专题强化02：异面角、线面角、距离、二面角题型精讲精练【六大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

专题强化02：异面角、线面角、距离、二面角题型精讲精练 【题型归纳】 · 题型一：异面直线所成的角 · 题型二：点线面距离问题 · 题型三：线面角问题 · 题型四：二面角问题 · 题型五：空间角和距离综合问题 【题型过关】 题型一：异面直线所成的角 1．（23-24高一下·江苏无锡·期中）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方体的性质，通过平行至相交直线所成角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，设为底面中心，为上底面中心，易得， 所以异面直线与所成的角就是或其补角， 设正方体的棱长为，可得，，， 由余弦定理得：， 所以，异面直线与所成的角是， 故选：C. 2．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【详解】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行移动与相交构成三角形，指明或其补角就是异面直线与所成的角，在三角形中由余弦定理解出即可. 【详解】 如图连接，因为为正四棱柱， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角就是异面直线与所成的角， 设，则，，， 由余弦定理得：. 故选：B. 题型二：点线面距离问题 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等体积法即可求点到平面的距离． 【详解】解：由直三棱柱的体积为， 可得， 设到平面的距离为， 由得 ，解得． 故选：D． 5．（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法求解，由题意求出，从而可求出，然后利用可求得答案. 【详解】设点到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以， 因为是边长为的正三角形，， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B 6．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得，再根据直三棱柱的体积求出，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】取的中点，连接， ，，则二面角的平面角为， 二面角的大小为，则， 所以，， 又直三棱柱的体积为8，， 则，， 又平面平面，平面平面， 且平面，平面， 设点到平面的距离为，又， ，解得， 故选：A. 题型三：线面角问题 7．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先证，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）先证平面，找出直线与平面所成的角，利用直角三角形的边角关系求角的正弦值. 【详解】（1）连接，如图： 因为三棱柱为直三棱柱，所以四边形为矩形， 又为中点，所以也是中点，且为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为，，所以； 又平面，平面，所以， 因为平面，， 所以平面平面，所以. 平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中：，，, 所以. 8．（24-25高一下·全国·期末）在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，结合三角形中位线证得线线平行，利用线面平行判定定理得证； （2）由正三棱柱，得平面，从而得到，，证得平面，二面角定义得到二面角的平面角是，作，连接，因为平面平面，得到平面，找到直线和平面所成的角为，计算得到结果； 【详解】（1） 证明：连接，设，连接， 在中，，，∴， 又平面，平面， ∴平面． （2）由正三棱柱，可得平面， ∵平面，∴，∵为的中点，∴， 又，，平面， 故平面， 而，平面，故，， ∴二面角的平面角是， 在平面内作，连接， ∵平面，∴平面平面， 又平面平面，平面， 故平面， ∴直线和平面所成的角为， 又平面，∴， ∴， ∴直线和平面所成角的正弦值为． 9．（24-25高二上·广东·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得平面，再由线面平行的性质，即可证明结果； （2）根据条件，利用几何关系得到，，再由线面垂直的判定定理，即可求解； （3）连接，与相交于点，取的中点，连接，，根据条件及（1）中结论，得到平面，从而有是直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面=，所以. （2）取的中点，连接，则， 由（1）知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形， 得到，且，在中，， 又，得，所以， 在中，，，，所以， 所以，即， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，平面， 所以平面. （3）连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，，则，， 由（1）知，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 由（1）知平面，又平面， 所以，又因为，平面，平面， 所以平面，故平面， 又平面，所以，                                          又因为，平面，平面， 所以平面，故是直线与平面所成的角， 在中，，所以直线与平面所成角的正切值为. 题型四：二面角问题 10．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE为菱形，从而线线垂直，得到平面．故； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用锥体体积公式进行求解； （3）作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，即为平面与平面所成锐二面角的平面角，求出各边长，得到，求出答案. 【详解】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； （3）在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 11．（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线面垂直证明面面垂直可得结论. （2）通过构造辅助线找到二面角的平面角，在直角三角形中利用锐角三角函数可得结果. 【详解】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 12．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可； （3）根据面面垂直结合二面角定义找到二面角，再应用边长求正弦及余弦值即可. 【详解】（1） 连接，，， 又为的中点，，， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面， （2）平面，， 是的中点，，又，平面， 平面， 又因为平面，， 在正方形中，､分别为棱､的中点， ，平面， 平面， 又平面，平面平面. （3）由（2）知平面，平面， 平面平面平面，且平面平面， ，设与交于点，则平面， 过作垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则，， ， 又因为，， 为的中点， ， 在直角三角形中，， 由图知，为锐角， ， 由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为. 题型五：空间角和距离综合问题 13．（24-25高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用勾股定理及已知中的线面垂直，可得线线垂直，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）通过平移可找到异面直线和所成角，再利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1） 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面； （2） 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即， 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，， 由(1)知，平面，， ， ， 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. 14．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 15．（23-24高一下·浙江杭州·期末）三棱台中，，面面，，且与底面所成角的正弦值为. (1)求证：面； (2)求三棱台的体积； (3)问侧棱上是否存在点，使二面角成？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）连接，过作交于，由已知可得，又平面平面，则平面，可得，又，则可得平面. （2）由已知可得平面平面，过作，连接，可得平面，求得，如图，延长侧棱交于点，作于，连接，可求得，又因为与底面所成角的正弦值为，可求得，即可求得三棱台的体积. （3）如图，作交于，过作于，则，由（2），可得平面，则即为二面角的平面角，设，则，，由， 可得， 若，可得，即为中点，即侧棱上是存在点，使二面角成，则. 【详解】（1）连接， 在梯形中，过作交于， 由， 则为等边三角形,则， 四边形为菱形，则， 所以，即， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面， 过作，连接，平面， 平面平面， 则平面， 故几何体的高为， 如图，延长侧棱交于点，作于，连接， 由已知为中点，， 由（1）得，平面， 因为与底面所成角的正弦值为，则余弦值为， ，，， ， 由（1）得，则， 又因为与底面所成角的正弦值为， 所以， 故三棱台体积为. （3）如图， 作交于，过作于，则， 由（2）可得，平面， 则即为二面角的平面角， 又平面，则， 设，则， 则， 由，得，又， 所以， 若，则， 解得，所以，即为中点， 即侧棱上是存在点，使二面角成， 则. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·期中）如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，做过与的两平行平面，则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离. 【详解】如图，取AB中点为F，中点为，中点为， 连接. ，则为正方体， 因，四边形为平行四边形， 有，平面，平面，则平面， 同理有平面，，平面， 则平面平面， 则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离. 如图连接，由题可得平面ABCD，又平面ABCD， 则DF，又，平面， 则平面，又平面，则. 又同理可得，结合平面， 则平面，又平面平面，则平面. 则平面间距离，为减去A到平面距离，再减去到平面距离. 设A到平面距离为，到平面距离为 则. 注意到，， 则，同理可得， 又，则平面间距离为， 即异面直线与之间的距离为. 故选：C 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【详解】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，得到即为棱与底面所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则上，下底面的面积分别为和， 则棱台的体积，故B正确. 故选：B 4．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出，可得．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证出平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中， ，可得 因此 正三棱柱中，平面平面 平面平面，,平面， 直线平面，平面，可得 ，平面，平面， 平面，因此可得，即与所成角的大小为， 故选：B． 5．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形特征，取中点，连接，通过线面垂直的性质与判定得到面，因而是与平面所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可. 【详解】如图，取中点，连接，令. 因为面，面， 所以， 又因为， 所以， 因为面，面， 所以， 又因为，所以， 因为面，， 所以面， 因为面， 所以， 因为面， 所以面， 所以是与平面所成角， 因为，..， 所以, 由已证知，面，因为面， 所以， 所以， 因为面，面， 所以， 所以， 所以， 由已证知，面， 又因为面，所以 所以， 即与平面所成角的正弦值是. 故选：B． 6．（23-24高一下·吉林长春·期末）在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为．则此棱台的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合正棱台的结构特征，求出侧棱长，进而求出高及斜高即可求解. 【详解】在正三棱台中，令BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 则，由侧棱与底面所成角的余弦值为， 得，则， 而，则， ，，， 正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，于是侧面积为， 所以此棱台的表面积是. 故选：A 7．（23-24高一下·新疆·期末）在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接.设正方体的棱长为，则可得与平面所成的角为，得，所以只要最大即可得答案. 【详解】取的中点，连接.设正方体的棱长为， 则在中，为线段的中点，为的中点， 所以为的中位线，所以. 又因为平面，所以平面， 则与平面所成的角为，则. 由，得， 所以要使与平面所成角的正弦值最小，则最小， 可知当与点重合时，最大，此时， 所以. 故选：A    二、多选题 8、（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图，在棱长为4的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则（    ） A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点，使得平面 C．对任意点，平面平面 D．点到直线的距离为4 【答案】BCD 【分析】由正方体的结构特征及异面直线所成角的定义判断A；当点P与点重合时，可得平面，即可判断B；连接CF，推导出，从而得平面，进一步得平面平面即可判断C；由余弦定理求出，由此能求出点到直线的距离判断D． 【详解】对于A，由正方体的性质可知， 两条异面直线和所成的角即为，所以A错误； 对于B，当点P与点重合时， 由题可知， 所以，四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，则平面，所以B正确； 对于C，连接，由于平面，平面，故， 又，故， 故，即，故， 又相交，平面，故平面， 又平面，故对任意点，平面平面，所以C正确； 对于D，由正方体的性质可得， ， 所以， 又，所以， 所以点到直线的距离，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：对于选项D，由余弦定理求出，由此能求出点到直线的距离． 9．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（    ） A．棱台的高为 B．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 C．棱台的表面积为 D．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】根据正三棱台的特征上下底面都是等边三角形，侧面都是等腰梯形，作出三棱台的高，从而根据表面积公式可计算表面积，由线面角、二面角的定义先找出所成的角，然后借助直角三角形代入数据计算即可. 【详解】由题可知，在正三棱台中，, 在平面中，由点向作垂线垂足为D，取线段BC的中点E，连接AE， 如图，在平面中，由点向AE作垂线，垂足为F，连接DF， 在等腰梯形中，，,，则，， 所以棱台的表面积为：，故C正确； 又三棱台为正三棱台，所以为正三棱台的高，所以且都在面内， 所以平面，面，故， 在中，， 在中，， 所以棱台的高为，故A错误； 棱台的侧棱与底面所成角为故D错误； 棱台的侧面与底面所成的二面角为，故B正确 故选：BC 10．（23-24高一下·贵州毕节·期末）如图，在三棱柱中，，，则下列说法正确的有（    ）    A． B．二面角的余弦值为 C．三棱锥的表面积为4 D．三棱柱的外接球的体积为 【答案】ACD 【分析】利用勾股定理逆定理得到，，即可证明平面，从而判断A；取的中点，连接，，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数判断B，根据锥体的表面积公式判断C，将三棱柱补成长方体，求长方体外接球的体积，即可判断D. 【详解】因为，， 所以，，， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 取的中点，连接，，则，， 所以为二面角的平面角，又， 平面，平面，所以， ， 所以，即二面角的余弦值为，故B错误；    因为，，， 所以三棱锥的表面积，故C正确； 将该直三棱柱补成长方体，则长方体的外接球即为该三棱柱的外接球，    设外接球的半径为，则， 所以外接球的体积，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 11．（23-24高一下·江西·期末）如图，在正方体中，，分别为线段的中点，几何体的体积为，P为线段上一点，点均在球M的表面上，则（    ） A． B．的最小值为 C．若P为的中点，则球M的表面积为 D．二面角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】利用正方体的性质，结合台体体积公式可求得正方体边长，再利用线面垂直证明线线垂直，利用侧面展开图思想求线段和的最小值，利用外接球的截面性质来求其半径，利用二面角的平面角来求解二面角的余弦值. 【详解】由正方体性质可得：几何体是正四棱台，设正方体的边长为, 则其体积为：，解得， 因为在正方体中，有，平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，而平面， 所以，故A正确； 把直角三角形与直角三角形展开成一个平面图形， 则，而， 由勾股定理可得：，故B正确； 当P为的中点，此时四棱锥是正四棱锥，其外接球的球心一定在上， 又由于，，设， 则由勾股定理得：，解得：， 此时球的表面积为：，故C错误； 取中点为，取中点为，连结，再连接， 由，平面， 所以平面，又因为，所以平面， 又因平面，所以 即二面角的平面角就是， 由正方体边长为，可知，所以， 即，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用二面角的定义找到其平面角，再求出相关线段，利用余弦函数定义即可得到答案. 三、填空题 12．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】利用等体积计算即可. 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 13．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为 ；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线以及二面角的定义求解，即可得答案. 【详解】在正方体中，， 故异面直线与BC所成角即为直线与AD所成角， 由于，故异面直线与BC所成角的大小为； 在正方体中，平面， 而平面，故， 又平面，平面， 故为平面与平面ABCD所成的二面角，而, 故平面与平面ABCD所成的二面角的大小为， 故答案为：； 14．（23-24高一下·安徽·期末）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】在平面内过作与平行且相等的线段，过作于，连接，先证明平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，则为直线与平面所成角，再解即可. 【详解】在平面内过作与平行且相等的线段， 过作于，连接， 则四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，故为直线与平面所成角， 由， 得二面角的平面角即为， 所以， 又， 所以是等边三角形，可得，， 因为，所以平面， 又平面，所以， 在中，由勾股定理可得， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 15．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，再求出，，再由利用等体积法计算可得. 【详解】因为平面，平面，所以，， 又，，， 所以， 所以，， 所以， ， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 即点到平面的距离为. 故答案为： 四、解答题 16．（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）若为的中点，连接，先证为平行四边形，即有，再应用线面平行的判定定理证明结论； （2）根据已知有、，再应用线面垂直的判定定理证明结论； （3）应用等体积法求棱锥的高，结合线面角的定义及已知求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）若为的中点，连接，又F，G分别是的中点， 所以且，而底面是正方形，则且， 所以，，故为平行四边形，即， 由平面，平面，则平面； （2）由（1）及，则，而，故， 由底面，底面，则， 所以， 由底面是正方形，则， 所以，F是的中点，则， 由且都在面平面内，故平面； （3）由底面，底面，则，， 又，，， 所以，则， 令棱锥的高为，又， 则，所以， 又，故GA与平面所成角的正弦值为. 17．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，可得平面平面. （2）先判断出异面直线与所成角，然后求得所成角的余弦值. 【详解】（1）由于，所以， 由于平面平面且交线为，平面， 所以平面，由于平面， 所以. 由于平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面． （2）由于，所以是异面直线与所成角（或其补角）， ，， ，， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 19．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. （2）利用线面垂直的判定证得平面，进而得为直线与平面所成角并求出，利用勾股定理求出，再由余弦定理求出，利用二面角的定义即可得答案. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 20．（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可得证平面平面； （2）取中点，连接，先证明四边形矩形，再由（1）可得平面，从而得为直线与平面所成角，在中，利用求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面ABC，∥， 所以平面ABC，又因为平面ABC，所以， 又因为，E为BC的中点，所以， 又因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）解：取中点，连接，如图所示： 则有∥，且， 由题意可知∥，且， 所以∥，且=， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 由（1）可知平面， 所以平面，面，则， 所以即为直线与平面所成角， 又因为，， 易知为等腰直角三角形， 所以， 所以， 又因为， 在中，, 所以, 在中，， 又因为，所以. 即直线与平面所成角为. 21．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设平面与几何体的上底面交于点，利用面面平行的性质，得到，再由平面，证得，进而得到和，证得平面，即可证得平面平面. （2）连接，由平面，得到，由平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解. （3）分别取的中点，连接，利用平面平面，将问题转化为平面与平面夹角的余弦值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解. 【详解】（1）证明：设平面与几何体的上底面交于点，即平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：连接，由（1）知平面， 所以就是直线与平面所成的角，即， 因为，所以，所以为直角三角形， 又，所以， 又因为平面平面， 所以点到平面的距离为， 因为平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， 因为，所以， 因为，所以， 即点到平面的距离为. （3）解：分别取的中点，连接，则， 因为且平面，，且平面， 所以平面平面， 若平面与平面夹角余弦值为，则平面与平面夹角的余弦值也为， 因为为的中点，，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 连接，过点作于点， 因为平面平面，且平面，所以平面， 过点作于点，连接， 则即为平面与平面夹角，即为，所以， 设，则， 因为，所以， 又因为，所以，， 在直角中，由射影定理知，所以， 在直角中，，所以， 在直角中，， 整理得，解得，即， 所以.    22．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点的具体位置，即可求解. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点， 所以可得四边形为菱形，可得， 又，所以可得； 因为，平面； 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又因为，平面； 所以平面， 又平面，所以 又，因此可得即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，可得， 即. （3）假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点作交于，连接，如下图所示： 所以，即可得四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，可得点为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且； 易知为正三角形，且，所以可得， 由勾股定理可得， 所以， 因此. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：异面角、线面角、距离、二面角题型精讲精练 【题型归纳】 · 题型一：异面直线所成的角 · 题型二：点线面距离问题 · 题型三：线面角问题 · 题型四：二面角问题 · 题型五：空间角和距离综合问题 【题型过关】 题型一：异面直线所成的角 1．（23-24高一下·江苏无锡·期中）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏盐城）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型二：点线面距离问题 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型三：线面角问题 7．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 8．（24-25高一下·全国·期末）在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值． 9．（24-25高二上·广东·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 题型四：二面角问题 10．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 11．（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 12．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 题型五：空间角和距离综合问题 13．（24-25高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 14．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（23-24高一下·浙江杭州·期末）三棱台中，，面面，，且与底面所成角的正弦值为. (1)求证：面； (2)求三棱台的体积； (3)问侧棱上是否存在点，使二面角成？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·期中）如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·吉林长春·期末）在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为．则此棱台的表面积是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·新疆·期末）在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8、（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图，在棱长为4的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则（    ） A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点，使得平面 C．对任意点，平面平面 D．点到直线的距离为4 9．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（    ） A．棱台的高为 B．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 C．棱台的表面积为 D．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 10．（23-24高一下·贵州毕节·期末）如图，在三棱柱中，，，则下列说法正确的有（    ）    A． B．二面角的余弦值为 C．三棱锥的表面积为4 D．三棱柱的外接球的体积为 11．（23-24高一下·江西·期末）如图，在正方体中，，分别为线段的中点，几何体的体积为，P为线段上一点，点均在球M的表面上，则（    ） A． B．的最小值为 C．若P为的中点，则球M的表面积为 D．二面角的余弦值为 三、填空题 12．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 13．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为 ；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为 ． 14．（23-24高一下·安徽·期末）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为 . 15．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为 ． 四、解答题 16．（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 17．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值. 18．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 19．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 20．（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 21．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 22．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$