（22-23高一下·甘肃·期末）已知函数在上的最小值为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】对函数化简得，由的范围，求得的范围，则由题意可知在取得最小值，从而可得关于的不等式组，进而可求得结果. 【详解】，又，所以． 因为取得最小值，所以取得最小值， 因为，， 所以，或， 解得． 故答案为： 题型五 正切二倍角公式 1．（24-25高一下·海南儋州·阶段练习）已知，则为第二象限角，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据诱导公式，求得正切值，利用正切函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，，故. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算法则求，结合向量平行坐标表示列方程可得，化简求，再结合二倍角正切公式求结论. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 3．（24-25高一下·四川·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用平方关系和商数关系得到，利用正切的倍角公式得到，进而可得，再结合角的范围，即可求解. 【详解】因为，，则，所以， 则，又因为，则， 又，则， 又，，则，所以， 故选：D. 4．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角的终边过点，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再代入二倍角正切公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则. 故选：A 5．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，再根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②，故A正确； 因为，所以，所以由②可得，所以，故B正确； 所以③，故C错误； ①③联立解得，所以，所以，故D正确． 故选：C． 题型六 正切二倍角公式的逆用 1．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）（多选）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，由两角差的正切公式化简即可判断；对于B，由诱导公式结合二倍角正弦公式化简即可判断；对于C，通分结合两角差正弦公式和二倍角正弦公式化简即可判断；对于D，由两角和余弦公式化简即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 2.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）（多选）下列代数式的值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、二倍角公式逐项化简可得结果. 【详解】A. ，A错误. B.，选项B正确. C.，选项C正确. D.∵， ∴ ， ∵，∴，D正确. 故选：BCD. 3.（24-25高一下·河北承德·阶段练习）（多选）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项， ，B选项错误. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：AD 4.（23-24高一下·江苏宿迁·期中）（多选）下列各式中，化简结果为 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正切公式判断A、B，利用两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD 5.（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（多选）下列各式的值正确的是（         ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B选项；利用二倍角的正切公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为， 所以，， 故 ，D对. 故选：BD. 题型七 二倍角公式的化简求值 1．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）化简的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 2.（2025高一·全国·专题练习）（多选）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用二倍角公式可得选项A错误，选项B正确；根据两角差的正切公式可得选项C正确；利用辅助角公式可得选项D错误. 【详解】A.，A错误； B.，B正确； C.∵， ∴， ∴，C正确； D.∵ ，D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一下·河南许昌·阶段练习）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角差的正弦公式、正切的二倍角公式、余弦的二倍角公式，即可判断出三者的大小，做出结论. 【详解】由， 又， 且， 因为 所以，即. 故选：D 4．（24-25高一下·四川·阶段练习）（多选）下列选项化简值为1的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据二倍角即可求解AC，根据辅助角公式即可求解BD. 【详解】对于A, ，A错误， 对于B，，B正确， 对于C, ，C正确， 对于D， ，故D错误， 故选：BC 5．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）（多选）下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，特殊角三角函数值代入即可；对于B，利用余弦的二倍角公式化简计算即可；对于C，利用两角差的正弦公式化简求值即可；对于D，利用正切的倍角公式化简即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（    ） A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式及二倍角公式求解判断即可. 【详解】由， 则小张同学正确； 由，即， 则， 则小姚同学正确. 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）（多选）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将平方，结合可得，结合选项逐个判断即可. 【详解】将平方得， 结合可得，即， 即， 即，故CD错误； 又 ，故A正确，B错误. 故选：BCD. 4．（24-25高一下·河北唐山·期中）地面上有两座相距120米的塔，高塔的高为米，矮塔的高为米，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点处望两塔塔顶的仰角互为余角，则 . 【答案】 【分析】在直角三角形中分别表示出、的正切值，由二倍角公式建立关系，再分别表示、的正切值，利用互余建立关系，然后解方程组即得. 【详解】 设在O点望高塔塔顶的仰角为β，， 由二倍角的正切公式得，即， 由在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，得在O点望矮塔顶的仰角为， 由， ，而 则， 因此，解得，所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）若函数，的两个零点分别为和，则 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中，， 由，得，而， 因此，即， 则，即， 故 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3二倍角的三角函数公式 题型一 正弦二倍角公式 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川达州·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川巴中·阶段练习）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 题型二 正弦二倍角公式的逆用 1．（2022高三·北京·学业考试）（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 3．（2021·四川遂宁·模拟预测）=（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·安徽蚌埠·期末）求值： ． 5．（20-21高二下·广东汕头·期中）sin195°sin465°＝ 题型三 余弦二倍角公式 1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）的值等于（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 5．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 题型四 余弦二倍角公式的逆用 1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广东深圳·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）若，则 . 4．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是 ． 5．（22-23高一下·甘肃·期末）已知函数在上的最小值为，则的值为 ． 题型五 正切二倍角公式 1．（24-25高一下·海南儋州·阶段练习）已知，则为第二象限角，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角的终边过点，则=（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型六 正切二倍角公式的逆用 1．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）（多选）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）（多选）下列代数式的值为的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·河北承德·阶段练习）（多选）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高一下·江苏宿迁·期中）（多选）下列各式中，化简结果为 的是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（多选）下列各式的值正确的是（         ） A． B． C． D． 题型七 二倍角公式的化简求值 1．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）化简的值为 ． 2.（2025高一·全国·专题练习）（多选）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南许昌·阶段练习）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川·阶段练习）（多选）下列选项化简值为1的有（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）（多选）下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（    ） A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对 C．两人都错 D．两人都对 3．（2025高一·全国·专题练习）（多选）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北唐山·期中）地面上有两座相距120米的塔，高塔的高为米，矮塔的高为米，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点处望两塔塔顶的仰角互为余角，则 . 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）若函数，的两个零点分别为和，则 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$