精品解析：黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

松雷中学2024-2025学年度下学期4月考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：宋瑞超 校对人：杨兵兵 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得在复平面内对应的点为， 则其位于第二象限. 故选：B. 2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 4. 已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标表示向量共线可得. 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以设， 即. 故选：B 5. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为，，其中，的夹角为， 所以在上的投影向量为， 故选：D 6. 某中学为了测量松花江北岸两地的距离，由江南岸两个距离的和两地，测得，，，，如图所示，则两地的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中由正弦定理求出，再在中，由余弦定理可得. 【详解】在中，， 利用正弦定理，即可求出； 因为，则，又，所以为等边三角形， 因此， 在中，利用余弦定理 ， 所以，即所求两点间的距离为． 故选：B 7. 如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于的描述正确的是（ ） ①， ②， ③， ④， A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算即可得出. 【详解】 ， 因为，所以，即， 由三点共线，所以， 即，故①正确； 又为的中点，所以，即， 由三点共线，所以，即，故③正确； 故选： 8. 在中，，，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可以得到，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形，根据，可知平行四边形是菱形，这样在中，可以求出菱形的边长，求出的表达式，利用，构造函数，最后求出的取值范围. 【详解】，以为邻边作平行四边形，如下图： 所以，因此,所以平行四边形是菱形，设，，所以，在中， ， 设， 所以当 时，，是增函数，故，因此本题选D. 【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键. 二、（多选题）（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】根据大角对大边即可求解A，根据互补关系以及诱导公式即可求解B，根据余弦定理即可求解CD. 【详解】对于A,由于，则，故A正确， 对于B，,故B错误， 对于C，由可得故，因此为锐角，但无法确定的大小，故C错误， 对于D , 由可得故，因此为钝角，故是钝角三角形，D正确， 故选：AD 10. 如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（ ） A. 圆锥的母线长为4 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为 D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据圆锥的侧面积为，求出圆锥的母线得解；对B，根据扇形的弧长公式运算得解；对C，由题，细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长运算得解；对D，利用相似即可求解半径得解. 【详解】对于A，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，故A正确； 对于B，圆锥的侧面展开图的圆心角，故B错误； 对于C，如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周， 又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长， 且，故C正确； 对于D，，又设圆锥的内切球的圆心为，半径为，球与圆锥侧面相切于,则, 则，即，解得,故D正确. 故选：ACD. 11. 设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则D是BC边上靠近B的三等分点 B. 若，（且），则直线AD经过的垂心 C. 若，且x，，，则是面积的一半 D. 若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，化简等式成，即可判断；对于B，将等式两边与作点乘，化简得出结果为0即可判断；对于C，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D，化简向量等式，利用单位向量作出即得菱形，推得，即得结论. 【详解】对于A，由可得，， 即得，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确； 对于B，因，则 ，即，故直线AD经过的垂心，即B正确； 对于C，因， ，则， 设，则，因，故三点共线， 如图1所示，，故的边上的高是的边上的高的一半， 故是面积的一半，即C正确； 对于D，由可得，， 如图2，取，则有，以为两邻边作， 易知是菱形，故平分，且故得，， 故动点的轨迹为的平分线，即动点P的轨迹一定通过的内心，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积的应用，属于难题. 对于向量等式，要结合图形，和选项的启发，有时从构造平面向量基本定理的条件入手；有时通过与其他向量的点乘为0判断线线垂直；有时通过两单位向量的和作平行四边形，推得菱形. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】应用复数除法化简，进而求复数的模. 【详解】，则. 故答案为： 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的正弦，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可. 【详解】在中，由，，得，则， 则的外接圆半径，所以的外接圆面积为. 故答案为： 14. 已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知的向量数量积等式，利用向量投影的性质得出投影向量长度，再结合向量垂直的条件构建几何关系，进而分析的最小值情况. 【详解】不妨固定向量，，的起点为同一点，因为，由向量投影的性质，在方向上的投影向量的长度为1． 由，可知，故在向量方向上的投影向量的长度为1． 又因为，所以，，可以围成如图所示的直角三角形， 由图知，当与的夹角为时，平行于，此时取得最小值2． 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可. 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ． 16. 如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． （1）若，求水的体积； （2）若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可. （2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案. 【小问1详解】 设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. 【小问2详解】 由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 17. 已知向量，，且与垂直． （1）求的值； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，根据已知条件得出，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得出的值. 【小问1详解】 因为向量，，则， 因为与垂直，则，解得. 【小问2详解】 由（1）得，所以，，， 所以，， 因为，故. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得，得角即可； （2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可． 【小问1详解】 根据题意得，， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，则，则， 则，则． 【小问2详解】 由正弦定理得，，所以． 所以， 因为是锐角，则，即，解得． 则，故． 所以，则的取值范围为． 19. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线于不同的两点M，N． （1）设，试用表示； （2）求的值； （3）设，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 故 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 由于 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2024-2025学年度下学期4月考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：宋瑞超 校对人：杨兵兵 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4. 已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学为了测量松花江北岸两地的距离，由江南岸两个距离的和两地，测得，，，，如图所示，则两地的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于的描述正确的是（ ） ①， ②， ③， ④， A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 8. 在中，，，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、（多选题）（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 10. 如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（ ） A. 圆锥的母线长为4 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为 D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 11. 设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则D是BC边上靠近B的三等分点 B. 若，（且），则直线AD经过的垂心 C. 若，且x，，，则是面积的一半 D. 若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则______. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为____________. 14. 已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 16. 如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． （1）若，求水的体积； （2）若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 17. 已知向量，，且与垂直． （1）求的值； （2）求与的夹角． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线于不同的两点M，N． （1）设，试用表示； （2）求的值； （3）设，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $