【专项练】正方形的判定性质综合-沪科版八年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 正方形的判定性质综合 基回题 1.如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE,连接BF,则∠AFB=() D B A.22.5° B.25 C.30° D.不能确定 2.如图，在边长为√互的正方形ABCD中，点E是对角线4C上一点，且EF⊥AB于点F, 连接DE,当∠ADE=22.5°时，EF=() D E A.1 B.2√5-2 c.5-1 D. 3.如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP, EP,则BP+EP的最小值为() A D D B E A.5 B.5 c.2 D.√2+1 4.图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是()平方单 位 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 A.48 B.12 C.24 D.36 5.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点，连接DF.若 AE=DF,则∠CDF的度数为() D A.450 B.60° C.67.5° D.72 6.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交 EF于G,下列结论：①BE=DF,②∠DAF=IS°，③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤SCEF =SABE+SADF,其中正确的结论有（）个. G A.5 B.4 C.3 D.2 7.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点，且CE=DF,AE,BF相交 于点O,下列结论： ①AE=BF; ②AE⊥BF: ③AO=OE: ④∠AED=∠FBC中，正确的结论有（) 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 D A.1个B.2个C.3个D.4个 中等题 8.如图，点P是正方形ABCD内的一点，且P本1，PB=PD=√2，则∠APB的度数为 D 9.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成， 连接EF,其中AE=2,BE=5,则EF的长是 B 10.如图，在平面直角坐标系中，点4，B的坐标分别是(3,3)(7，)，过点A分别作AC⊥x 轴于点C,AD⊥y轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,点P是线段CA,AD上的动点， 连接PB,PE,当△PBE为等腰三角形时，AP的长为 命学科同·随子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更高效 B E 11.如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE, 交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.若AB=6,则CE+CG的值 为 D 12.如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作一个四边形，再以所得四边形的四边中点 为顶点作第2个四边形，，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为】 ,所作 第2023个四边形的周长为 13.数学活动： 人们把宽与长的比是5一（或长与宽的比为5+） 的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我 2 们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金拒 形的设计，如希腊的帕特农神庙（如图1）等.下面给出两种得到黄金拒形的方案。 B M 图1 图2 图3 多学科同·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更高效 (1)方案-：如图2，在矩形ABCD中，AB=2BC,连接对角线AC,以C为圆心，CA长为 半径画弧交BC延长线于点E,过E作EF⊥CE交AD延长线于F,请直接写出图中得到的 黄金矩形是 (2)方案二：如图3，已知正方形ABCD,以CD为边向外作矩形CDFE,M为BC中点，连 接DM.过E作EN∥DM交AF延长线于点N,当DN=EN时，可猜想矩形CDFE是黄 金矩形，请你证明这个猜想： 困难题 14.如图1，在正方形ABCD中，点P是线段BC上一个动点（与点B、C不重合），过点A 作线段PE⊥PA于点P,且PE=PA,连接DE,过点D作DF∥EP,交AB于点F,交AP 于点G,连接FP. B 图1 图2 (1)求证： ①△ABP≌△DAF; ②四边形PEDF是平行四边形： (2如图2，点M是BC延长线上一点，当点P在线段BC上运动时，求证：点E始终在∠DCM 的角平分线上 多学科同·短子学 Www.2××k.c0m 让学习更高效 15.在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点E,F分别在边BC,CD上，且PE⊥PF 于点P. D B E BE 图1 图2 (1特例发现：如图1，当点P在对角线AC,BD的交点处时，求证：PE=PF, (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线AC,BD的交点处时，判断PE与PF的数量关系， 并说明理由； (3)拓展运用：在(2)的条件下，若EC=4,CF=2,连接EF,请直接写出PE的长.学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 正方形的判定性质综合 基础题 1. A 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得之ADB-45*,再根据菱形的四条边都相等可得 BD=DF,根据等边对等角可得 DBF= DFB,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和进行计算即可得解 在菱形BDFE中,BD-DF 所以,DBF- AFB 在△BDF中, ADB= DBF+ AFB=2 AFB=45^*$$ 解得乙AFB-22.5* 故选:A. 【点晴】本题考查了正方形的四个角都是直角,对角线平分一组对角的性质,菱形的四条边都 相等的性质,以及等边对等角,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,难 度不大,熟记各性质是解题的关键 2. C 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判 定、三角形的外角的定义及性质 【分析】证明 CDE-2CED-67.5*,则CD=CE=、2,计算AC的长,得AE=2-2. 证明AAFE是等腰直角三角形,可得EF的长 【详解】解::四边形ABCD是正方形, :AB=CD=B$C=2, B- ADC-90*, BAC= CAD=45$$$$ .AC-2AB-2, .乙ADE=225*. .乙CDE-90*-225*-67.5*. 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 CED= CAD+ ADE-45*+22.5*=67.5 $, . CDE=/CED. :CD-CE-2, .AE-2-2, .EFIAB, :乙AFE=90. :AAFE是等腰直角三角形 故选:C. 【点睛】本题考查正方形的性质,勾股定理,等腰直角三角形,三角形的外角的性质等知识 解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题,属于中考常考题型 3.A 【难度】0.85 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】根据正方形是轴对称图形,AC所在的直线是正方形的一条对称轴,进而根据对称性 可知,BP+EP=PD+PE,当D.P.E在同一直线上时,BP+EP的值最小为DE的长,进而根 据勾股定理求得DE的值 【详解】解:连接BD, .正方形是轴对称图形,AC所在的直线是正方形的一条对称轴 :.无论P在什么位置,都有PD一PB 故均有BP+EP=PD+PE成立; 连接DE与AC,所得的交点,即为BP+EP的最小值时的位置 如图所示: 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 A B 此时 BP+EP=DE 正方形ABCD的边长为2 *.DC=BC=2. *F是BC的中点 .EC-1, 在Rt△DEC中, DE=D[C$+EC$=4+1=$ 故选:A. 【点睛】本题考查了轴对称的性质,勾股定理,理解对角线所在的直线是正方形的对称轴是解 题的关键. 4.D 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积 【分析】根据正方形的性质和等腰三角形的性质,设AE=EF=a结合勾股定理,求得正方 形的边长,即可求得答案 G 【详解】 ABCD与EFGH都是正方形 :'. /EAF= FFA= DFG= /DGF=45* 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '. $AE=EF=FG$,$FD=$DG$ 设AE=EF=a .-8, ' F$}=AE$}+EF$}$= ^$= .AF=4 '$ $G$}=$D$}+DG$}= FD$}$$ .=2FD-8$ :FD=2 . AD=AF+FD=6 $$ :.正方形ABCD的面积是:36 故选:D 【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理的应用,勾股定理的应用 是解题的关键 5.C 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用HL.证全等(HL) 【分析】由“HL"可证Rt△ADFRtBAE(HL),可得 ADF= BAE=22.5*,即可求解. 【详解】解:四边形BCD是正方形 $AB=AD, B= BAD= ADC=90*, BAC=45* $ ..AE平分BAC. .(BAE= EAC=22.5* 在RtADF和RtBAE中 [AD.AB DF-AE' 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 :.Rt△ADFRtBAE(HL). ADF= BAE = 2.$ $$ . CDF-67.5*°$$$ 故选:C. 【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是证明三角形全等 6. B 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等三 角形综合问题 【分析】通过条件可以得出△ABE△ADF,从而得出 BAE一DAF,BE=DF,由正方形的 性质就可以得出EC一FC,就可以得出AC垂直平分EF,设EC一x,由勾股定理就可以得出 BE与EF,利用三角形的面积公式分别表示出S.CEF和2S4BE,再通过比较大小就可以得出 结论. 【详解】解::四边形ABCD是正方形 'AB=BC=CD=AD, B= BCD= D= BAD=90*$$ “. △AEF等边三角形 ..AE=EF=AF,EAF=60* 'BAEt DAF-30*. 在Rt△ABE和Rt△ADF中. [AE=AF AB=AD' *.Rt△ABE2Rt△ADF(H). ..BE一DF,故①正确; .BAE-乙DAF, ..DAFDAF-30* 即 DAF-15*,故②正确 ..BC-CD. *.BC-BE=CD-DF. 即CE=CF .'AE-AF: 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .AC垂直平分EF,故③正确; AE=EF2×,EG-F, 2 $AG=AF-EG= 6 .Ac-40x1x, 2 .AB-X+X 2. 3x-x '.BE=AB-x= .BE+DF=x-2x,故④错误; ..2SABE=SCEF ..S.CEF=SABE+SADF,故正确 综上所述,正确的有①②③,共4个。 故选:B. 【点晴】本题考查了正方形性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用 等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定理的性质是解题 的关键. 7. C 【难度】0.85 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的性质,根据四边形ABCD是 正方形及CE=DF,可证出△ADE△BAF,则得到:①AE=BF;可以证出 ABO+/BAO=90*,则②AE1BF-定成立,可以证出 AED= AFB即可判断④.用 反证法可证明4O:OE,即可判断③ 【详解】解::四边形ABCD是正方形, *.CD=AD=AB, BAF= ADE-90*, ..CE-DF, :DE=AF, 在ADE和△BAF中, [AD=AB 2D-/BAF, DE-AF .ADE:BAF(SAS). :.AE=BF(故①正确): ..乙AED=乙AFB .AD/BC .乙AFB-/FBC 乙AED-乙FBC(故④正确); .DAE+ AFB= DAE+ DEA=90*, . 乙AFB+/EAF=90* .AE1BF一定成立(故②正确); 假设AO=OE, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .AE1BF, .AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等). 在RtBCE中,BE>BC .AB>BC,这与正方形的边长AB=BC相矛盾 :.假设不成立,AO:OE(故③错误); 故选:C. 中等题 8.105d 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合 (SAS) 【分析】过点P作PHLAB于H,由全等可知 BAP DAP=45*,从而得到 APH=45^*. 然 后通过AP可求出HP的长,从而得到之BPH,即可得到之APB的度数 【详解】解:过点P作PH1AB于H , C :四边形ABCD是正方形, ..AB-AD.乙BAD=90* 在△APB和△APD中 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 [AB=AD {AP=AP PB=PD .△APB△APD. . BAP- DAP 由 BAD=90{$可知 BAP= DAP=45 ^$ .. APH=90*-45*-45^* .PH-AH. .PA-1, 2 :PB-2, . PB.A-30*, ' BPH=90*-30=6 0{$$ ' APB$APH+ BPH=45^$+60=1$0 $ $ 故答案为:105· 【点晴】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定,直角三角形的性质,勾股定理,作出 辅助线是解题的关键 9.32 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形 化为最简二次根式 【分析】根据题意,由全等三角形的性质及正方形的判定与性得到相关线段长,在等腰 RtGEF中,利用勾股定理求解即可得到答案 【详解】解:如图所示 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .赵爽弦图是由四个全等的直角三角形拼接而成 :△AHD△BEA-△DFC△CGB '.EH=HF=FG=GE,即中间四边形GFHE是正方形$ :.AH-BE-5, ·AE-2, :GE=EH=AH-AE=5-2-3: 在等腰Rt△GEF中,EF=GE{}+GF}-2GE=35 故答案为:3、2. 【点晴】本题考查赵爽弦图相关问题,涉及全等性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角 形的判定与性质、勾股定理等知识,理解赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成,数 形结合,借助正方形的判定与性质求解是解决问题的关键 10.33-4或210-4 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判 定、坐标与图形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用,坐标与图形,正确掌握相关性质 内容是解题的关键,先根据等腰三角形的性质,进行作图以及分类讨论,当B为顶点时,以及 点E为顶点时,结合勾股定理列式计算,即可作答 【详解】解:如图:以点B为圆心,BE为半径画圆,分别交AD,AC于一点P,B;以点E 为圆心,BE为半径画圆,分别交AD于一点P,再过点P,B分别作PM1BE,PH1BE 连接PE如图所示