【专项练】正方形十字模型-沪科版八年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 正方形十字模型 基础题 1.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=5, 若折痕为PQ,则PQ的长为() D A.13 B.14 C.15 D.16 中等题 2.如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1将正方形沿GF折叠，使点A 怡好与点E重合，连接AF,EF,GE,则四边形AGEF的面积为() D B E A.210 B.25 C.6 D.5 3.如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F,若AB=5,BE=2, 则AF=一· 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 4.如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的点E处，点A落在点F 处，折痕为MN,若N=45,则线段CN的长是 5.综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，已知 AE⊥BF,求证：AE=BF. E 甲小组同学的证明思路如下： 图1 由同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE.再由AB=DA, ∠BAF=∠D=90°，证得△ABF≌△DAE(依据： )，从而得 AE BF. 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知AE=BF,同样可证得AE⊥BF, 证明思路如下： 由AB=DA,BF=AE可证得Rt△ABF≌RtADAE(HL),可得 ∠ABF=∠DAE,再根据角的等量代换即可证得AE⊥BF, 完成任务： (1)填空：上述材料中的依据是 (填“SAS或“AAS“或“ASA或“L“) 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知AE⊥BF可证得AE=BF,已知AE=BF同样可证得 AE⊥BF,为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究. 【迁移探究】 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 (2)在正方形ABCD中，点E在CD上，点MN分别在AD,BC上，连接AE,W交于点P.甲 小组同学根据N⊥AE画出图形如图2所示，乙小组同学根据MN=AE画出图形如图3所 示.甲小组同学发现已知N⊥AE仍能证明MN=AE,乙小组同学发现已知MN=AE无 法证明MN⊥AE一定成立. 图2 图3 ①在图2中，已知MN⊥AE,求证：MN=AE; ②在图3中，若∠DAE=,则∠APM的度数为多少？ 【拓展应用】 (3)如图4，在正方形ABCD中，AB=3,点E在边AB上，点M在边AD上，且AE=AM=1, 点F,N分别在直线CD,BC上，若EF=MN,当直线EF与直线MN所夹较小角的度数为 30°时，请直接写出CF的长 图4 多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 6.正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE=CF,AE与BF交于点G. (1)如图1，求证AE⊥BF; (2)如图2，在GF上截取GM=GB,∠MAD的平分线交CD于点H,交BF于点N,连接 CW求证：AW4CN=√BW D 0 H H G B E E 图1 图2 备用图 困难题 7.如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE,过点B作BG⊥AE于点H, 交CD于点G. B O 图1 图2 图3 (1)求证：AE=BG; (2如图2，连接AG、GE,点M、N、PQ分别是AB、AG GE EB的中点，试判断四 边形MPQ的形状，并说明理由： (3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC 的对应边B'C'恰好经过点A,过点A作AO⊥FR于点O,若AB=1,正方形的边长为3， 求线段OF的长. 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 8.如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线 分别交AB、CD于E、F两点，连接EG. (1)当AG-1时，求EG的长： (2)当AG的值等于时，BE-8-2DF (3)过G点作GM⊥EG交CD于M ①求证：GB平分∠AGM ②设AGx,C与，试说 16_4_4-1的值为定值. xy x y D E M F B C学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 正方形十字模型 基础题 1. A 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、用勾股定理解三角形、正方 形折叠问题 【分析】过点P作PMIBC于点M,由折叠得到PO1AE,从而得到 AED= APO, 可得 △POM△ADE,从而得到PO-AE,再由勾股定理,即可求解 【详解】解:过点P作PMIBC于点M ___- M 。 ☆ 由折叠得到PO1AE, . DAE APO=90*, 在正方形ABCD中,AD/lBC. D=90*,CD1BC . DAE+ AED-90". .AED-APO .乙APO-乙PQM, .POM乙APO- AED ..PMIBC, .PM-AD, .D- PMO-90*, .△POM△ADE .PO-AE, 在RtADE 中,DE=5,AD=12. 由勾股定理得: 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $AE=$5+12^=13$ ..PO=13. 故选:A. 【点晴】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,得到 △POM△ADE是解题的关键 中等题 2. D 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长、正方形折叠问题 【分析】作FHLAB于H.交AE于P,设AG=GE=x,在Rt△BGE中求出x,在Rt△ABE中 求出AE,再证明△ABE△FHG,得到FG=AE,然后根据Ss4Grr=SGr+SrGr求解即可 【详解解:作FHIAB于H,交AE于P,则四边形ADFH是矩形,由折叠的性质可知,AG=GE, AEIGF,AO-EO 设AG=GE-x,则BG=3-x 在Rt△BGE中, .BE+BG=GE, .12+(3-x)2=2, 在Rt△ABE中, .AB+BE-AF. ·32+12=AE. .AE-10. #_HAP+ APH=90*$,OFP+ OPF=90*$,APH= OP$F$$$$ .HAP-OFP :四边形ADFH是矩形 .'.AB-AD-HF 在△ABE和△FHG中. 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 [HAP=OFP $$ ABE= GHF$$ AB=HF :.△ABE2△FHG $ FG-AE=10, '.SAGF=SAG+SEGF 5. 故选D. B E 【点晴】本题考查了折叠的性质,正方形的性质,矩形的判定与性质,三角形的面积,以及勾 股定理等知识,熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键 3.34. 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长 【分析】根据正方形的性质得到AB=BC, ABE= BCF=90*,推出 BAE= EBH,根据 全等三角形的性质得到CF=BE一2,求得DF=5-2一3, 根据勾股定理即可得到结论 【详解】:四边形ABCD是正方形 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '.B=B$C$ $ABE= $$$CF=9 $$ '. BAE+ AEB=90*$$$$ . BHIAE, ' BHE=90{*$$$ ' AEB+ EBH=90*$$ .BAE= EBH, [BAE= CBF 在△ABE和△BCF中, 1AB-BC ABE-/BCF .△ABEC△BCF(ASA), '.CF=BE-2. ..DF=5-2=3, .四边形ABCD是正方形 '.AB=AD=5 ADF=90*,$$$$ 由勾股定理得:AF-AD+DF-52+3-34. 故答案为34. 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,本题证明 △ABE△BCF是解本题的关键 4.3 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】过点M作MH1CD于点H.连接DE,结合题意可知MN垂直平分DE,先通过证 明△MHN=△DCE得出DE=MN三4、/5,然后利用勾股定理求出CE的长,最后在Rt△ENC 中利用勾股定理求出DN,最后进一步求出CN即可 7H 【详解】 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 如图所示,过点M作MHICD于点H. 连接DE 根据题意可知MN垂直平分DE,易证得: EDC一 NMH,MH=AD .四边形ABCD是正方形 ..MH=AD=CD. . MHN= C-90* .△MHN=△DCE(ASA). .DE-MN-45. 在Rt△DEC中,CE-DE-DC②-4 设DN-EN-x,则CN-8-X, 在Rt△ENC中,NE2=NC2+EC2, .2=(8-x)+42, 解得:x-5, .CN-8-x=3, 故答案为:3. 【点晴】本题主要考查了正方形性质和全等三角形性质与判定及勾股定理的综合运用,熟练掌 握相关方法是解题关键 5. (1)ASA;(2)①见解析;② APM=90*-2;(3) 2-3或2+3 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】(1)先证明 ABF= DAE,结合AB=DA, BAF= D=90*可知根据A$A 即可证明ABFDAE; (2)①作MH1BC于点H. 先证明 HMN三 DAE,然后根据ASA即可证明 HMNDAE即可证明结论成立 ②NL1AD于点L,同理可证LNM△DAE(HL),从而 MNL=DAE=,然后利用 直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 (3)①当N、F在BC、CD边上时,作FGIAB于点G,作MH1BC于点H,则四边形 ABHM和四边形BCFG都是矩形,同理可证。EGF&NHM(HL),求出 HMN= FFG=30*,设EG=x,则EF=2x,利用勾股定理求出x的值,进而可求出CF 的长,当N、F在CB、CD的延长线上时,同理可求出CF的长 【详解】(1)证明:.四边形ABCD是正方形 ..AB=AD, BAD-90*, .. BAP+/DAE=90*. '.'AEIBF, ../BAP+乙ABF-90o, ./ABF=/DAE. “. BAF=/D-90*, .△ABFDAE(ASA). 故答案为:ASA; (2)①作MH1BC于点H 图2 .四边形ABCD是正方形 '.CD=AD, C=/D=90. ".四边形CDMH是矩形 '.CD=MH=AD, AMH= DMH=90*. ..AMP+/HMN-90 .AEIMN, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 . AMP+ DAE=90$ .. HMN= DAE$ '. △HMN△DAE(ASA). ..MN=AE ②作NL1AD于点L. 图3 同理可证四边形CD.N是矩形 '.CD=LN=AD "* AD=LN.AE=MN .△LNMDAE(HL). ._MNL-/DAE=g. .2LMN-90*-: '. APM= LMN- DAE=90*-2 (3)解:①当N、F在BC、CD边上时,如图, MPE=30*}.作FGIAB干点G.作MH1BC 于点H,则四边形ABHM和四边形BCFG都是矩形 图4 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 同理可证△EGFS△NHM(HL) '. HMN= EFG. .GF/BC, '.MH1GF, . FKH+ EFG=90$*$$ .FKH= HMN+ MPE, '. HMN+$MPE+ EFG=90* ./MPE=30* '. HMN=$EFG=30$$$ 设EG=x,则EF=2t, 'EG}+FG}-EF}, .2+32-(2x)}, .x-、3(负值舍去), '$CF=B$G= AB- E-E$G=3-1$ - =$ -3$$ ②当N、F在CB、CD的延长线上时,如图 同理可得:$ HMN= $EFG=30$,$EG=$ $$ '$$CF=BG$= B-A E+E'G=3-1$+$ =$ +$ $$ 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【点晴】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,含30度 角的直角三角形的性质,勾股定理,以及三角形外角的性质,正确作出辅助线是解答本题的关 键。 6.(1)见解析;(2)见解析; 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角 形、根据正方形的性质证明 【分析】(1)根据正方形的性质得AB=BC,乙ABC=乙BCD=90*,用SAS证明 △ABE△BCF,得/BAE=CBF,根据三角形内角和定理和等量代换即可得; (2)过点B作BH1BN,交AN于点H,根据正方形的性质和平行线的性质,用SAS证明 AGB $AGM,得 BAG= MAG,根据角平分线性质得 BHA= $GAN=45$*,则$$$$ HBN是等腰直角三角形,用SAS证明。ABHCBN,得AH=CN,在Rt^HBN中,根据 勾股定理即可得; 【详解】解:(1):四边形ABCD是正方形, :AB-BC, ABC= BCD=90*, 在△ABE和△BCF中, AB-BC 乙ABE=_BCF BE-CF .△ABE△BCF(SAS), .._BAE=乙CBF, .' AEB+$BAE=180*- ABC=180*-90*=90*$ .. AEB+ CBF=90. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 . EGB=180$-(AEB+ $CBF$=180$-90$*= $$$ ..AE1BF; (2)如图所示,过点B作BH1.BN,交AN于点H , :四边形ABCD是正方形 '.AB=AC$ ABC= $HBN=90$ $$ .' HBN= HBA+ ABN=90$,$ ABC= $CBN+ ABN=90$*.$$$$$ .. _HBA=乙CBN 由(1)得,AE1BF, '. AGB= AGM$=90{$$$$$ '. HBG= AGM=90{$$$$$$ ..HB//AE, .. BHA=乙EAN, 在△AGB和:AGM中. AG-AG AGB=乙AGM GB-GM .._AGBAGM (SAS), '/BAG= MAG. .AN平分乙DAM, '_DAN= MAN. '. BAG+ MAG+ $MAN+$DAN=90*$$ 2. MAG+2 MAN=90*