数学（济南卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B C C B B C C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11． 12． 13． 14．①②③④ 15．①②③ 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分4分） 【详解】解： ．----------------（4分） 17．（本小题满分6分） 【详解】解：， 解不等式①得：，----------------（2分） 解不等式②得：，----------------（4分） 所以原不等式组的解集为：，----------------（5分） 则原不等式组的正整数解为1，2，3．----------------（6分） 18．（本小题满分6分） 【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD ，   ∴∠ACD=∠CAB．----------------（2分） ∵CF=AE， ∴△CFD≌△AEB(SAS)， ----------------（4分） ∴∠F=∠E， ∴BE∥DF．      ----------------（6分） 19．（本小题满分10分） 【详解】（1）解：三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是方案三， 故答案为：方案三；----------------（2分） （2）解：从七年级随机抽取的20名学生的成绩中，出现次数最多的是80， ∴众数， 将从八年级随机抽取的20名学生的成绩从小到大排列： 65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100 第10个、第11个数据分别为85、90， ∴中位数， 故答案为：80，87.5；----------------（6分，每空2分，共4分） （3）解：该校八年级成绩优秀的学生约为（人）， 故答案为：200；----------------（8分） （4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下： 共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种， ∴恰好抽到两位男生的概率，----------------（10分） 20．（本小题满分10分） 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ， 由题意可得,，，， ----------------（2分） 在直角三角形中，，， ，----------------（3分） 在直角三角形中，， ；----------------（4分） （2）解：如图，延长交于点，过点作于点H， 在直角三角形中，，， ， ， ， ，----------------（6分） 在直角三角形中，，， ，， ， ----------------（7分） 则小巴走过的路程为， 时间约为；----------------（8分） 则小蜀走过的路程为， 时间约为，----------------（9分） ， 小巴先到停车场．----------------（10分） 21．（本小题满分10分） 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ，----------------（1分） 又为的内心， ， ， ∴， ∴，----------------（3分） 又为的直径， ， ，----------------（4分） 又∵， ， ∴是的切线；----------------（5分） （2）解：， ， ，----------------（6分） 又， ，， ，----------------（8分） ．----------------（10分） 22．（本小题满分10分） 【详解】（1）解：由题意得， 解得：；----------------（2分） （2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得：----------------（3分） 经检验是原分式方程的解．----------------（4分） （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元．----------------（5分） （3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：，----------------（6分） 由，解得，----------------（7分） 取整数，，10，11，12，----------------（8分） ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元．----------------（10分） 23．（本小题满分10分） 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ，----------------（1分） 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为，----------------（2分） 由， 解得或， 点的坐标为；----------------（4分） （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为，----------------（5分） 把代入， 可得， ，----------------（6分） ， ；----------------（7分） （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，----------------（9分） ， ， 点．----------------（10分） 24．（本小题满分12分） 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：，----------------（2分） ∴该抛物线解析式为；----------------（3分） （2）解：令，得， ∴，----------------（4分） 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为，----------------（5分） ∵轴， ∴设，则，， ∴，，----------------（6分） ∵， ∴， ∴或，----------------（7分） 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或；----------------（8分） （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴，----------------（9分） ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴；----------------（10分） 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴；----------------（12分） 25．（本小题满分12分） 【详解】（1）证明：延长交于点G， ， ， 点与点重合， 正方形中，， ，----------------（1分） 由旋转的性质得，， ，，----------------（2分） 点与点重合， ；----------------（3分） ， ， ， ；----------------（4分） （2）（1）中的结论成立， 证明：设与交于点， 由旋转的性质得：，，，----------------（5分） ， ， ， ，，----------------（7分） ， ， ；----------------（8分） （3）解：连接，过点M作交延长线与点Q， 由（1）（2）可得：，即， 点在以为直径的圆弧上运动， 时， 点M与点重合时，即点三点共线时，如图， 此时，点M到直线有最大距离，为的长， ， ， ， ， ，， ， ， 点M到直线的最大距离为：， 如图，当点M与点A重合时， 点M到直线有最小距离，为0， 综上，点M到直线的最大距离为，最小距离为0．----------------（12分，直接写出即可得4分） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．与 互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义、无理数 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：与 互为相反数， 故选：B． 2．剪纸是一种古老的民间艺术，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 4．如图，该几何体的俯视图（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体的三视图，从上面看几何体得到的图形叫俯视图． 从上面看几何体得到的图形，看得见的轮廓线用实线画出，即可得到答案． 【详解】 解：从上面看几何体得到， 故选：C． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，根据同底数幂除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，逐一计算即可解答．熟知相应计算法则是解题的关键． 【详解】解：，故A错误，该选项不符合题意； ，故B错误，该选项不符合题意； ，故C正确，该选项符合题意； ，故D错误，该选项不符合题意；， 故选：C． 6．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由对顶角相等得出的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵与为对顶角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 故选：B． 7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了树状图法，概率公式，画树状图，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A、B、C、D， 画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种， ∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是， 故选：B． 8．已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根． 【详解】解：∵在每一个象限内y随着x增大而增大， ∴， ∵ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 9．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，推出，设，则，根据相似三角形的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 直线垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，易知，结合对称轴为直线，易得，即可判断结论①；首先确定该抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，易得，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知，故当时，可得，即可判断结论③；若方程的两个根为，，则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④． 【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线过点，对称轴为直线， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有， ∴， ∴，故结论②错误； ∵是抛物线上的两点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴当时，， 故结论③正确； ∵该二次函数图像与轴交于，， ∴， 若方程的两个根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 12．如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中①号三角形区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率．根据题意得：①号三角形区域面积占整个图形的面积的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①号三角形区域面积占整个图形的面积的， ∴飞镖投中①号三角形区域的概率是． 故答案为： 13．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再将变形为，最后整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∵ ． 故答案为：． 14．在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有 （填序号．）    【答案】①②③④ 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：A，B两地相距为，故①正确； 货车的速度为：， 故货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， ∴两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，故②正确； 设客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， ∴客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为：，故③正确； 由得， 解得：， ∵， ∴符合题意，即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 15．如图，在矩形中，，，某数学小组对其进行了如下操作：①先将矩形沿对折，使与完全重合，然后展开，②再沿折叠，使点恰好落在折痕上的点．若两条折痕交于点，则以下结论正确的是 ．（请填写序号）① ；② ；③ 连接，则四边形是菱形；④ 【答案】①②③ 【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】过点作于点，得出，进而得出，结合矩形的性质可得，即可判断①；根据平行线分线段成比例可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而解得出，进而求得，即可判断②，根据平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出，即可判断③，分别求得即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵先将矩形沿对折，使与完全重合， ∴,； ①如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， 依题意，，， ∴， ∴； ∴折叠， ∴， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， 即是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，故②正确； ③如图， ∵是的中点，， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ④∵， ∴； ∵分别是的中点， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴；故④不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂、二次根式的加减运算 【分析】先计算负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的锐角三角函数，化简二次根式，再合并即可． 【详解】 解： ． 【点睛】本题考查的是化简绝对值，负整数指数幂的运算，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，掌握以上基础运算的法则是解本题的关键． 【答案】，正整数解为 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的正整数解等知识，正确求出两个不等式的解集是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得不等式组的解集，最后求出正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为：， 则原不等式组的正整数解为． 18．如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE∥DF． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质，证得△CFD≌△AEB，即可得证结论． 【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD ，   ∴∠ACD=∠CAB． ∵CF=AE， ∴△CFD≌△AEB(SAS)， ∴∠F=∠E， ∴BE∥DF．       【点睛】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的证明，熟练掌握平行四边形的有关性质和全等三角形的证明是解题的关键． 19．为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各班中随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下： 七年级：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100． 八年级：65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100． 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题； 成绩分段 七年级人数 3 7 5 5 八年级人数 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 (1)三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是_________（填写“方案一”“方案二”或“方案三”） (2)表格中，_______，______． (3)成绩在范围内属于优秀，该校八年级学生有800人，估计该校八年级成绩优秀的学生约为______人； (4)七年级抽取的学生，成绩在“”范围的3人中，有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________． 【答案】(1)方案三 (2)80，87.5 (3)200 (4) 【知识点】求中位数、列表法或树状图法求概率、由样本所占百分比估计总体的数量、求众数 【分析】本题主要考查了抽样调查的可靠性，求众数，求中位数，利用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数和众数的概念是解题的关键． （1）从总体中抽取部分单位作为样本进行调查，随机抽样具有代表性和广泛性，据此解答即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）利用样本数据估计总体，即可求解； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是方案三， 故答案为：方案三； （2）解：从七年级随机抽取的20名学生的成绩中，出现次数最多的是80， ∴众数， 将从八年级随机抽取的20名学生的成绩从小到大排列： 65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100 第10个、第11个数据分别为85、90， ∴中位数， 故答案为：80，87.5； （3）解：该校八年级成绩优秀的学生约为（人）， 故答案为：200； （4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下： 共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种， ∴恰好抽到两位男生的概率， 故答案为：． 20．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小蜀从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度；（结果保留根号） (2)若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)小巴先到停车场，理由见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，可得四边形为矩形，解直角三角形求得即可解答； （2）延长交于点，过点作于点，解直角三角形求得小巴和小蜀走过的路程，再计算时间即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ， 由题意可得,，，， 在直角三角形中，，， ， 在直角三角形中，， ； （2）解：如图，延长交于点，过点作于点H， 在直角三角形中，，， ， ， ， ， 在直角三角形中，，， ，， ， 则小巴走过的路程为， 时间约为； 则小蜀走过的路程为， 时间约为， ， 小巴先到停车场． 21．如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、三角形内心有关应用、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1) (2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元 (3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可； （2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可； （3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得： 经检验是原分式方程的解． （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元． （3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：， 由，解得， 取整数，，10，11，12， ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元． 23．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求反比例函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 25．线段绕点A逆时针旋转到，正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为，，点D、F分别在上． (1)如图1，当时，连接、，则与的数量关系是__________，位置关系是__________． (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)在正方形绕点A旋转中，若直线与直线相交于点M，直接写出点M到直线的最大距离和最小距离． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，证明见解析 (3)点M到直线的最大距离为，最小距离为0 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据旋转的性质证明，即可得出结论； （2）同理（1）即可证明； （3）连接，过点M作交延长线与点Q，由（1）（2）可得：，即，点在以为直径的圆弧上运动，点M与点重合时，即点三点共线时，有最大距离，点M与点A重合时，点M到直线有最小距离，即可解答． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ， ， 点与点重合， 正方形中，， ， 由旋转的性质得，， ，， 点与点重合， ； ， ， ， ； （2）（1）中的结论成立， 证明：设与交于点， 由旋转的性质得：，，， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：连接，过点M作交延长线与点Q， 由（1）（2）可得：，即， 点在以为直径的圆弧上运动， 时， 点M与点重合时，即点三点共线时，如图， 此时，点M到直线有最大距离，为的长， ， ， ， ， ，， ， ， 点M到直线的最大距离为：， 如图，当点M与点A重合时， 点M到直线有最小距离，为0， 综上，点M到直线的最大距离为，最小距离为0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共20分） 11._________________ 12. ___________________ 13.__________________ 14.__________________ 15.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本题满分4分）计算：． 17. （本题满分6分） 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （本小题满分6分） 19．（本小题满分10分） (1) ____________ (2) _____________；______________； (3) ____________ (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（本小题满分10分） 21.（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（本小题满分12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （本小题满分12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．与 互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 2．剪纸是一种古老的民间艺术，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 4．如图，该几何体的俯视图（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（    ） A． B． C． D． 8．已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 9．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．因式分解： ． 12．如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中①号三角形区域的概率是 ． 13．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 14．在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有 （填序号．）    15．如图，在矩形中，，，某数学小组对其进行了如下操作：①先将矩形沿对折，使与完全重合，然后展开，②再沿折叠，使点恰好落在折痕上的点．若两条折痕交于点，则以下结论正确的是 ．（请填写序号）① ；② ；③ 连接，则四边形是菱形；④ 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题4分）计算：． 17．（本题6分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 18．（本题6分）如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE∥DF． 19．（本题10分）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各班中随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下： 七年级：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100． 八年级：65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100． 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题； 成绩分段 七年级人数 3 7 5 5 八年级人数 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 (1)三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是_________（填写“方案一”“方案二”或“方案三”） (2)表格中，_______，b=______． (3)成绩在范围内属于优秀，该校八年级学生有800人，估计该校八年级成绩优秀的学生约为______人； (4)七年级抽取的学生，成绩在“”范围的3人中，有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，求恰好抽到两位男生的概率． 20．（本题10分）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小蜀从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度；（结果保留根号） (2)若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，，） 21．（本题10分）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22．（本题10分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 23．（本题10分）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（本题12分）线段绕点A逆时针旋转到，正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为，，点D、F分别在上． (1)如图1，当时，连接、，则与的数量关系是__________，位置关系是__________． (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)在正方形绕点A旋转中，若直线与直线相交于点M，直接写出点M到直线的最大距离和最小距离． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分4分）计算：． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （本题满分6分） 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 18．（本小题满分6分） 19．（本小题满分10分） (1) ____________ (2) _____________；______________； (3) ____________ (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本小题满分10分） 21．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（本小题满分10分） 23．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（本小题满分12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（本小题满分12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．与 互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 2．剪纸是一种古老的民间艺术，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 4．如图，该几何体的俯视图（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（    ） A． B． C． D． 8．已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 9．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．因式分解： ． 12．如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中①号三角形区域的概率是 ． 13．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 14．在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有 （填序号．）    15．如图，在矩形中，，，某数学小组对其进行了如下操作：①先将矩形沿对折，使与完全重合，然后展开，②再沿折叠，使点恰好落在折痕上的点．若两条折痕交于点，则以下结论正确的是 ．（请填写序号）① ；② ；③ 连接，则四边形是菱形；④ 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题4分）计算：． 17．（本题6分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 18．（本题6分）如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE∥DF． 19．（本题10分）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各班中随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下： 七年级：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100． 八年级：65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100． 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题； 成绩分段 七年级人数 3 7 5 5 八年级人数 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 (1)三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是_________（填写“方案一”“方案二”或“方案三”） (2)表格中，_______，b=______． (3)成绩在范围内属于优秀，该校八年级学生有800人，估计该校八年级成绩优秀的学生约为______人； (4)七年级抽取的学生，成绩在“”范围的3人中，有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，求恰好抽到两位男生的概率． 20．（本题10分）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小蜀从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度；（结果保留根号） (2)若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，，） 21．（本题10分）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22．（本题10分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 23．（本题10分）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（本题12分）线段绕点A逆时针旋转到，正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为，，点D、F分别在上． (1)如图1，当时，连接、，则与的数量关系是__________，位置关系是__________． (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)在正方形绕点A旋转中，若直线与直线相交于点M，直接写出点M到直线的最大距离和最小距离． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$