6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例》教案 一、课标及课标分析 1.重点：运用余弦定理和正弦定理解决实际测量中的距离、高度、角度问题，掌握实际应用的一般步骤。 2.难点：将实际问题准确转化为数学模型，根据具体情境选择合适的定理进行求解，以及对计算结果的实际意义的理解。 二、教材分析 “余弦定理、正弦定理应用举例”是在学生掌握了余弦定理和正弦定理的基础上展开的，它将这两个定理应用于实际生活中的测量问题，如测量距离、高度、角度等。通过本节课的学习，学生能够体会数学知识与实际生活的紧密联系，进一步巩固和深化对两个定理的理解与运用，提升运用数学知识解决实际问题的能力，培养数学建模和应用意识，在数学知识的实际应用体系中占据重要地位。 三、学情分析 学生已经学习了余弦定理和正弦定理，具备了一定的解三角形的知识和运算能力。然而，将实际问题转化为数学模型，并运用定理进行求解，对学生来说仍具有一定挑战性。学生可能在理解实际测量中的专业概念（如仰角、俯角、方向角等）、分析问题情境以及选择合适的定理进行计算等方面存在困难。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑，教师可引导学生通过实际案例分析、小组合作探究等方式，逐步掌握运用定理解决实际问题的方法。 四、教学目标/核心素养目标 1.数学建模素养：能够将实际测量问题转化为解三角形的数学模型，运用余弦定理和正弦定理求解，提升从实际情境中抽象出数学问题的能力。 2.数学运算素养：熟练运用余弦定理和正弦定理进行准确计算，提高运算的准确性和速度，解决实际问题中的数值计算部分。 3.逻辑推理素养：分析实际问题中的几何关系，合理选择定理进行推理和计算，培养逻辑思维和有条理的推理能力。 4.直观想象素养：借助示意图理解实际测量场景，直观分析三角形中的边角关系，增强利用图形思考和解决问题的能力。 五、教学过程 （一）检查预习 1.提问学生：请例举正弦定理、余弦定理在生活中的具体实际应用。 2.请学生回答，可能提到如测量建筑物高度、计算两地距离等。对回答正确的学生给予肯定，对回答不完整或不准确的学生进行引导，回顾正弦定理和余弦定理的内容，启发学生思考其在实际场景中的应用。 （二）引入课题 1.讲解测量专有概念：展示仰角和俯角的示意图，讲解与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，在水平视线下方时叫俯角。展示方向角的示意图，解释从指定方向线到目标方向线所成的水平角，如南偏西60°的含义。提出思考问题：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，让学生思考李尧的家在学校的哪个方向，引导学生运用方向角的概念得出东南方向。 2.介绍测量工具：介绍在实际测量中常用的工具，如测量距离的卷尺、红外测距仪，测量角度的经纬仪等，让学生对实际测量有初步的认识。 （三）合作探究 1.不相通两点间距离（3分钟）：展示问题1：为了测量隧道口AB的长度，给定四组数据，让学生思考应选用哪组数据。 A ． α ， a ， b B ． a ， α ， β ， C ． a ， b ， γ D ． α ， β ， b 解：引导学生分析每个选项，得出选择a，b，γ可直接利用余弦定理，强调余弦定理在这种情况下的应用。 2. 可到达点与不可到达点之间的距离（3分钟）：展示问题2：A，B两点分别在河的两边，讲解测量A，B两点间距离的方法。 解：在A的一侧选取点C，测得，，，引导学生根据正弦定理，得出，强调正弦定理在解决此类问题中的作用。 3. 两个不可到达点之间距离（4分钟）： 展示问题3（例9）：A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计测量A，B两点间距离的方法。 解：在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得，，，，。引导学生逐步推导： 根据正弦定理求出； 同理求出； 再利用余弦定理求出，化简得出最终表达式。 4. 高度测量底部可达（2分钟）： 展示问题4：测量塔的高度。 分析：讲解测量方法，测得，，根据正弦定理，得出塔的高度。 5. 高度测量底部不可达（2分钟）： 展示问题5（例10）：AB是底部B点不可到达的一座建筑，设计测量建筑物高度AB的方法。 解：选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上，在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，，测角仪器的高是h。引导学生根据正弦定理在中求出，进而得出建筑物高度。 6. 方位角问题（1分钟）：展示问题6（例11）：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险，甲船把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7nmile的C处的乙船，让学生思考如何求乙船前往营救的方向和距离，为后续讲解做铺垫。 （四）学以致用 1.例题讲解（5分钟）：讲解例11：根据题意画出示意图，引导学生分析已知条件。由余弦定理，代入数据计算：，所以。再由正弦定理，计算得出。因为，所以。从而得出乙船前往营救时的方向约是北偏东，大约需航行24nmile。强调在解决方位角问题时，要准确画出示意图，利用定理进行计算。 2.练习巩固（5分钟）： 布置练习题： 1. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，求灯塔A在灯塔B的什么方向 解析：，因为，所以，灯塔A在灯塔B的北偏西10°）。 2. 如图，D，C，B三点在地面同一直线上，米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，求AB的长度， 解析：，所以为等腰三角形，米，在中，米）。 让学生独立完成，教师巡视，对学生的解题过程进行指导，纠正错误，强化对定理应用的掌握。 （五）课堂小结 1.请学生回顾本节课所学内容，包括正弦、余弦定理在实际测量中的应用类型（如测量距离、高度、角度等）以及应用的一般步骤。 2.教师进行补充和完善，强调重点知识，帮助学生梳理知识体系： 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图。 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型。 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解。 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 （六）布置作业和预习 1.布置作业：完成课本52页第8题；完成小本对应的课时作业，巩固正弦定理和余弦定理在实际测量问题中的应用。 2.预习引导：引导学生预习下节课相关内容，思考在更复杂的实际情境中，如何综合运用正弦定理、余弦定理以及其他数学知识解决问题，为后续学习做准备。 六、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生理解实际测量问题中的概念和情境，通过实际案例帮助学生掌握将实际问题转化为数学模型的方法。在练习环节，关注学生对定理的应用和计算情况，及时发现并解决学生在解题过程中出现的问题。鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。根据学生的学习情况，灵活调整教学策略，如增加实际案例的多样性、加强对计算过程的指导等，以提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$