专题4.6 因式分解创新题型探究（精选精练38题）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.6 因式分解创新题型探究（精选精练38题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （    ） A．线点P的坐标满足或者 B．是线点 C．线点P在直线上（除外） D．线点P在直线上（除外） 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 5．（2025·安徽合肥·一模）已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若实数，，满足，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 9．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）若，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 11．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列说法中正确的个数有（   ） ①若满足，则； ②关于的方程存在整数解； ③若两个实数满足，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24八年级上·福建三明·期中）分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 15．（24-25八年级上·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 16．（24-25九年级下·福建厦门·期中）若 ，则 （请用“”“”或“”表示） 17．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）已知x为整数，若是某个整数的平方，则x为 ． 18．（2025·山东日照·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和 ． 19．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 20．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若，代数式的值为，则当时，代数式的值为 ． 21．（2025·湖北十堰·模拟预测）当整数为 时（只写一个），多项式能用平方差公式分解因式． 22．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，，，，将沿方向平移b个单位得（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设交于点G，若的面积比的大8，则代数式的值为 ． 23．（2025·四川宜宾·一模）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，．若为“异能数”，其中（，且为整数）；规定：，若能被7整除，且，求的最大值为 . 24．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是 ． 25．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论： （1）若，则二次三项式一定含有因式； （2）若，且，则； （3）若，则； （4）若则无论取何实数，总是正数． 其中正确结论的序号有 ． 26．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则的值是 ． 27．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ． 28．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ． 29．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）在综合与实践活动课上，李老师让同学们画出矩形，使其各边均为整数．设矩形的面积为m，周长为n． ①若，则n的所有可能值为 ； ②当时．若要使得每位同学画出的矩形一定互相全等，则m的值为 ． 30．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为 ． 三、解答题 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入，就可以开始把多项式进行因式分解． （1）求式子中m、n的值： （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 32．（24-25七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； （3）已知：，，求的值。 33．（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列． （1）第个“三方数”是________；第个“三方数”是________； （2）请判断是“三方数”吗？并说明理由． 34．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题： （1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 35．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 36．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：_________________（直接列出等式即可）； （2）若，，求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解：__________________．（直接列出等式即可） 37．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 38．（23-24八年级下·河北保定·期末）数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）． 材料：将因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解， 即，这种分解因式的方式叫做分组分解法． 卡片： （1）若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________． （2）若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解． （3）若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为，请判断以，，为边的的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.6 因式分解创新题型探究（精选精练38题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （    ） A．线点P的坐标满足或者 B．是线点 C．线点P在直线上（除外） D．线点P在直线上（除外） 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，涉及一次函数图象上点的坐标特征，平方差公式因式分解等知识点，理解新定义是解题的关键． A：由题意得，两式相减得到，即可判断；B：将分别代入，根据新定义判断即可；C、D：由A可知，则，那么线点P在直线上，由于，则除外，故可判断C，D． 解：A、由题意得， 两式相减得到，， ∴， ， ， ， 故A错误，不符合题意； B、将分别代入得：， ， ， ， ， ∴不是“线点”，故B错误，不符合题意； C、由A可知， ∴， ∴线点P在直线上， ∵， ∴除外， ∴线点P在直线上，（除外），故C错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据题意可得纪念品的数量为，进而根据多项式的乘法进行计算求解即可． 解：根据题意可得，这些鸡米花的数量可能是， 也可能是或， 不可能是， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解是解题的关键． 解：原式根号下面部分为， ， ， ， ， ∴， ， ， ，，， ，当且仅当或时，取到等号， 根据二次根式的性质只能等于0， ， 当时，； 当时，； 原式， 故选：D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查的是方程组的解法，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，分两种情况讨论：当时，方程有1组解；当时，方程化为，再把三个方程相加，结合完全平方公式进一步解答即可． 解：当时，方程有1组解； 当时， ∵，则， ∴， ∴三个方程相加：， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； 综上：方程有2组解； 故选：B． 5．（2025·安徽合肥·一模）已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的大小比较，熟练掌握代数式的大小比较方法是解题的关键； 根据作差法，分别比较和的大小关系，即可求解； 解：，， ， ，，是互不相等的实数， ， ， ， ，，是互不相等的实数， ， ； 最大； 故选：A 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若实数，，满足，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解、代数式的求值、实数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．先将题目的两个等式相加，整理得到，再利用因式分解的知识将等式变形为，利用完全平方的非负性求出、的值，即可求出的值． 解：，， ， 整理得：， ， ， ，， 解得：，， ， ． 故选：A． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，把分子利用平方差公式分解因式，然后约分化简． 解： ． 故选：B． 8．（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式和合并同类项法则进行化简，得出，然后进行判断即可． 解： ． 和中必有一个为偶数， 一定能被6整除． 故选：C． 9．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，特殊三角形的判定； ①等式左边进行因式分解得，即可判断； ②等式左边进行因式分解得，即可判断； ③等式左边进行因式分解得，即可判断； 能熟练进行因式分解是解题的关键． 解：①由题意得：， ， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形； 故此项正确； ②， ， ， ，，， ，，， ， 这个三角形是等边三角形； 故此项正确； ③由题意得：， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形； 故此项不正确； 故选：C． 10．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）若，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，原式先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 解： ， ∵， ∴原式， 故选：A． 11．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 解： ， ∴结果呈现的密码信息可能是“天空之桥”， 故选：A． 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列说法中正确的个数有（   ） ①若满足，则； ②关于的方程存在整数解； ③若两个实数满足，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法、完全平方公式，根据完全平方公式，整式的乘法进行计算，逐项分析判断，即可求解． 解：①若满足， ∴ 即 ∴ ∴；故①正确 ②∵， ∴，当是整数时，不可能是整数， ∴关于的方程不存在整数解，故②不正确； ③∵ ∴， ∴ ∴ ∴，故③不正确； ④∵ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确 故正确的个数有个 故选：B． 13．（23-24八年级上·福建三明·期中）分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解． 解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 14．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 解： 其中运用的方法是提取公因式法和平方差公式法， 所以， *代表，故选项A说法正确，不符合题意； ☆代表，故选项B说法正确，不符合题意； 在运算过程中运用了提取公因式法和平方差公式法，△和□分别代表了提公因式法和平方差公式法中的一种，没有运用到完全平方公式法，故选项C说法正确，不符合题意；选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 15．（24-25八年级上·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题 16．（24-25九年级下·福建厦门·期中）若 ，则 （请用“”“”或“”表示） 【答案】 【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系． 解：设，则． ， 将代入，得， ． 故答案为：． 17．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）已知x为整数，若是某个整数的平方，则x为 ． 【答案】10或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，设（m为整数），则，然后运用完全平方公式变形整理得到，再得出二元一次方程组，解之可得． 解：设（m为整数）， 则， ∴， ∵， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：10或． 18．（2025·山东日照·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，设两个连续的正奇数为（n为正整数），求出，则任意的“登高数”一定是8的倍数，再根据可得不超过2024的所有“登高数”的和即为1到253的自然数之和的8倍，据此求解即可． 解：设两个连续的正奇数为（n为正整数）， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴任意的“登高数”一定是8的倍数， ∵， ∴不超过2024的所有“登高数”的和为， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得． 解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：2023． 20．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若，代数式的值为，则当时，代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查代数式求值，非负性，把代入，得到，进而得到，非负性求出的值，再把代入代数式进行求值即可． 解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 故答案为：3． 21．（2025·湖北十堰·模拟预测）当整数为 时（只写一个），多项式能用平方差公式分解因式． 【答案】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 解：当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 22．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，，，，将沿方向平移b个单位得（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设交于点G，若的面积比的大8，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，整式的乘法，因式分解，解题的关键在于根据得到．由平移的性质可知，，进而根据的面积比的大8，推出，再结合长方形与三角形面积公式求解，即可解题． 解：，，，将沿方向平移b个单位得， 由平移的性质可知，， 的面积比的大8， 即， ， 即， ， ， 故答案为：． 23．（2025·四川宜宾·一模）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，．若为“异能数”，其中（，且为整数）；规定：，若能被7整除，且，求的最大值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解整除、完全平方数的定义，把不等式和方程相结合进行综合分析是解题关键．根据能被7整除可得出，，结合、的取值范围可得的值为92或81，根据可得出，结合、的取值范围，可得或34，将，的值代入计算选出最大值即可． 解：由题意知：，，、，且、、、为整数）， ∴， 同理， 能被7整除， 为整数， 又， ， ， ，，或，， 或81， 又， ， 即：， ， 、且， ，，或，， 或34，将、的值代入计算可得， ，，，， ， ． 故答案为：. 24．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解及整式混合运算的应用，先根据大中小三个正方形的边长分别为，，，分别表示出，，，再代入，，然后利用因式分解得到，，最后根据求解即可． 解：由图形可得，大中小三个正方形的边长分别为，，， ∴，，， ∵，且， ∴，且， 整理得，且， ∵可得，， ∴， ∵可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论： （1）若，则二次三项式一定含有因式； （2）若，且，则； （3）若，则； （4）若则无论取何实数，总是正数． 其中正确结论的序号有 ． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】此题考查了因式分解、完全平方公式的应用，熟练掌握因式分解和完全平方公式是关键．利用因式分解和完全平方公式逐项进行判断即可． 解：（1）∵， ∴， ∴ ∴二次三项式一定含有因式； 故（1）正确， （2）若，且， ∴或， 则或； 故结论（2）不正确； （3）∵， ∴， ∴， 故结论（3）正确； （4）∵ ∵， ∴当时，即时， 无论取何实数时，总是正数， 故结论（4）正确； 故答案为：（1）（3）（4） 26．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将变形为．把原式变形后整体代入即可得到答案． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．根据题意可得：拼成的大正方形的面积，即可解答． 解：由题意得：拼成的大正方形的面积， ∴拼成的大正方形的边长是， 故答案为：． 28．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案． 解：∵， ∴， 即， 则． ∵， ∴， 可得． ∵， ∴， ∴， 即． ∴． 故答案为：． 29．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）在综合与实践活动课上，李老师让同学们画出矩形，使其各边均为整数．设矩形的面积为m，周长为n． ①若，则n的所有可能值为 ； ②当时．若要使得每位同学画出的矩形一定互相全等，则m的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查方程的整数解，因式分解的应用． （1）设一边长为，则另一边长为，根据面积得到，然后得到，的整数解即可求出n的值； （2）设一边长为，则另一边长为，则有，，代入整理得，根据题意可得x，y的值计算解题． 解：①设一边长为，则另一边长为， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或或或， 则n为或， 故答案为：或； ②设一边长为，则另一边长为， 则，， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ∵每位同学画出的矩形一定互相全等， ∴是质数， 即为， ∴这个矩形的两边长为和， ∴m的值为， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为 ． 【答案】900 【分析】本题考查了因式分解的应用、求代数式的值，设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，，结合题意得出，求出，，代入代数式计算即可得解． 解：设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入，就可以开始把多项式进行因式分解． （1）求式子中m、n的值： （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式因式分解中的“试根法”，即通过寻找多项式的根来因式分解，并通过比较系数确定未知参数． （1）因为，所以，得到； （2）“试根法”得是根，得到． 解：（1）解： ， ， 解得； （2）解：当时，， 是根， ． 32．（24-25七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； （3）已知：，，求的值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值； （2）用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b，进而根据三角形三边关系且为最长边，即可求解； （3）先把代入，得到关于和的式子，再仿照（1）（2）题求解得出，进而即可求解． 解：（1）解： ， ， ， ，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，； ∵、、是的三边， ∴即 又∵为最长边 ∴； （3）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 33．（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列． （1）第个“三方数”是________；第个“三方数”是________； （2）请判断是“三方数”吗？并说明理由． 【答案】（1）；；（2）是“三方数”，理由见分析 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件得到第（是正整数）个“三方数”的代数式． （1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解； （2）利用规律列出第（是正整数）个“三方数”，代入并求解，即可判断． 解：（1）解：∵，， ∴第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 故答案为：；； （2）解：是“三方数”，理由如下： 由（1）可知第（是正整数）个“三方数”是， 当时， 解得：， 故是“三方数”． 34．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题： （1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 【答案】（1）不彻底；见分析；（2） 【分析】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式即可． 解：（1）解：分解不彻底；分解过程如下： 设 则：原式 ； （2）解：设， 则 ． 35．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）14 【分析】本题考查了图形规律，运用代数式表达式，解一元二次方程． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据前几个图案的规律，即可求解； （3）根据题意，列出关系式，解方程即可求解． 解：（1）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （2）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （3）由题意得，，即， 解得（负数已舍去）， 即的值为14． 36．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：_________________（直接列出等式即可）； （2）若，，求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解：__________________．（直接列出等式即可） 【答案】（1）；（2）56；（3） 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由2个边长为的小正方形和7个边长为的长方形和3个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 解：（1）解：由图可知：； （2）解：，，， ， ； （3）解：如图所示， ． 37．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①，②25 【分析】本题考查了因式分解及其应用，完全平方公式变形的应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）①把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解； ②由题意得，，则根据即可求解． 解：（1）解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 故答案为：； （2）①把“”看成一个整体，令． ； ②∵，， ∴， 则 ． 38．（23-24八年级下·河北保定·期末）数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）． 材料：将因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解， 即，这种分解因式的方式叫做分组分解法． 卡片： （1）若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________． （2）若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解． （3）若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为，请判断以，，为边的的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）是等边三角形，理由见分析 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解题意，并掌握因式分解的方法． （1）根据题中的分组分解法即可求解； （2）先将式子分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）先将式子化简得到，进而得到，即 可 判 断． 解：（1）解： 故答案为：； （2）由题意得： （3）为等边三角形， 理由：由题意可得： ， ， ， ，， ， 为等边三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$